2020-2021学年高二数学上学期期中考试试卷

2020-2021学年度期中考试
高二数学试题
(满分：150分考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）.
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.已知向量a⃗=(2,1)，b⃗⃗=(0,m)，c⃗=(2,4)且(a⃗−b⃗⃗)⊥c⃗，则实数m的值为
A.4
B.3
C.2
D.1
2.已知∆ABC的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a
sin A =1
3
，则b+C−a
sin B+sin C−sin A
等于
A.1
4B.4 C. 1
3
D.3
3.设常数a∈R，若(x2+a
x )
5
的二项式展开式中x7项的系数为−15，则a=
A. -2
B.2
C.-3
D.3
4.圆x2−4x+2=0与圆x2+y2+4x+3=0的公切线共有
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
5.有6个人排成一排拍照，其中甲和乙相邻，丙和丁不相邻的不同的排法有
A.240种
B.144种
C.72种
D.24种
6.已知数列{a n}满足a1=10，a2=12，S n+1−2S n+S n−1
n =2(n≥2)，则a n
n
的最小值为
A.16
3B.2√10−1 C.11
2
D. 21
4
7.抛物线y=2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长为3，则点M的纵坐标的最小值为
A.11
8B.5
4
C.3
4
D.1
8.已知O，F分别是双曲线C:x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的中心和右焦点，以OF为直径的圆与
双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点(A，B异于原点O)，若|AB|=√3b，则双曲线C的离心率e为
A.2
B.√2
C.2√33
D.√3
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.下列结论中，所有正确的结论是 A.若
a c
2>
b c
2，则ac 2>bc 2
B.若实数a ，b ，m >0，则
b+m
a+m
>b
a
C.当x ∈(0,π)时，sin x +1
sin x ≥2 D.若实数a ，b >0，a+b=1，则1
a +4
b ≥9 10.下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是 A. (n
+1)A n
m =A n+1m+1
B.mC n
m
=
nC n−1m−1
C.C n
m
=
A n m n!
D.
1
n−m
A n m+1=A n m
11.已知a 1，a 2，a 3，a 4依次成等比数列，且公比q 不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q 的值是 A.
1+√52
B.
−1+√52
C.
1+√32
D.
−1+√52
12.已知椭圆C 1：x 2
a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1，椭圆C 1的上顶点为P ，且∠PF 1F 2的面积为b 2.双曲线C 2和椭圆C 1焦点相同，且双曲线C 2的离心率为e 2，M 是椭圆C 1与双曲线C 2的一个公共点，若∠F 1MF 2=π
3
，则下列说法正确的是
A.e
2e 1
=√3 B.e 1e 2=3
4
C.e 12+e 22=2
D.e 12−e 22
=3
2
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若实数x ，y 满足约束条件{2x +y −2≤0
x −y −1≥0y +1≥0，则z =x +y 的最大值为
14.在∆ABC 中，BC =√2，且cos 2C −cos 2A −sin 2B =−√2sin B sin C ，则∆ABC 外接圆的面积为
15.某学校安排5名高三教师去3个学校进行交流学习，且每位教师只去一个学校，要求每个学校至少有一名教师进行交流学习，则不同的安排方式共有 种.
16.如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截面曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）:在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O 1，球O 2的半径分别为1和3，球心距离|O 1O 2|=8，截面分别与球O 1，球O 2切于点E ，F (E ，F 是截面椭圆的焦点)，则此椭圆的离心率等于
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(8分）已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S n 2−(n 2+n )S n =0
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =4
a n ⋅a n+1
，数列{b n }的前n 项和为T n 。

证明：T n <1
18.(12分)
已知a ⃗=(sin (x +π
12),2sin x +2)，b ⃗⃗=(2cos (x +π12
),sin x −1)，且f (x )=a ⃗⋅b ⃗⃗ (1)求函数y =f(x)的单调减区间和对称轴；
(2)若关于x 的不等式f(x)+1<m 在[0，π
3]上恒成立，求m 的取值范围.
19.(12分）已知圆C:x 2+y 2+2x −4y +3=0
(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程； (2)若从圆C 外一点P(1，−2)向该圆引切线PA 和PB (A ，B 为切点),，求弦长AB 的大小.
20.(12分）在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 。

已知cos C
cos A
=
√2b−c
a
(1)求A;
(2) ∆ABC 中线AD 长为√29
2
，AC 长为2√2，求∆ABC 的面积
21.(12分）设圆C:x2+y2=12
，椭圆G的焦点在x轴上，其右顶点为A，上顶点为B，其离心
7
，直线AB与圆C相切。

率为1
2
(1)求椭圆G的标准方程；
(2)设直线l过点M(−1,0)且与曲线G交于P，Q两点，N(1,0)，求∆NPQ的内切圆面积的最大值.
22.(14分）已知点Q是圆M:(x+1)2+y2=16上一动点（M为圆心）,点N的坐标为(1,0)，线段QN的垂直平分线交线段QM于点C，动点C的轨迹为曲线E。

(1)求曲线E的轨迹方程；
(2)求直线y=x−1与曲线E的相交弦长；
(3)曲线E的右顶点为B，直线l:y=kx+m与椭圆E相交于点S，T，则直线BS，BT的斜率分别为k1，k2且k1+k2=3，BD⊥ST，D为垂足，问是否存在某个定点A，使得以AB为直径的圆经过点D？若存在，请求出A的坐标；若不存在，请说明理由？。