南宁市七年级数学下册期末试卷填空题汇编精选考试题及答案

一、解答题
1．如图：在四边形ABCD中，A、B、C、D四个点的坐标分别是：（-2，0）、（0，6）、（4，4）、（2，0）现将四边形ABCD先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，平移后的四边形是A'B'C′D'
（1）请画出平移后的四边形A'B'C′D'（不写画法），并写出A'、B'、C′、D'四点的坐标．（2）若四边形内部有一点P的坐标为（a，b）写点P的对应点P′的坐标．
（3）求四边形ABCD的面积．
解析：（1）图见解析，A′（-4，1），B′（-2，7），C′（2，5），D′（0，1）；（2）P′的坐标为：（a-2，b+1）；（3）四边形ABCD的面积为22．
【分析】
（1）直接利用平移画出图形，再根据图形写出对应点的坐标进而得出答案；
（2）利用平移规律进而得出对应点坐标的变化规律：向上平移1个单位，纵坐标加1；向左平移2个单位，横坐标减2；
（3）利用四边形ABCD所在的最小矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【详解】
解：（1）如图所示：A′（-4，1），B′（-2，7），C′（2，5），D′（0，1）；
（2）若四边形内部有一点P的坐标为（a，b）写点P的对应点P′的坐标为：（a-2，
b+1）；
（3）四边形ABCD的面积为：6×6-1
2×2×6-1
2
×2×4-1
2
×2×4=22．
【点睛】
此题主要考查了平移变换以及坐标系内四边形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
2．如图1，已知直线CD∥EF，点A，B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．
（1）若∠DAP＝40°，∠FBP＝70°，则∠APB＝
（2）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB之间有什么关系？并说明理由；
（3）利用（2）的结论解答：
①如图2，AP1，BP1分别平分∠DAP，∠FBP，请你写出∠P与∠P1的数量关系，并说明理由；
②如图3，AP2，BP2分别平分∠CAP，∠EBP，若∠APB＝β，求∠AP2B．（用含β的代数式表示）
解析：（1）110°；（2）猜想：∠APB=∠DAP+∠FBP，理由见解析；（3）①∠P=2∠P1，
理由见解析；②∠AP2B=
1 180
2
β
︒-．
【分析】
（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM=∠DAP，再根据平行公理求出CD∥EF然后根据两直线平行，内错角相等可得∠MPB=∠FBP，最后根据
∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP等量代换即可得证；
（2）结论：∠APB=∠DAP+∠FBP．
（3）①根据（2）的规律和角平分线定义解答；②根据①的规律可得
∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，然后根据角平分线的定义和平角等于180°列式整理即可得解．
【详解】
（1）证明：过P作PM∥CD，
∴∠APM=∠DAP．（两直线平行，内错角相等），
∵CD∥EF（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠MPB=∠FBP．（两直线平行，内错角相等），
∴∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP．（等式性质）即∠APB=∠DAP+∠FBP=40°+70°=110°．（2）结论：∠APB=∠DAP+∠FBP．
理由：见（1）中证明．
（3）①结论：∠P=2∠P1；
理由：由（2）可知：∠P=∠DAP+∠FBP，∠P1=∠DAP1+∠FBP1，∵∠DAP=2∠DAP1，∠FBP=2∠FBP1，
∴∠P=2∠P1．
②由①得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，
∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，
∴∠CAP2=1
2∠CAP，∠EBP2=1
2
∠EBP，
∴∠AP2B=1
2∠CAP+1
2
∠EBP，
= 1
2（180°-∠DAP）+ 1
2
（180°-∠FBP），
=180°- 1
2
（∠DAP+∠FBP），
=180°- 1
2
∠APB，
=180°- 1
2
β．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，此类题目，难点在于过拐点作平行线．
3．已知：AB∥CD，截线MN分别交AB、CD于点M、N．
（1）如图①，点B在线段MN上，设∠EBM＝α°，∠DNM＝β°，且满足30
a+（β﹣60）2＝0，求∠BEM的度数；
（2）如图②，在（1）的条件下，射线DF平分∠CDE，且交线段BE的延长线于点F；请写出∠DEF与∠CDF之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点P在射线NT上运动时，∠DCP与∠BMT的平分线交于点Q，则∠Q与∠CPM的比值为（直接写出答案）．
解析：（1）30°；（2）∠DEF+2∠CDF＝150°，理由见解析；（3）1
2
【分析】
（1）由非负性可求α，β的值，由平行线的性质和外角性质可求解；
（2）过点E作直线EH∥AB，由角平分线的性质和平行线的性质可求∠DEF＝180°﹣30°﹣2x°＝150°﹣2x°，由角的数量可求解；
（3）由平行线的性质和外角性质可求∠PMB＝2∠Q+∠PCD，∠CPM＝2∠Q，即可求解．【详解】
解：（1）∵30
α-+（β﹣60）2＝0，
∴α＝30，β＝60，
∵AB∥CD，
∴∠AMN＝∠MND＝60°，
∵∠AMN＝∠B+∠BEM＝60°，
∴∠BEM＝60°﹣30°＝30°；
（2）∠DEF+2∠CDF＝150°．
理由如下：过点E作直线EH∥AB，
∵DF平分∠CDE，
∴设∠CDF＝∠EDF＝x°；
∵EH∥AB，
∴∠DEH＝∠EDC＝2x°，
∴∠DEF＝180°﹣30°﹣2x°＝150°﹣2x°；
∴∠DEF＝150°﹣2∠CDF，
即∠DEF+2∠CDF＝150°；
（3）如图3，设MQ与CD交于点E，
∵MQ平分∠BMT，QC平分∠DCP，
∴∠BMT＝2∠PMQ，∠DCP＝2∠DCQ，
∵AB∥CD，
∴∠BME＝∠MEC，∠BMP＝∠PND，
∵∠MEC＝∠Q+∠DCQ，
∴2∠MEC＝2∠Q+2∠DCQ，
∴∠PMB＝2∠Q+∠PCD，
∵∠PND＝∠PCD+∠CPM＝∠PMB，
∴∠CPM＝2∠Q，
∴∠Q 与∠CPM 的比值为12， 故答案为：12．
【点睛】 本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质，准确计算是解题的关键．
4．已知AB ∥CD ，∠ABE 与∠CDE 的角分线相交于点F ．
（1）如图1，若BM 、DM 分别是∠ABF 和∠CDF 的角平分线，且∠BED ＝100°，求∠M 的度数；
（2）如图2，若∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝13∠CDF ，∠BED ＝α°，求∠M 的度数； （3）若∠ABM ＝1n ∠ABF ，∠CDM ＝1n
∠CDF ，请直接写出∠M 与∠BED 之间的数量关系
解析：（1）65°；（2）
3606
α︒-︒；（3）2n ∠M +∠BED =360° 【分析】 （1）首先作EG ∥AB ，FH ∥AB ，连结MF ，利用平行线的性质可得∠ABE +∠CDE =260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF +∠CDF =130°，从而得到∠BFD 的度数，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质可求∠M 的度数；
（2）先由已知得到∠ABE =6∠ABM ，∠CDE =6∠CDM ，由（1）得∠ABE +∠CDE =360°-∠BED ，∠M =∠ABM +∠CDM ，等量代换即可求解；
（3）由（2）的方法可得到2n ∠M +∠BED =360°．
【详解】
解：（1）如图1，作//EG AB ，//FH AB ，连结MF ，
//AB CD ，
//////EG AB FH CD ∴，
ABF BFH ∴∠=∠，CDF DFH ∠=∠，180ABE BEG ∠+∠=︒，180GED CDE ∠+∠=︒， 360ABE BEG GED CDE ∴∠+∠+∠+∠=︒，
100BED BEG DEG ∠=∠+∠=︒，
260ABE CDE ∴∠+∠=︒，
ABE ∠和CDE ∠的角平分线相交于E ，
130ABF CDF ∴∠+∠=︒，
130BFD BFH DFH ∴∠=∠+∠=︒， BM 、DM 分别是ABF ∠和CDF ∠的角平分线， 12MBF ABF ∴∠=∠，12
MDF CDF ∠=∠， 65MBF MDF ∴∠+∠=︒，
1306565BMD ∴∠=︒-︒=︒；
（2）如图1，13
ABM ABF ∠=∠，13CDM CDF ∠=∠， 3ABF ABM ∴∠=∠，3CDF CDM ∠=∠，
ABE ∠与CDE ∠两个角的角平分线相交于点F ，
6ABE ABM ∴∠=∠，6CDE CDM ∠=∠，
66360ABM CDM BED ∴∠+∠+∠=︒，
BMD ABM CDM ∠=∠+∠，
6360BMD BED ∴∠+∠=︒，
3606
BMD α︒-︒∴∠=； （3）由（2）结论可得，22360n ABM n CDM E ∠+∠+∠=︒，M ABM CDM ∠=∠+∠， 则2360n M BED ∠+∠=︒．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和四边形的内角和，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质．
5．如图，已知//AB CD ，CN 是BCE ∠的平分线．
（1）若CM 平分BCD ∠，求MCN ∠的度数；
（2）若CM 在BCD ∠的内部，且CM CN ⊥于C ，求证：CM 平分BCD ∠；
（3）在（2）的条件下，过点B 作BP BQ ⊥，分别交CM 、CN 于点P 、Q ，PBQ ∠绕着B 点旋转，但与CM 、CN 始终有交点，问：BPC BQC ∠+∠的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．
解析：（1）90°；（2）见解析；（3）不变，180°
【分析】
（1）根据邻补角的定义及角平分线的定义即可得解；
（2）根据垂直的定义及邻补角的定义、角平分线的定义即可得解；
（3）180BPC BQC ∠+∠=︒，过Q ，P 分别作//QG AB ，//PH AB ，根据平行线的性质及
平角的定义即可得解．
【详解】
解（1）CN ，CM 分别平分BCE ∠和BCD ∠， 12BCN BCE ∴=∠，12
BCM BCD ∠=∠， 180BCE BCD ∠+∠=︒，
111()90222
MCN BCN BCM BCE BCD BCE BCD ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒； （2）CM CN ⊥，
90MCN ∴∠=︒，即90BCN BCM ∠+∠=︒，
22180BCN BCM ∴∠+∠=︒，
CN 是BCE ∠的平分线，
2BCE BCN ∴∠=∠，
2180BCE BCM ∴∠+∠=︒，
又180BCE BCD ∠+∠=︒，
2BCD BCM ∴∠=∠，
又CM 在BCD ∠的内部，
CM ∴平分BCD ∠；
（3）如图，不发生变化，180BPC BQC ∠+∠=︒，过Q ，P 分别作//QG AB ，//PH AB ，
则有//////QG AB PH CD ，
BQG ABQ ∴∠=∠，CQG ECQ ∠=∠，BPH FBP ∠=∠，CPH DCP ∠=∠，
⊥BP BQ ，CP CQ ⊥，
90PBQ PCQ ∴∠=∠=︒，
180ABQ PBQ FBP ∠+∠+=︒，180ECQ PCQ DCP ∠+∠+∠=︒，
180ABQ FBP ECQ DCP ∴∠+∠+∠+∠=︒，
BPC BQC BPH CPH BQG CQG ∴∠+∠=∠+∠+∠+∠
180ABQ FBP ECQ DCP =∠+∠+∠+∠=︒，
180BPC BQC ∴∠+∠=︒不变．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质及作出合理的辅助线是解题的关键． 6．点A ，C ，E 在直线l 上，点B 不在直线l 上，把线段AB 沿直线l 向右平移得到线段CD ．
（1）如图1，若点E在线段AC上，求证：∠B+∠D=∠BED；
（2）若点E不在线段AC上，试猜想并证明∠B，∠D，∠BED之间的等量关系；
（3）在（1）的条件下，如图2所示，过点B作PB//ED，在直线BP，ED之间有点M，使得∠ABE=∠EBM，∠CDE=∠EDM，同时点F使得∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，其中
n≥1，设∠BMD=m，利用（1)中的结论求∠BFD的度数（用含m，n的代数式表示）．
解析：（1）见解析；（2）当点E在CA的延长线上时，∠BED=∠D-∠B；当点E在AC的
延长线上时，∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D；（3）
()1
2
m n
n
-
【分析】
（1）如图1中，过点E作ET∥A B．利用平行线的性质解决问题．
（2）分两种情形：如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，构造平行线，利用平行线的性质求解即可．
（3）利用（1）中结论，可得∠BMD=∠ABM+∠CDM，∠BFD=∠ABF+∠CDF，由此解决问题即可．
【详解】
解：（1）证明：如图1中，过点E作ET∥A B．由平移可得AB∥CD，
∵AB∥ET，AB∥CD，
∴ET∥CD∥AB，
∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，
∴∠BED=∠BET+∠DET=∠B+∠D．
（2）如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，过点E作ET∥A B．
∵AB∥ET，AB∥CD，
∴ET ∥CD ∥AB ，
∴∠B =∠BET ，∠TED =∠D ，
∴∠BED =∠DET -∠BET =∠D -∠B ．
如图2-2中，当点E 在AC 的延长线上时，过点E 作ET ∥A B ．
∵AB ∥ET ，AB ∥CD ，
∴ET ∥CD ∥AB ，
∴∠B =∠BET ，∠TED =∠D ，
∴∠BED =∠BET -∠DET =∠B -∠D ．
（3）如图，设∠ABE =∠EBM =x ，∠CDE =∠EDM =y ，
∵AB ∥CD ，
∴∠BMD =∠ABM +∠CDM ，
∴m =2x +2y ，
∴x +y =12m ， ∵∠BFD =∠ABF +∠CDF ，∠ABE =n ∠EBF ，∠CDE =n ∠EDF ，
∴∠BFD =
()111n n n x y x y n n n ---+=+=112n m n -⨯=()12m n n -． 【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会条件常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
7．如图，直线//PQ MN ，点C 是PQ 、MN 之间（不在直线PQ ，MN 上）的一个动点．
（1）如图1，若1∠与2∠都是锐角，请写出C ∠与1∠，2∠之间的数量关系并说明理由； （2）把直角三角形ABC 如图2摆放，直角顶点C 在两条平行线之间，CB 与PQ 交于点D ，CA 与MN 交于点E ，BA 与PQ 交于点F ，点G 在线段CE 上，连接DG ，有BDF GDF ∠=∠，求AEN CDG
∠∠的值； （3）如图3，若点D 是MN 下方一点，BC 平分PBD ∠， AM 平分CAD ∠，已知25PBC ∠=︒，求ACB ADB ∠+∠的度数．
解析：（1）见解析；（2）1
2；（3）75°
【分析】
（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解．
（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可．
（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和解答即可．
【详解】
解：（1）∠C =∠1+∠2，
证明：过C 作l ∥MN ，如下图所示，
∵l ∥MN ，
∴∠4=∠2（两直线平行，内错角相等），
∵l ∥MN ，PQ ∥MN ，
∴l ∥PQ ，
∴∠3=∠1（两直线平行，内错角相等），
∴∠3+∠4=∠1+∠2，
∴∠C =∠1+∠2；
（2）∵∠BDF =∠GDF ，
∵∠BDF =∠PDC ，
∴∠GDF =∠PDC ，
∵∠PDC +∠CDG +∠GDF =180°，
∴∠CDG +2∠PDC =180°，
∴∠PDC =90°-1
2∠CDG ，
由（1）可得，∠PDC +∠CEM =∠C =90°，
∴∠AEN =∠CEM ， ∴190(90)90122
CDG AEN CEM PDC CDG CDG CDG CDG ︒-︒-∠∠∠︒-∠====∠∠∠∠， （3）设BD 交MN 于J ．
∵BC 平分∠PBD ，AM 平分∠CAD ，∠PBC =25°，
∴∠PBD =2∠PBC =50°，∠CAM =∠MAD ，
∵PQ ∥MN ，
∴∠BJA =∠PBD =50°，
∴∠ADB =∠AJB -∠JAD =50°-∠JAD =50°-∠CAM ，
由（1）可得，∠ACB =∠PBC +∠CAM ，
∴∠ACB +∠ADB =∠PBC +∠CAM +50°-∠CAM =25°+50°=75°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、余角和补角的性质，解题的关键是根据平行找出角度之间的关系．
8．已知，AB ∥DE ，点C 在AB 上方，连接BC 、CD ．
（1）如图1，求证：∠BCD ＋∠CDE ＝∠ABC ；
（2）如图2，过点C 作CF ⊥BC 交ED 的延长线于点F ，探究∠ABC 和∠F 之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD 的平分线交CD 于点G ，连接GB 并延长至点H ，若BH 平分∠ABC ，求∠BGD ﹣∠CGF 的值．
解析：（1）证明见解析；（2）90ABC F ∠-∠=︒；（3）45︒．
【分析】
（1）过点C 作CF AB ∥，先根据平行线的性质可得180ABC BCF ∠+∠=︒，再根据平行公理推论可得CF DE ，然后根据平行线的性质可得180CDE BCF BCD ∠+∠+∠=︒，由此即
可得证；
（2）过点C 作CG AB ∥，同（1）的方法，先根据平行线的性质得出180ABC BCG ∠+∠=︒，180F BCG BCF ∠+∠+∠=︒，从而可得ABC F BCF ∠-∠=∠，再根据垂直的定义可得90BCF ∠=︒，由此即可得出结论；
（3）过点G 作GM AB ，延长FG 至点N ，先根据平行线的性质可得ABH MGH ∠=∠，MGN DFG ∠=∠，从而可得MGH MGN ABH DFG ∠-∠=∠-∠，再根据角平分线的定义、结合（2）的结论可得45MGH MGN ∠=-∠︒，然后根据角的和差、对顶角相等可得BGD CG MGH MGN F ∠-∠=∠-∠，由此即可得出答案．
【详解】
证明：（1）如图，过点C 作CF AB ∥，
180ABC BCF ∴∠+∠=︒，
AB DE ，
CF DE ∴，
180CDE DCF ∴∠+∠=︒，即180CDE BCF BCD ∠+∠+∠=︒，
CDE BCF BCD ABC BCF ∴∠+∠+∠=∠+∠，
BCD CDE ABC ∴∠+∠=∠；
（2）如图，过点C 作CG AB ∥，
180ABC BCG ∴∠+∠=︒，
AB DE ，
CG DE ∴，
180F FCG ∴∠+∠=︒，即180F BCG BCF ∠+∠+∠=︒，
F BC
G BCF ABC BCG ∴∠+∠+∠=∠+∠，
ABC F BCF ∴∠-∠=∠，
CF BC ⊥，
90BCF ∴∠=︒，
90ABC F ∴∠-∠=︒；
（3）如图，过点G 作GM AB ，延长FG 至点N ，
ABH MGH ∴∠=∠，
AB DE ，
GM DE ∴，
MGN DFG ∴∠=∠， BH 平分ABC ∠，FN 平分CFD ∠， 11,22ABH AB D C CF DFG ∴∠=∠∠∠=， 由（2）可知，90ABC CFD ∠-∠=︒，
41122
5MGH MGN ABH DFG CF B D A C ∠-∠=∠-∠∠∠-==∴︒， 又BGD MGH MGD CGF DGN MGN MGD ∠=∠+∠⎧⎨∠=∠=∠+∠⎩
， 45MGH BGD GF MGN C ∠-∠∴-==∠∠︒．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
9．如图1在平面直角坐标系中，大正方形OABC 的边长为m 厘米，小正方形ODEF 的边长为n 厘米，且|m ﹣4|+2n -＝0．
（1）求点B 、点D 的坐标．
（2）起始状态如图1所示，将大正方形固定不动，小正方形以1厘米/秒的速度沿x 轴向右平移，如图2．设平移的时间为t 秒，在平移过程中两个正方形重叠部分的面积为S 平方厘米．
①当t ＝1.5时，S ＝ 平方厘米；
②在2≤t ≤4这段时间内，小正方形的一条对角线扫过的图形的面积为 平方厘米；
③在小正方形平移过程中，若S ＝2，则小正方形平移的时间t 为 秒．
（3）将大正方形固定不动，小正方形从图1中起始状态沿x 轴向右平移，在平移过程中，连接AD ，过D 点作DM ⊥AD 交直线BC 于M ，∠DAx 的角平分线所在直线和∠CMD 的角平分线所在直线交于N （不考虑N 点与A 点重合的情形），求∠ANM 的大小并说明理由． 解析：（1）(4,4),(0,2)B D ；（2）①3，②4，③1或5；（3）45︒，理由见解析
【分析】
（1）由非负性的性质以及算数平方根的性质可得出,m n 的值，可答案可求出； （2）①1.5秒时，小正方形向右移动1.5厘米，即可计算出重叠部分的面积；
②画出图形，计算所得图形面积即可；
③小正方形的高不变，根据面积即可求出小正方形平移的距离和时间；
（3）过D 作//DQ x 轴，过N 作NP //x 轴，设CMG DMG y ∠=∠=，则
,2PNM NMB y MDQ CMD y ∠=∠=∠=∠=，得出902ADQ OAD y ∠=∠=︒-，得出
902DAx y ∠=︒+，得出1452
NAx DAx y PNA ∠=∠=︒+=∠， 45ANM PNA PNM ∠=∠-∠=︒．
【详解】
解（1）()2
420m n -+--=， 2,4n m ∴==，
(4,4),(0,2)B D ∴；
（2）①当 1.5t =秒时，小正方形向右移动1.5厘米，
2 1.53S ∴=⨯=（平方厘米）；
②如图1所示，小正方形的一条对角线扫过的面积为红色平行四边形，
面积为：224⨯=（平方厘米）；
③如图2，小正方形平移距离为415+=（厘米），
∴小正方形平移的距离为1厘米或5厘米，
1t ∴=或5t =，
综上所述，小正方形平移的时间为1或5秒；
（3）如图3，过D 作//DQ x 轴，过N 作NP //x 轴，
MN 平分CMD ∠,
设CMG DMG y ∠=∠=，
则,2PNM NMB y MDQ CMD y ∠=∠=∠=∠=，
DM AD ⊥，
902ADQ OAD y ∴∠=∠=︒-，
180180(902)902DAx AOD y y ∴∠=︒-∠=︒-︒-=︒+， AN 平分DAx ∠， 1452
NAx DAx y PNA ∴∠=∠=︒+=∠， 4545ANM PNA PNM y y ∴∠=∠-∠=︒+-=︒．
【点睛】
本题考查了非负数的性质、坐标与图形的性质、平移的性质、平行线的性质、角平分线的性质、解题的关键是熟练掌握平行线的性质及平移的性质．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC,点A 的坐标是(4，0)，点B 的坐标是(2，3)，点C 在x 轴的负半轴上,且AC=6.
(1)直接写出点C 的坐标.
(2)在y 轴上是否存在点P ，使得S △POB =
23
S △ABC 若存在,求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由.
(3)把点C 往上平移3个单位得到点H ，作射线CH,连接BH ，点M 在射线CH 上运动(不与点C 、H 重合).试探究∠HBM ，∠BMA ，∠MAC 之间的数量关系，并证明你的结论.
解析：(1)C(-2，0)；(2)点P 坐标为(0，6)或(0，-6)；(3)∠BMA=∠MAC±∠HBM ，证明见解析.
【分析】
(1)由点A坐标可得OA=4，再根据C点x轴负半轴上，AC=6即可求得答案；
(2)先求出S△ABC=9，S△BOP=OP，再根据S△POB=2
3
S△ABC，可得OP=6，即可写出点P的坐标；
(3)先得到点H的坐标，再结合点B的坐标可得到BH//AC，然后根据点M在射线CH上，分点M在线段CH上与不在线段CH上两种情况分别进行讨论即可得.
【详解】
(1)∵A(4，0)，
∴OA=4，
∵C点x轴负半轴上，AC=6，
∴OC=AC-OA=2，
∴C(-2，0)；
(2)∵B(2，3)，
∴S△ABC=1
2×6×3=9，S△BOP=1
2
OP×2=OP，
又∵S△POB=2
3
S△ABC，
∴OP=2
3
×9=6，
∴点P坐标为(0，6)或(0，-6)；
(3)∠BMA=∠MAC±∠HBM，证明如下：
∵把点C往上平移3个单位得到点H，C(-2，0)，
∴H(-2，3)，
又∵B(2，3)，
∴BH//AC；
如图1，当点M在线段HC上时，过点M作MN//AC，
∴∠MAC=∠AMN，MN//HB，
∴∠HBM=∠BMN，
∵∠BMA=∠BMN+∠AMN，
∴∠BMA=∠HBM+∠MAC；
如图2，当点M在射线CH上但不在线段HC上时，过点M作MN//AC，∴∠MAC=∠AMN，MN//HB，
∴∠HBM=∠BMN，
∵∠BMA=∠AMN-∠BMN，
∴∠BMA=∠MAC-∠HBM；
综上，∠BMA=∠MAC±∠HBM.
【点睛】
本题考查了点的坐标，三角形的面积，点的平移，平行线的判定与性质等知识，综合性较强，正确进行分类并准确画出图形是解题的关键.
11．某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润 = 销售收入-进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
解析：（1）A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；（2）超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；（3）超市不能实现利润1400元的目标；
【分析】
（1）根据第一周和第二周的销售量和销售收入，可列写2个等式方程，再求解二元一次方程组即可；
（2）利用不多于5400元这个量，列写不等式，得到A型电风扇a台的一个取值范围，从而得出a的最大值；
（3）将B型电风扇用(30-a)表示出来，列写A、B两型电风扇利润为1400的等式方程，可求得a的值，最后在判断求解的值是否满足（2）中a的取值范围即可
【详解】
解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：
351800
4103100
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得：
250
210
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元．
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30-a）台．依题意得：200a+170（30-a）≤5400，解得：a≤10．
答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；
（3）依题意有：（250-200）a+（210-170）（30-a）=1400，
解得：a=20，∵a≤10，
∴在（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标．
【点睛】
本题是二元一次方程和一元一次不等式应用题的综合考查，解题关键是依据题意，找出等量关系式(不等关系式)，然后按照题目要求相应求解
12．五一节前，某商店拟购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用400元．
（1）求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
（2）销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为180元/台，B种品牌电风扇定价为250元/台，商店拟用1000元购进这两种风扇（1000元刚好全部用完），为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？
解析：（1）A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是100元、150元；（2）为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台．
【分析】
（1）设A种品牌电风扇每台进价x元，B种品牌电风扇每台进价y元，根据题意即可列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y即可．
（2）设购进A品牌电风扇a台，B品牌电风扇b台，根据题意可列等式
1001501000
a b
+=，由a和b都为整数即可求出a和b的值的几种可能，然后分别算出每一种情况的利润进行比较即可．
【详解】
（1）设A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是x元、y元，
由题意得：
32
2400
x y
x y
=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
100
150
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
答：A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是100元、150元；（2）设购进A种品牌的电风扇a台，购进B种品牌的电风扇b台，由题意得：100a+150b＝1000，
其正整数解为：
1
6
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
或
4
4
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
或
7
2
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，
当a＝1，b＝6时，利润＝80×1+100×6＝680（元），当a＝4，b＝4时，利润＝80×4+100×4＝720（元），当a＝7，b＝2时，利润＝80×7+100×2＝760（元），∵680＜720＜760，
∴当a＝7，b＝2时，利润最大，
答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A 种品牌的电风扇7台，购进B 种品牌的电风扇2台．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意找出等量关系列出等式是解答本题的关键．
13．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x 的多项式用记号f(x)来表示．例如f(x)＝x 2＋3x －5，把x ＝某数时多项式的值用f(某数)来表示．例如x ＝－1时多项式x 2＋3x －5的值记为f(－1)＝(－1)2＋3×(－1)－5＝－7.
(1)已知g(x)＝－2x 2－3x ＋1，分别求出g(－1)和g(－2)；
(2)已知h(x)＝ax 3＋2x 2－ax －6，当h(12
)＝a ，求a 的值； (3)已知f(x)＝
2+3kx a －6
x bk -－2(a ，b 为常数)，当k 无论为何值，总有f(1)＝0，求a ，b 的值．
解析：(1)g(－1)＝2 g(－2)＝－1 (2)a ＝－4 (3)a ＝
132，b ＝－4. 【解析】
【分析】（1）将x=-1和x=-2分别代入可得出答案； （2）将x=12
代入可得关于a 的一元一次方程，解出即可； （3）由f(1)＝0，把x=1代入可得关于a 、b 、k 的方程，根据无论k 为何值时，都成立就可求出a 、b 的值．
【详解】（1）由题意得：g （-1）=-2×（-1）2-3×（-1）+1=2；
g （-2）=-2×（-2）2-3×（-2）+1=-1；
（2）由题意得：1116822
a a a +--=， 解得：a=-4；
（3）∵k 无论为何值，总有f(1)＝0， ∴21236
k a bk +---=0， 则当k=1、k=0时，可得方程组21203612036
a b a +-⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩， 解得：1324
a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩. 【点睛】本题考查了代数式求值、解一元一次方程、一元一次方程的解、解二元一次方程组等，读懂新定义是解题的关键.
14．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，A 点的坐标为()1A m n -,，B 点的坐
标为()0n -,，其中,m n 是二元一次方程组2202
m n m n +=⎧⎨-=-⎩的解，过点A 作x 轴的平行线交y 轴于点C ．
（1）求点,A B 的坐标；
（2）动点P 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线BO 的方向运动，连接PC ，设点P 的运动时间为t 秒，三角形OPC 的面积为()0S S ≠，请用含t 的式子表示S （不用写出相应的t 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，在动点P 从点B 出发的同时，动点Q 从点C 出发以每秒1个单位长度的速度沿线段CA 的方向运动．过点O 作直线PC 的垂线，点G 为垂足；过点Q 作直线PC 的垂线，点H 为垂足．当2OG QH =时，求t 的值．
解析：（1） ()6,7A ()8,0B -；（2）2814(02)1428(2)
t t S t t -≤<⎧=⎨->⎩；（3）43或4． 【分析】
（1）先求出是二元一次方程组2202m n m n +=⎧⎨-=-⎩
的解，然后代入A 、B 的坐标即可解答； （2）先求出OC 的长，分点P 在线段OB 上和OB 的延长线上两种情况，分别利用三角形面积公式计算即可；
（3）分两种情况解答：①当点P 在线段OB 上时，连接PQ ，过点M 作PM ⊥AC 交AC 的延长线于M ，可得OP =2CQ ，构建方程解答即可；②当点P 在BO 的延长线上时，同理可解．
【详解】
解：（1）解二元一次方程组2202m n m n +=⎧⎨-=-⎩，得：68m n =⎧⎨=⎩
∴A （6,7），B （-8,0）；
（2） ①当点P 在线段OB 上时，BP =4t ，OP =8-4t ， ∴11(84)7281422
S OP OC t t =⋅⋅=⋅-⨯=- ②当点P 在OB 延长线上时，
11(48)7142822
S OP OC t t =⋅⋅=⋅-⨯=- 综上所述2814(02)1428(2)t t S t t -≤<⎧=⎨->⎩
； （3）①当点P 在线段OB 上时，
如图：连接PQ ，过点M 作PM ⊥AC 交AC 的延长线于M
1122OPC S OP OC PC OG ∆=⋅=⋅， 11
22
PCQ S CQ PM PC HQ ∆=⋅=⋅
又2OG QH = 2OPC PCQ S S ∆∆∴=
2OP CQ ∴=
842t t ∴-=
43
t ∴=
； ②当P 在线段BO 延长线上时 同理可得：4t =．
综上，满足题意t 的值为4
3或4．
【点睛】
本题主要考查了三角形的面积、二元一次方程组等知识点，学会用分类讨论的思想思考问题以及利用面积法解决线段之间的关系成为解答本题的关键．
15．阅读材料：如果x 是一个有理数，我们把不超过x 的最大整数记作[]x ． 例如，[]3.23=，[]55=，[]2.13-=-，那么，[]x x a =+，其中01a ≤<． 例如，[]3.2 3.20.2=+，[]550=+，[]2.1 2.10.9-=-+． 请你解决下列问题：
（1）[]4.8=__________，[]6.5-=__________； （2）如果[]5x =，那么x 的取值范围是__________； （3）如果[]5231x x -=+，那么x 的值是__________； （4）如果[]x x a =+，其中01a ≤<，且[]41a x =+，求x 的值．
解析：（1）4，-7；（2）56x ≤<；（3）5
3；（4）1x =-或14或112
或324
【分析】
（1）根据[]x 表示不超过x 的最大整数的定义及例子直接求解即可； （2）根据[]x 表示不超过x 的最大整数的定义及例子直接求解即可；
（3）由材料中“[]x x a =+，其中01a ≤<”得出315232x x x +-<+，解不等式，再根据3x +1为整数，即可计算出具体的值；
（4）由材料中的条件[]41a x =+可得[]14
x a +=，由0
1a <，可求得[]x 的范围，根据[]
x 为整数，分情况讨论即可求得x 的值． 【详解】
（1）[]4.84=，[]6.57-=-． 故答案为：4，-7．
（2）如果[]5x =． 那么x 的取值范围是56x <． 故答案为：56x <．
（3）如果[]5231x x -=+，那么315232x x x +-<+． 解得：
3
22
x < ∵31x +是整数． ∴53x =．
故答案为：5
3
．
（4）∵[]x x a =+，其中01a <， ∴[]x x a =-， ∵[]41a x =+， ∴[]14
x a +=
．
∵01a <， ∴[]1014
x +<，
∴[]1
3x -<，
∴[]1x =-，0，1，2． 当[]1x =-时，0a =，1x =-； 当[]0x =时，1
4a =，14
x =； 当[]1x =时，12a =，112
x =； 当[]2x =时，3
4a =
，324
x =； ∴1x =-或14或112
或3
24．
【点睛】
本题考查了新定义下的不等式的应用，关键是理解题中[]x 的意义，列出不等式求解；最后一问要注意不要漏了情况．
16．对x ，y 定义一种新的运算P ，规定：,()
(,),()mx ny x y P x y nx my x y +≥⎧=⎨+<⎩
（其中0mn ≠）．已
知(2,1)7P =，(1,1)1P -=-． （1）求m 、n 的值；
（2）若0a >，解不等式组(2,1)4
111,52
3P a a P a a -<⎧⎪
⎨⎛⎫
---≤- ⎪⎪⎝⎭⎩． 解析：（1）23
m n =⎧⎨=⎩；（2）12
113a ≤<
【分析】
（1）先根据规定的新运算列出关于m 、n 的方程组，再解之即可；
（2）由a ＞0得出2a ＞a -1，-12
a -1＜-1
3a ，根据新定义列出关于a 的不等式组，解之即
可． 【详解】
解：（1）由题意，得：27
1
m n n m +=⎧⎨-+=-⎩，
解得23m n =⎧⎨=⎩
；
（2）∵a ＞0， ∴2a ＞a ，
∴2a ＞a -1，-12a ＜-1
3a ，
∴-12
a -1＜-1
3a ，
∴223(1)411
3(1)2()523a a a a ⨯+-<⎧
⎪⎨--+⨯-≤-⎪⎩①②， 解不等式①，得：a ＜1， 解不等式②，得：a ≥12
13
， ∴不等式组的解集为12
13
≤a ＜1． 【点睛】
本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据新定义列出相应的方程组和不等式组是解答此题的关键．
17．某地葡萄丰收，准备将已经采摘下来的11400公斤葡萄运送杭州，现有甲、乙、丙三种车型共选择，每辆车运载能力和运费如表表示（假设每辆车均满载）
辆？
（2）为了节省运费，现打算用甲、乙、丙三种车型都参与运送，已知它们的总辆数为15辆，你能分别求出这三种车型的辆数吗？怎样安排运费最省？
解析：（1）甲3辆，乙12辆；（2）有三种方案，具体见解析，甲4辆，乙9辆，丙2辆最省钱． 【分析】
（1）设需要甲x 辆，乙y 辆，根据运送11400公斤和需运费8700元，可列出方程组求解．
（2）设需要甲x 辆，乙y 辆，则丙（15﹣x ﹣y ）辆，根据甲汽车运载量+乙汽车运载量+丙汽车运载量=11400，列方程，化简后，根据甲、乙、丙三种车型都参与运送，即x ＞0，y ＞0，15﹣x ﹣y ＞0，解不等式即可求出x 的范围，进而得出方案．计算出每种方案需要的运费，比较即可得出运费最省的方案． 【详解】
（1）设需要甲x 辆，乙y 辆，根据题意得：
60080011400
5006008700x y x y +=⎧⎨
+=⎩
解得：312
x y =⎧⎨=⎩．
答：甲3辆，乙12辆；
（2）设需要甲x 辆，乙y 辆，则丙（15﹣x ﹣y ）辆，根据题意得： 600x +800y +900（15﹣x ﹣y ）=11400 化简得：y =21﹣3x ．
∵x ＞0，y =21﹣3x ＞0，15﹣x ﹣y =2x －6＞0，解得：3＜x ＜7．
∵x 为整数，∴x =4，5，6． 因此方案有三种：
方案①：甲4辆，乙9辆，丙2辆； 方案②：甲5辆，乙6辆，丙4辆； 方案③：甲6辆，乙3辆，丙6辆； 则运费分别为：
①4×500+9×600+2×700=8800（元）． ②5×500+6×600+4×700=8900（元）； ③6×500+3×600+6×700=9000（元）． 故第一种方案运费最省，为8800元． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组与二元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系，建立
方程或方程组解决问题．
18．如图，在平面直角坐标系中,()()()A 1,0,B 3,0,C 0,2-，CD//x 轴，CD=AB ．
(1)求点D 的坐标：
(2)四边形OCDB 的面积S 四边形OCDB ；
(3)在y 轴上是否存在点P ，使S △PAB =S 四边形OCDB ；若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.
解析：（1）()4,2（2）7（3）点P 的坐标为70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或70,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
【详解】
试题分析：⑴抓住CD ∥x 轴，可以推出C D 、纵坐标相等，而134CD AB ==--=是C D 、横坐标之差的绝对值，以此可以求出点D 的坐标，根据图示要舍去一种情况.
⑵四边形OCDB 是梯形，根据点的坐标可以求出此梯形的上、下底和高，面积可求. ⑶存在性问题可以先假设存在，在假设的基础上以S △PAB = S 四边形OCDB 为等量关系建立方程，以此来探讨在y 轴上是否存在着符合条件的点P .
试题解析：⑴.∵CD ∥x 轴, ∴C D 、纵坐标相等; ∵()0,2C ∴点D 的纵坐标也为2.
设点D 的坐标为(),2m ，则0CD m m =-=. 又134AB =--=，且CD AB =， ∴4CD m ==，解得：124,4m m ==-.
由于点D 在第一象限，所以4m =，所以D 的坐标为()4,2. ⑵.∵ CD ∥x 轴，且()()()()00,0,3,0,0,2,4,2B C D ∴044,033,22CD OB CO =-==-===
∴S 四边形OCDB = ()()11
234722
CO OB CD ⨯⨯+=⨯⨯+=.
⑶.假设在y 轴上存在点P ,使S △PAB = S 四边形OCDB . 设P 的坐标为()0,n ，则PO n =，而4AB = ∴S △PAB =11
4222
AB OP n n ⨯⨯=⨯⨯=.
∵S △PAB = S 四边形OCDB ，S 四边形OCDB 7= ∴27n = ，解得；1277
,22
n n ==-.均符合题意.
∴在y 轴上存在点P ,使S △PAB = S 四边形OCDB . 点P 的坐标为70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或70,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭.
19．已知A 、B 两点的坐标分别为()2,1A -，()4,1B --，将线段AB 水平向右平移到DC ，连接AD ，BC ，得四边形ABCD ，且12ABCD S =四边形．
（1）点C 的坐标为______，点D 的坐标为______；
（2）如图1，CG x ⊥轴于G ，CG 上有一动点Q ，连接BQ 、DQ ，求BQ DQ +最小时Q 点位置及其坐标，并说明理由；
（3）如图2，E 为x 轴上一点，若DE 平分ADC ∠，且DE HC ⊥于E ，
1
4
ABH ABC ∠=∠．求BHC ∠与A ∠之间的数量关系．
解析：（1）()2,1C -，()4,1D ；（2）12,2Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
，理由见解析；（3）4180BHC A ∠-∠=︒
【分析】
（1）根据已知条件求出AD 和BC 的长度，即可得到D 、C 的坐标； （2）连接BD 与直线CG 相交，其交点Q 即为所求，然后根据BND
BQC
QCND S S
S =+梯形求出
QC 、QG 后即可得到Q 点坐标；
（3）过H 作HF ∥AB ，过C 作CM ∥ED ，则根据已知条件、平行线的性质和角的有关知识可以得到4180BHC A ∠-∠=︒ ． 【详解】
（1）解：由题意可得四边形ABCD 是平行四边形，且AD 与BC 间距离为1-（-1）=2， ∴平行四边形ABCD 的高为2， ∴AD=BC=S 四边形ABCD ÷2=12÷2=6，
∴C 点坐标为（-4+6，-1）即（2，-1），D 点坐标为（-2+6，1）即（4，1）； （2）解：如图，连接BD 交CG 于Q ，
∵BQ DQ BD +=，
∴此时BQ DQ +最小（两点之间，线段最短）， 过D 作DN BC ⊥于N ，
∵()4,1B --，()2,1C -，()4,1D ， ∴2DN =，6BC =，2CN =， 设QC a =，
∴8BND S =△，3BQC S a =△，2QCND S a =+梯形， 又∵BND
BQC
QCND S
S
S =+梯形，
∴()832a a =++， ∴32
a =
， ∴31122
QG a GC =-=
-=， ∴12,2Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
．
（3）∵//AD BC ，//AB DC ，
∴180A ABC ∠+∠=︒，180A ADC ∠+∠=︒， ∴ABC ADC ∠=∠．
∵DE 平分ADC ∠，∴1
2ADE CDE ADC ∠=∠=∠．
又∵1
4
ABH ABC ∠=∠，
设ABH x ∠=︒，则4ABC ADC x ∠=∠=︒， ∴()1804A x ∠=-︒，2ADE CDE x ∠=∠=︒， 过H 作//FH AB ，
又∵//AB DC ，∴//FH DC ，
∴////FH AB DC ，∴ABH BHF x ∠=∠=︒． 过C 作//CM DE ，
∴HED HCM ∠=∠，2EDC DCM x ∠=∠=︒． ∵DE HC ⊥于E ，∴90HED HCM ∠=∠=︒， ∴()902HCD HCM DCM x ∠=∠-∠=-︒，
∴()()90290BHC BHF FHC x x x ∠=∠+∠=+-︒=-︒， 又∵()1804A x ∠=-︒， ∴4180BHC A ∠-∠=︒． 【点睛】
本题考查平行线的综合应用，熟练掌握平行线的判定与性质、平移坐标变换规律、两点之间线段最短的性质、角的有关知识和运算是解题关键 ．
20．已知//AB CD ，定点E ，F 分别在直线AB ，CD 上，在平行线AB ，CD 之间有一动点
P ．
（1）如图1所示时，试问AEP ∠，EPF ∠，PFC ∠满足怎样的数量关系?并说明理由． （2）除了（1）的结论外，试问AEP ∠，EPF ∠，PFC ∠还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明
（3）当EPF ∠满足0180EPF ︒<∠<︒，且QE ，QF 分别平分PEB ∠和PFD ∠， ①若60EPF ∠=︒，则EQF ∠=__________°．
②猜想EPF ∠与EQF ∠的数量关系．（直接写出结论）。