2019年高考数学(理)考点通关训练第四章数列 29及答案

考点测试29 列的概念与简单表示法
一、基础小题
1．已知列{a n }的通项公式a n ＝
1
n n ＋(n ∈N *
)，则1
120
是这个
列的( )
A ．第8项
B ．第9项
C ．第10项
D ．第12项
答案 C
解析 由题意知1120＝
1
n n ＋，n ∈N *
，解得n ＝10，即1
120
是
这个列的第10项，故选C.
2．已知列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2等于( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．－2
答案 A
解析 由S n ＝2(a n －1)，得a 1＝2(a 1－1)，即a 1＝2， 又a 1＋a 2＝2(a 2－1)，得a 2＝4.
3．已知列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1，则列{a n }的一个通项公式为( )
A ．a n ＝n －1
B ．a n ＝(n －1)2
C ．a n ＝(n －1)3
D ．a n ＝(n －1)4
答案 B
解析 a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1，所以a 2＝0＋1＝1，a 3＝1＋3＝4，
a 4＝4＋5＝9，故列{a n }的一个通项公式为a n ＝(n －1)2.
4．设a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则列{a n }的最大项是( ) A ．107 B ．108 C.8658 D ．109
答案 B
解析 因为a n ＝－2n 2
＋29n ＋3＝－2⎝
⎛⎭⎪⎫n －2942＋865
8，n ∈N *，所以
当n ＝7时，a n 取得最大值108.
5．列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N 都有
a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( )
A.61
16 B.259 C.2516 D.3115
答案 A
解析 解法一：令n ＝2,3,4,5，分别求出a 3＝94，a 5＝25
16，∴a 3
＋a 5＝61
16
，故选A.
解法二：当n ≥2时，a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2. 当n ≥3时，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2.
两式相除得a n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫n n －12，∴a 3＝94，a 5＝25
16， ∴a 3＋a 5＝61
16
，故选A.
6．已知在列{a n }中，a 1＝2，a 2＝7，若a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位，则a 2016的值为( )
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
答案 B
解析 因为a 1a 2＝2×7＝14，所以a 3＝4；因为a 2a 3＝7×4＝28，所以a 4＝8；因为a 3a 4＝4×8＝32，所以a 5＝2；因为a 4a 5＝8×2＝16，所以a 6＝6；因为a 5a 6＝2×6＝12，所以a 7＝2；因为a 6a 7＝6×2＝12，所以a 8＝2；依次计算得a 9＝4，a 10＝8，a 11＝2，a 12＝6，所以从第3项起，列{a n }成周期列，周期为6，因为2016＝2＋335×6＋4，所以
a 2016＝6.
7．已知S n 是列{a n }的前n 项和，且有S n ＝n 2＋1，则列{a n }的通项a n ＝________.
答案 ⎩⎪⎨
⎪
⎧
n ＝，
2n －
n
解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1＋1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1
＝(n 2＋1)－＝2n －1.此时对于n ＝1不成立，故a n ＝
⎩⎪⎨⎪
⎧
n ＝，
2n －
n
8．列{a n }满足13a 1＋132a 2＋…＋1
3
n a n ＝3n ＋1，n ∈N *，则a n ＝
________.
答案 ⎩⎪⎨⎪⎧
12，n ＝1，3n ＋1
，n ≥2
解析 当n ＝1时，a 1＝12.
因为13a 1＋132a 2＋…＋1
3n a n ＝3n ＋1，n ∈N *，①
所以当n ≥2时，13a 1＋132a 2＋…＋1
3n －1a n －1＝3n －2.②
所以①－②，得a n ＝3n ＋1
.所以a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
12，n ＝1，
3n ＋1
，n ≥2.
二、高考小题
9．根据下面框图，对大于2的整N ，输出的列的通项公式是( )
A ．a n ＝2n
B ．a n ＝2(n －1)
C ．a n ＝2n
D ．a n ＝2n －1
答案 C
解析由程序框图可知：a1＝2×1＝2，a2＝2×2＝4，a3＝2×4＝8，a4＝2×8＝16，归纳可得：a n＝2n，故选C.
10．设等差列{a n}的公差为d，若列{2a1a n}为递减列，则( ) A．d<0 B．d>0
C．a1d<0 D．a1d>0
答案 C
解析∵列{2 a1a n}为递减列，∴2 a1a n>2a1a n＋1，n∈N*，∴a1a n>a1a n ＋1，∴
a1(a n＋1－a n)<0.∵{a n}为公差为d的等差列，∴a1d<0.故选C.
11．列{a n}满足a n＋1＝
1
1－a n
，a8＝2，则a1＝________.
答案1 2
解析由a n＋1＝
1
1－a n
，得a n＝1－
1
a n＋1
，
∵a8＝2，∴a7＝1－1
2
＝
1
2
，a6＝1－
1
a7
＝－1，a5＝1－
1
a6
＝2，……，
∴{a n}是以3为周期的列，∴a1＝a7＝1 2 .
12．设列{a n}的前n项和为S n.若S2＝4，a n＋1＝2S n＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.
答案 1 121
解析解法一：∵a n＋1＝2S n＋1，∴a2＝2S1＋1，即S2－a1＝2a1＋1，又∵S2＝4，∴4－a1＝2a1＋1，解得a1＝1.又a n＋1＝S n＋1－S n，∴S n＋1－S n＝2S n＋1，即S n＋1＝3S n＋1，由S2＝4，可求出S3＝13，S4＝40，S5＝121.
解法二：由a n＋1＝2S n＋1，得a2＝2S1＋1，即S2－a1＝2a1＋1，又
S 2＝4，∴4－a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝1.又a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝
2S n ＋1，即S n ＋1＝3S n ＋1，则S n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＋12，又S 1＋12＝3
2，∴⎩
⎨⎧⎭⎬
⎫S n ＋12是首项为32，公比为3的等比列，∴S n ＋12＝32×3n －1
，即S n ＝3n －12，∴
S 5＝35－1
2
＝121.
13．设列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *
)，则列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 前
10项的和为________．
答案 2011
解析 由已知得，a 2－a 1＝1＋1，a 3－a 2＝2＋1，a 4－a 3＝3＋1，…，
a n －a n －1＝n －1＋1(n ≥2)，则有a n －a 1＝1＋2＋3＋…＋n －1＋(n －
1)(n ≥2)，因为a 1＝1，所以a n ＝1＋2＋3＋…＋n (n ≥2)，即a n ＝n 2＋n
2
(n ≥2)，又当n ＝1时，a 1＝1也适合上式，故a n ＝n 2＋n
2
(n ∈N *)，所
以1
a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －
1n ＋1，从而1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1
a 10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝2×⎝
⎛⎭⎪⎫1－111＝20
11.
三、模拟小题
14．在列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( )
A ．100
B ．110
C ．120
D ．130
答案 C
解析 {a n ＋a n ＋1}的前10项和为a 1＋a 2＋a 2＋a 3＋…＋a 10＋a 11＝2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋a 11－a 1＝2S 10＋10×2＝120，故选C.
15．设S n 为列{a n }的前n 项和，且S n ＝3
2(a n －1)(n ∈N *)，则a n
＝( )
A ．3(3n －2n )
B ．3n ＋2
C ．3n
D ．3·2n －1
答案 C
解析
⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝S 1＝
3
2
a 1－，a 1
＋a 2
＝32
a 2－
，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝3，a 2＝9，
代入选项
逐一检验，只有C 符合．
16．已知函f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－a x ＋2，x ≤2，a
2x 2－9x ＋11
，x >2
(a >0，且a ≠1)，若列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增列，则实a 的取值范围是( )
A ．(0,1) B.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫83，3 C ．(2,3) D ．(1,3)
答案 C
解析
因为{a n }是递增列，所以⎩⎪⎨⎪
⎧
3－a >0，a >1，
－a
＋2<a 2
.
解得2<a <3，所以实a 的取值范围是(2,3)．
17．已知列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n
1－a n
(n ∈N *)，则该列的前2017
项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2017＝________.
答案 2
解析 由题意可得，a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝
1＋a 3
1－a 3
＝13，a 5＝1＋a 4
1－a 4＝2＝a 1，∴列{a n }是以4为周期的列，而2017＝4×504＋1，a 1a 2a 3a 4＝1，∴前2017项的乘积为1504·a 1＝2.
18．若列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2，则列{a n }的通项公式为________．
答案
a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
6，n ＝1，n ＋2
n
，n ≥2，n ∈N *
解析 a 1·a 2·a 3·…·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，当n ＝1时，a 1＝6；当n ≥2时，
⎩⎪⎨⎪⎧
a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝n ＋
n ＋，
a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝n n ＋
，
故当n ≥2时，a n ＝n ＋2n
，
所以a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
6，n ＝1，n ＋2
n
，n ≥2，n ∈N *
.
一、高考大题
1．设列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；
(2)若列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)因为2S n ＝3n ＋3，所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3， 当n >1时，2S n －1＝3n －1＋3，
此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1， 即a n ＝3n －1，
所以a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3，n ＝1，
3n －1，n >1，n ∈N *
.
(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝1
3，
当n >1时，b n ＝31－n log 33n －1＝(n －1)·31－n . 所以T 1＝b 1＝1
3
；
当n >1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1
3＋，
所以3T n ＝1＋， 两式相减，得
2T n ＝2
3＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n
＝23＋1－31－n 1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n ＝136－2n ＋12×3n －1， 所以T n ＝1312－6n ＋34×3n ＝1312－2n ＋14×3n －1.
经检验，n ＝1时也适合． 综上可得T n ＝
1312－6n ＋34×3n ＝1312－2n ＋14×3
n －1. 2．已知列{a n }满足a 1＝12
且a n ＋1＝a n －a 2n (n ∈N *
)．
(1)证明：1≤a n
a n＋1
≤2(n∈N*)；
(2)设列{a2n}的前n项和为S n，证明：
1
n＋
≤
S n
n
≤
1
n＋
(n∈N*)．
证明(1)由题意得a n＋1－a n＝－a2n≤0，
即a n＋1≤a n，故a n≤1 2 .
由a n＝(1－a n－1)a n－1，得a n＝(1－a n－1)(1－a n－2)…(1－a1)a1>0.
由0<a n≤1
2
，得
a n
a n＋1
＝
a n
a n－a2n
＝
1
1－a n
∈，
即1≤a n
a n＋1
≤2.
(2)由题意得a2n＝a n－a n＋1，所以
a n
a n＋1
＝
1
a n＋1
－
1
a n
，
S n＝a1－a n＋1.①
由a n
a n＋1＝
1
a n＋1
－
1
a n
和1≤
a n
a n＋1
≤2，得1≤
1
a n＋1
－
1
a n
≤2，
所以n≤
1
a n＋1
－
1
a1
≤2n，
因此
1
n＋
≤a n＋1≤
1
n＋2
(n∈N*)．②
由①②得
1
n＋
≤
S n
n
≤
1
n＋
(n∈N*)．
二、模拟大题
3．已知列{a n}中，a n＝1＋
1
a＋n－
(n∈N*，a∈R，且a≠0)．
(1)若a＝－7，求列{a n}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N*，都有a n≤a6成立，求a的取值范围．
解 (1)∵a n ＝1＋
1
a ＋n －
(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．
又∵a ＝－7，∴a n ＝1＋1
2n －9(n ∈N *)．
结合函f (x )＝1＋1
2x －9
的单调性，
可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)． ∴列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.
(2)a n ＝1＋
1
a ＋n －
＝1＋12
n －
2－a 2
.
∵对任意的n ∈N *
，都有a n ≤a 6成立，结合函f (x )＝1＋12x －
2－a 2的
单调性，∴5<2－a
2
<6，∴－10<a <－8.
4．已知列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝4S n －1(n ∈N *)．
(1)证明：a n ＋2－a n ＝4； (2)求列{a n }的通项公式．
解 (1)证明：∵a n a n ＋1＝4S n －1，∴a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－1， ∴a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1. 又a n ≠0，∴a n ＋2－a n ＝4.
(2)由a n a n ＋1＝4S n －1，a 1＝1，得a 2＝3.
由a n ＋2－a n ＝4知列{a 2n }和{a 2n －1}都是公差为4的等差列， ∴a 2n ＝3＋4(n －1)＝2(2n )－1，
a 2n －1＝1＋4(n －1)＝2(2n －1)－1，
∴a n ＝2n －1.
5．已知S n 为正项列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋1
2a n (n ∈N *)．
(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求列{a n }的通项公式．
解 (1)由S n ＝12a 2n ＋1
2a n (n ∈N *)，可得
a 1＝12a 21＋1
2a 1，解得a 1＝1，a 1＝0(舍)．
S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋1
2a 2，解得a 2＝2(负值舍去)；
同可得a 3＝3，a 4＝4. (2)因为S n ＝12a 2n ＋a n
2
，①
所以当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋a n －1
2
，②
①－②得a n ＝12(a n －a n －1)＋12
(a 2n －a 2
n －1)，所以(a n －a n －1－1)(a n ＋
a n －1)＝0.
由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1， 所以列{a n }是首项为1，公差为1的等差列，所以a n ＝n .
6．在列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋1
2
a n ＋1(n ∈N *)．
(1)求列{a n }的通项a n ；
(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实λ的最小值． 解 (1)当n ≥2时，由题可得
a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n
2
a n ，①
a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋1
2
a n ＋1，②
②－①得na n ＝n ＋12
a n ＋1－n 2
a n ，
即(n ＋1)a n ＋1＝3na n ，n ＋1a n ＋1na n
＝3，
∴{na n }是以2a 2＝2为首项，3为公比的等比列(n ≥2)． ∴na n ＝2·3n －2，∴a n ＝2
n
·3n －2(n ≥2)．
∵a 1
＝1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，n ＝1，2n
·3n
－2
，n ≥2.
(2)a n ≤(n ＋1)λ⇔λ≥
a n
n ＋1
，
由(1)可知当n ≥2时， a n
n ＋1＝2·3n －2
n n ＋
， 设f (n )＝
n n ＋
2·3n (n ≥2，n ∈N *
)，a n
n ＋1＝132·1
f n
，
则f (n ＋1)－f (n )＝n ＋
－n
2·3n ＋1
<0，∴
1
f n ＋
>
1
f n
(n ≥2)．
故n ≥2时，⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
1
f n
是递增列． 又132·1f ＝13及a 12＝12
， ∴所求实λ的最小值为1
3
.。