2025届河北省邢台市第八中学高三下第一次测试数学试题含解析

2025届河北省邢台市第八中学高三下第一次测试数学试题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
43
3
B ．43
C ．
23
3
D ．23
2．函数1()ln |
|1x
f x x
+=-的图象大致为 A ． B ． C ．
D ．
3．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==，11
2A P PB =，点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC .则1TP B B ⋅=（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
4． “1
cos 22α=-
”是“3
k παπ=+，k Z ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
5．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（） A ．﹣1﹣2i
B ．﹣1+2i
C ．1﹣2i
D ．1+2i
6．已知直线,m n 和平面α，若m α⊥，则“m n ⊥”是“//n α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．不充分不必要
7．设1F ，2F 是双曲线()22
2
2:10,0x y
C a b a b
-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（ ） A ．2
B ．3
C ．2
D ．3
8．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种
B ．36种
C ．24种
D ．18种
9．如图，已知三棱锥D ABC -中，平面DAB ⊥平面ABC ，记二面角D AC B --的平面角为α，直线DA 与平面
ABC 所成角为β，直线AB 与平面ADC 所成角为γ，则（ ）
A ．αβγ≥≥
B ．βαγ≥≥
C ．αγβ≥≥
D ．γαβ≥≥
10．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-，且a b ⊥，则λ等于（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
11．设函数()()ln 1f x x =-的定义域为D ，命题p ：x D ∀∈，()f x x ≤的否定是（ ） A ．x D ∀∈，()f x x > B ．0x D ∃∈，()00f x x ≤ C ．x D ∀∉，()f x x >
D ．0x D ∃∈，()00f x x >
12．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，
亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）
A ．
413
B 213
C ．
926
D 313
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若()()cos f x x f x =--，且()sin 02
x
f x '+
<，则满足()()0f x f x π++≤的x 的取值范围为______.
14．电影《厉害了，我的国》于2018年3月正式登陆全国院线，网友纷纷表示，看完电影热血沸腾“我为我的国家骄傲，我为我是中国人骄傲！”《厉害了，我的国》正在召唤我们每一个人，不忘初心，用奋斗书写无悔人生，小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厉害了，我的国》，并把标识为,,,A B C D 的四张电影票放在编号分别为1，2，3，4的四个不同的盒子里，让四位好朋友进行猜测： 甲说：第1个盒子里放的是B ，第3个盒子里放的是C 乙说：第2个盒子里放的是B ，第3个盒子里放的是D 丙说：第4个盒子里放的是D ，第2个盒子里放的是C 丁说：第4个盒子里放的是A ，第3个盒子里放的是C 小明说：“四位朋友你们都只说对了一半” 可以预测，第4个盒子里放的电影票为_________
15．已知直线4x y b -=被圆2
2
2210x y x y +--+=截得的弦长为2，则b 的值为__
16．已知函数f （x ）=axlnx ﹣bx （a ，b ∈R ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y =3x ﹣e ，则a +b =_____. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知实数x ，y ，z 满足222
222
2111x y z x y z
++=+++，证明：2222111x y z x y z ++≤+++
18．（12分）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2,,2n n n n a S a -成等差数列*()n ∈N . （1）证明：数列{}1n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （2）记1
1
n n n n a b a a ++=
数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T . 19．（12分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足πsin sin 3c A a C ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
. （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若ABC
的面积为1a b -=，求c 和()cos 2A C -的值.
20．（12分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统 计,在2018年这一年内从A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次.为了 解乘客出行的满意度,现从中随机抽取100人次作为样本,得到下表(单位:人次):
（1）在样本中任取1个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;
（2）在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取2人次,记其中老年人出行的人次为X .以频率作为概率,求X 的分布列和数学期望;
（3）如果甲将要从A 市出发到B 市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由. 21．（12分）已知函数2
()(0)x
f x e ax a =->（其中e 2.718=是自然对数的底数）
（1）若()f x 在R 上单调递增，求正数a 的取值范围；
（2）若()f x f （x ）在()1212,x x x x x =<处导数相等，证明：122ln 2x x a +<； （3）当12a =
时，证明：对于任意11k e
≤+，若1
2b <，则直线y kx b =+与曲线()y f x =有唯一公共点（注：当1k >时，直线y x k =+与曲线x
y e =的交点在y 轴两侧）.
22．（10分）如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，3
2
AB AD =，PAD △为正三角形，
且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 、F 分别为PC 、PB 的中点.
（1）证明：平面ADEF ⊥平面PBC ； （2）求二面角B DE C --的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】
由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积． 【详解】
由题意原几何体是正三棱柱，1
234432
V =⨯=． 故选：B ． 【点睛】
本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体． 2、D 【解析】
由题可得函数()f x 的定义域为{|1}x x ≠±， 因为1()ln |
|1x f x x --==+1ln ||()1x
f x x
+-=--，所以函数()f x 为奇函数，排除选项B ； 又(1.1)ln 211f =>，(3)ln 21f =<，所以排除选项A 、C ，故选D ． 3、D
【解析】
根据线面垂直的性质，可知TP PB ⊥；结合112A P PB =即可证明11PTA BPB ∆≅∆，进而求得1TA .由线段关系及平面向量数量积定义即可求得1TP B B ⋅. 【详解】
长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==， 点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC . 则TP PB ⊥，11
2A P PB = 则11PTA BPB ∠=∠，所以11PTA BPB ∆≅∆， 则111TA PB ==，
所以11cos TP B B TP B B PTA ⋅=⋅⋅
∠
22⎛⎫
=⨯=- ⎝
， 故选：D. 【点睛】
本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题. 4、B 【解析】
先求出满足1
cos 22
α=-的α值，然后根据充分必要条件的定义判断． 【详解】 由1cos 22α=-
得2223k παπ=±，即3k παπ=±，k Z ∈ ，因此“1
cos 22α=-”是“3
k παπ=+，k Z ∈”的必要
不充分条件． 故选：B ． 【点睛】
本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断． 5、D 【解析】
两边同乘-i ，化简即可得出答案． 【详解】
i •z ＝2+i 两边同乘-i 得z=1-2i ,共轭复数为1+2i ，选D. 【点睛】
(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为z a bi =-
6、B 【解析】
由线面关系可知m n ⊥，不能确定n 与平面α的关系，若//n α一定可得m n ⊥，即可求出答案. 【详解】
,m m n α⊥⊥,
不能确定αn ⊂还是αn ⊄，
//m n n α∴⊥，
当//n α时，存在a α⊂，//,n a ， 由,m m a α⊥⇒⊥ 又//,n a 可得m n ⊥，
所以“m n ⊥”是“//n α”的必要不充分条件， 故选：B 【点睛】
本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题. 7、B 【解析】
设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b =--，联立方程，求得2
a x c =，a
b y
c =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，由
1PF =，列出相应方程，求出离心率.
【详解】
解：不妨设过点()2,0F c 作b y x a =
的垂线，其方程为()a
y x c b
=--， 由()
b y x a a y x
c b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
解得2a x c =，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
由16PF OP =，所以有2
222
4222
226a b a a a b c c c c
c ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得223a c =，所以离心率3==c
e a
． 故选：B. 【点睛】
本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题． 8、B 【解析】
根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可． 【详解】
2名内科医生，每个村一名，有2种方法，
3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，
若甲村有1外科,2名护士,则有，其余的分到乙村， 若甲村有2外科,1名护士,则有
，其余的分到乙村，
则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种， 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型. 9、A 【解析】
作'DD AB ⊥于'D ,DE AC ⊥于E ,分析可得'DED α,'DAD β=∠,再根据正弦的大小关系判断分析得αβ≥,
再根据线面角的最小性判定βγ≥即可. 【详解】
作'DD AB ⊥于'D ,DE AC ⊥于E .
因为平面DAB ⊥平面ABC ,'DD ⊥平面ABC .故,'AC DE AC DD ⊥⊥, 故AC ⊥平面'DED .故二面角D AC B --为'DED α
.
又直线DA 与平面ABC 所成角为'DAD β=∠,因为DA DE ≥,
故''sin '
sin 'DD DD DED DAD DE DA
.故αβ≥,当且仅当,A E 重合时取等号.
又直线AB 与平面ADC 所成角为γ,且'DAD β=∠为直线AB 与平面ADC 内的直线AD 所成角,故βγ≥,当且仅当BD ⊥平面ADC 时取等号. 故αβγ≥≥.
故选：A 【点睛】
本题主要考查了线面角与线线角的大小判断,需要根据题意确定角度的正弦的关系,同时运用线面角的最小性进行判定.属于中档题. 10、D 【解析】
由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解． 【详解】
因为(1,2),(2,2)a b λ==-，且a b ⊥，
·22(2)0a b λ=+-=，
则1λ=． 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 11、D 【解析】
根据命题的否定的定义，全称命题的否定是特称命题求解. 【详解】
因为p ：x D ∀∈，()f x x ≤是全称命题， 所以其否定是特称命题，即0x D ∃∈，()00f x x >. 故选：D 【点睛】
本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 12、A 【解析】
根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可． 【详解】
在ABD ∆中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒，由余弦定理，
得AB =
=
所以
DF AB =.
所以所求概率为2
4=13
DEF ABC S S ∆∆=. 故选A. 【点睛】
本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】
构造函数()()cos 2
x
g x f x =-，再根据条件确定()g x 为奇函数且在R 上单调递减，最后利用单调性以及奇偶性化简不等式，解得结果. 【详解】 依题意，()()()cos cos 22
x x
f x f x --
=--+
， 令()()cos 2
x
g x f x =-
，则()()g x g x =--，故函数()g x 为奇函数
()()()cos sin 022x x g x f x f x '⎡⎤''=-=+<⎢⎥⎣
⎦，故函数()g x 在R 上单调递减， 则()()()()()cos cos 0022
x x
f x f x f x f x πππ+++≤⇒+-
+-≤ ()()()()()0g x g x g x g x g x ππ⇔++≤⇔+≤-=-，即x x π+≥-，故2
x π
≥-
，则x 的取值范围为,2π⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
. 故答案为：,2π⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
【点睛】
本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题. 14、A 或D 【解析】
分别假设每一个人一半是对的，然后分别进行验证即可． 【详解】
解：假设甲说：第1个盒子里面放的是B 是对的， 则乙说：第3个盒子里面放的是D 是对的， 丙说：第2个盒子里面放的是C 是对的， 丁说：第4个盒子里面放的是A 是对的， 由此可知第4个盒子里面放的是A ；
假设甲说：第3个盒子里面放的是C 是对的， 则丙说：第4个盒子里面放的是D 是对的， 乙说：第2个盒子里面放的是B 是对的， 丁说：第3个盒子里面放的是C 是对的， 由此可知第4个盒子里面放的是D ． 故第4个盒子里面放的电影票为D 或A ． 故答案为：A 或D 【点睛】
本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力，属于中档题． 15、1 【解析】
根据弦长为半径的两倍，得直线经过圆心，将圆心坐标代入直线方程可解得． 【详解】
解：圆22
2210x y x y +--+=的圆心为（1，1），半径1r =， 因为直线4x y b -=被圆2
2
2210x y x y +--+=截得的弦长为2， 所以直线40x y b --=经过圆心（1，1），
410b ∴--=，解得3b =．
故答案为：1． 【点睛】
本题考查了直线与圆相交的性质，属基础题． 16、0 【解析】
由题意()()'
2,3f e e f e ==，列方程组可求,a b ，即求+a b .
【详解】
∵在点()()
,e f e 处的切线方程为3y x e =-，
()2f e e ∴=，代入()ln f x ax x bx =-得2a b -=①.
又
()()()''1ln ,23f x a x b f e a b =+-∴=-=②.
联立①②解得：1,1a b ==-.
0a b ∴+=.
故答案为：0. 【点睛】
本题考查导数的几何意义，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、见解析 【解析】
已知条件222
222
2111x y z x y z
++=+++，需要证明的是222111x y z x y z ++≤+++222
222111x y z x y z +++++的值，发现22222222222231111111x y z x y z x y z x y z ⎛⎫++=-++= ⎪++++++⎝⎭
，则可以用柯西不等式. 【详解】
222
222
2111x y z x y z ++=+++， 222
222222
1111111111111x y z x y z x y z
∴-++=-+-+-=++++++. 由柯西不等式得，
2
222222222222111111111111x y z x y z x y z x y z x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++≥++ ⎪⎪ ⎪+++++++++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭. 2
2222111x y z x y z ⎛⎫
∴++ ⎪+++⎝≤⎭. 222
111x y z
x y z
∴
++≤+++【点睛】
本题考查柯西不等式的应用，属于基础题.
18、（1）证明见解析，31n
n a =-；（2）111
42(31)
n n T +=
-- 【解析】
（1）由2,,2n n n n a S a -成等差数列，可得到322n n a n S =+，再结合公式11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩，消去n S ，得到
*132()n n a a n +=+∈N ，再给等式两边同时加1，整理可证明结果；
（2）将（1）得到的31n
n a =-代入1
1
n n n n a b a a ++=
中化简后再裂项，然后求其前n 项和. 【详解】
（1）由2,,2n n n n a S a -成等差数列，则222n n n a n S a =+-， 即322n n a n S =+，①
当1n =时，111322,2a a a =+=， 又1132(1)2n n a n S ++=++，② 由①②可得：113322n n n a a a ++-=+，
即*
132()n n a a n +=+∈N ，
113(1),1n n a a n ++=+=时，111
13,
31
n n a a a +++==+.
所以{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列，
13n n a +=，所以31n n a =-.
（2）113111(31)(31)23131n n n n n n b ++⎛⎫
==- ⎪----⎝⎭
，
所以1211
11111
2313142(31)
n n n n T b
b b ++⎛⎫=+++=
-=- ⎪---⎝⎭. 【点睛】
此题考查了数列递推式，等比数列的证明，裂列相消求和，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题. 19、（Ⅰ）3π
；（Ⅱ）c =，()6
os 22c 1A C -=
. 【解析】
（Ⅰ）运用正弦定理和二角和的正弦公式，化简πsin sin 3c A a C ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，即可求出角C 的大小； （Ⅱ）通过面积公式和 1a b -=，可以求出,a b ，这样用余弦定理可以求出c ，用余弦定理求出cos A ，根据同角的三角函数关系，可以求出sin A ，这样可以求出sin 2,cos 2A A ,最后利用二角差的余弦公式求出()cos 2A C -的值. 【详解】
（Ⅰ）由正弦定理可知：
sin sin a c A C =,已知πsin sin 3c A a C ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，所以
sin sin sin (sin cos
cos
sin )33
C A A C C π
π
⋅=⋅⋅+⋅，
(0,)sin 0A A
π∈∴≠,
所以有sin tan 3
C C C C π
=⇒=⇒=
.
（Ⅱ）41
sin 12,132a S ab C ab a b b =⎧=⋅=⇒
=-=⇒⎨
=⎩
，由余弦定理可知：
2
2
2
2cos 13c a b ab C c =+-⋅=⇒
=222cos sin 2b c a A A bc +-==⇒==
, 2
11
sin 22sin cos 22cos 11313
A A A A A =⋅=
=-=-, ()cos 2cos 2cos sin 2s 1111
132i 1326
n 2A C A C A C -
⨯+=⨯+⋅=
-⋅=.
【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式、二倍角公式、二角差的余弦公式以及同角的三角函数关系，考查了运算能力. 20、（1）2950
（2）分布列见解析，数学期望2
5（3）建议甲乘坐高铁从A 市到B 市.见解析
【解析】
（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；
（2）依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是
151
755
=，所以12,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，即()2211155k
k
k P x k C -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即可求出X 的分布列和数学期望；
（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机． 【详解】
（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ， 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42， 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929
()10050
P M +==． （2）由题意，X 的所有可能取值为：012.，，
因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人
为老年人概率是
151
755
=， 所以022116
(0)C (1)525
P X ==⨯-=
， 12
118
(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=， 222
11
(2)C ()525
P X ==⨯=， 所以随机变量X 的分布列为：
1
2
16
25
8
25
125
故16812()0122525255
E X =⨯
+⨯+⨯=．
（3）答案不唯一，言之有理即可． 如可以从满意度的均值来分析问题，
参考答案如下：
由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：5210125110116
52121115
⨯+⨯+⨯=
++ 乘坐飞机的人满意度均值为：
4101457022
41475
⨯+⨯+⨯=++ 因为
11622
155
>， 所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市． 【点睛】
本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题． 21、（1）0,2
e ⎛⎤ ⎥⎝
⎦
；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
（1）需满足()0f x '恒成立，只需()0f x ''即可；（2）根据()g x 的单调性，构造新函数()(2)(2)()h x g ln a m g ln a m i m =--+=，并令12x ln a m =-，根据()i m 的单调性即可得证；
（3）将问题转化为证明2
1()2
x
b e x kx j x =--=有唯一实数解，对()j x 求导，判断其单调性，结合题目条件与不等式的放缩，即可得证． 【详解】
)2(x f x e ax '=-；
令()()2x g x f x e ax ='=-，则()0g x 恒成立；
()2x g x e a '=-，()(2)2(12)0min g x g ln a a ln a ==-； a ∴的取值范围是(0,]2
e
；
（2）证明：由（1）知，()g x 在(,2)ln a -∞上单调递减，在(2,)ln a +∞上单调递增； 122x ln a x ∴<<；
令()(2)(2)2(2)()m m h x g ln a m g ln a m a e e m i m -=--+=--=，0m >； 则()(0)0i m i <=；
令12x ln a m =-，则21()()(2)(2)g x g x g ln a m g ln a m ==-<+； 22x ln a m ∴<+； 1222x x ln a ∴+<；
（3）证明：()f x kx b =+，2
1()2
x
b e x kx j x =-
-=，要证明()b j x =有唯一实数解； 当m →+∞时，211(1)2m
e m m e --+→+∞；
当m →-∞时，211(1)2m
e m m e
--+→-∞；
即对于任意实数b ，2
12
x
b e x kx =-
-一定有解； ()x j x e x k '=--；
当1k >时，()j x 有两个极值点0m n <<；
函数()j x 在(-∞，)(m n ⋃，)+∞上单调递增，在(,)m n 上单调递减； 又12
b <
； ∴只需21()2
n b j n e n kn <=--，在11k e
+时恒成立； ∴只需21
1(1)2
n b e n n e
<--+；
令2111((1))(1)()02n n
e n n e n p n e e
'--+=--+==，其中一个正解是0n ；
0n >，1
((1))10n n e n e e
'--+=->；
()p n ∴单调递增，(0)0p <，p （1）0>； 001n ∴<<；
∴0
22
0000111111111(1)112222
n e n n n n b e e e e e --+=--++>--++=>；
综上得证． 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数证明不等式，考查了转化思想、不等式的放缩，属难题． 22、（1）见解析；（2
【解析】
（1）取AD 中点O ，BC 中点H ，连接PO ，OH ，PH .设EF 交PH 于G ，则G 为PH 的中点，连接OG . 通过证明,OG PH OG EF ⊥⊥，证得OG ⊥平面PBC ，由此证得平面ADEF ⊥平面PBC .
（2）建立空间直角坐标系，利用平面DEC 和平面BDE 的法向量，计算出二面角B DE C --的余弦值. 【详解】
（1）取AD 中点O ，BC 中点H ，连接PO ，OH ，PH . 设EF 交PH 于G ，则G 为PH 的中点，连接OG . 设2AD =
，则AB =
PO =OG PH ⊥.
由已知AD PO ⊥，AD OH ⊥，∴AD ⊥平面POH ，∴AD OG ⊥. ∵11
//
//22
EF BC AD ，∴EF OG ⊥， ∵EF PH G ⋂=，∴OG ⊥平面PBC ，
∵OG ⊂平面ADEF ，∴平面ADEF ⊥平面PBC .
（2）由（1）及已知可得PO ⊥平面ABCD ，建立如图所示的空间坐标系O xyz -，设2AD =
，则(P
，
)C
，()0,1,0D
，
)1,0B -
，1,222E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，31,222DE ⎛=- ⎝
⎭
，()3,0,0DC =，()
2,0BD =-
， 设平面DEC 的法向量为(
),,m x y z
=，∴0102
x y z =-+=，令y =()
0,3,1m =. 设平面
BDE 的法向量为()000
,,n x y z
=，∴000001022220
x y z y -+=⎪
⎨⎪+=⎩
，令02x =得(
)
2,3,1n =
-，
∴cos ,4
m n =
=
，∴二面角B DE C --的余弦值为4.
【点睛】
本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.。