山东省泰安市2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)

高一年级考试数学试题
一、单项选择题
1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B A I A. {}1,6 B. {}1,7
C. {}6,7
D. {}1,6,7
【答案】C 【解析】 【分析】
先求U A ð，再求U B A I ð．
【详解】由已知得{}1,6,7U C A =，所以U B C A ⋂={6,7}，故选C ．
【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案． 2.设p
：x >q ：22x >，则p 是q 的（ ）
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
解出不等式22x >，根据集合的包含关系，可得到答案. 【详解】解：因为q ：22x >，
所以q ：x >x <
因为p ：x >
所以p 是q 的充分不必要条件. 故选：B
【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，两个命题均是范围形式，解决问题常见的方法是判断出集合之间包含关系.
3.已知正实数a ，b 满足4
1a b +
=，则1b a
+的最小值为（ ）
A. 4
B. 6
C. 9
D. 10
【答案】C 【解析】 分析】 变换
141b a b a b a ⎛⎫⎛⎫
+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
展开利用均值不等式得到答案. 【详解】∵0a >，0b >，41a b +=，∴141b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭4559ab ab =+++=…，当
且仅当
4,41ab ab
a b ⎧
=⎪⎪⎨
⎪+=⎪⎩
时，即1,36a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取“=”. 故答案选C
【点睛】本题考查了均值不等式，1的代换是解题的关键.
4.函数()()()()()1111f x x x x x x x =++-+-+的两个零点分别位于区间（ ） A. ()1,0-和()0,1内 B. (),1-∞-和()1,0-内 C. ()0,1和()1,+∞内 D. (),1-∞-和()1,+∞内
【答案】A 【解析】 【分析】
将()()()()()1111f x x x x x x x =++-+-+进行整理化简，可得()y f x =为二次函数，求出零点即可. 【详解】解：()()()()()1111f x x x x x x x =++-+-+231x =-， 令()0f x =
，解得：3
x =±
，
因为(1,0)-
(0,1) 【
故选：A.
【点睛】本题考查了函数零点问题，判断函数零点所在范围，可以将零点求出判断，也可以利用函数零点存在定理解决.
5.已知2ln 3a =，22log 32b =，0.2
45c -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，则（ ）
A. a b c <<
B. b a c <<
C. b c a <<
D. a c b <<
【答案】A 【解析】 【分析】
先将数据进行化简，然后利用中间值进行求解.
【详解】解：由题得，2
2
log 3
223
b ==
， 因为
2
13
<， 所以2
ln 03
a =<，
因为0.20-<， 所以0.2
4()
15
->，
所以，0.224
01()35
a c -<<<<=，即a
b
c << 故选：A
【点睛】本题考查了比较大小的问题，比较大小常见的方法是作差求解，单调性求解，中间值法求解等等. 6.函数4
2
2y x x =-的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】
先判断函数的奇偶性，再使用特殊值进行判断. 【详解】解：4
2
()2f x x x =-的定义域为R ，
4242()()2()2()f x x x x x f x -=---=-=，
所以函数为偶函数，故正确答案在A 、B 中， 当1x =时，(1)121f =-=-， 故选：B
【点睛】判断函数的大致形状可以从函数的对称性、函数值、单调性角度进行筛选. 7.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则
(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ）
A. 50-
B. 0
C. 2
D. 50
【答案】C 【解析】
分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -
=+，
所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,
因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，
(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
8.若函数()(
)222,1
log 1,1x
x f x x x ⎧+≤⎪=⎨
->⎪⎩在(],a -∞上的最大值为4，则a 的取值范围为（ ） A. []0,17 B. (],17-∞ C. []1,17 D. [
)1,+∞ 【答案】C 【解析】 【分析】
要求函数()f x 的最大值，可先分别探究函数()122,1x
f x x =+≤与
()()22log 1,1f x x x =->的单调性，从而得到()f x 的最大值．
【详解】易知()122,1x
f x x =+≤在(],1-∞上单调递增，()()22lo
g 1,1f x x x =->()1,+∞上单调递增.
因为()14f =，()174f =，所以a 的取值范围为[]1,17.
【点睛】本题考查分段函数的单调性，考查运算求解能力与数形结合的数学方法.
二、多项选择题
9.已知2
sin 3
θ=-，且cos 0θ>，则（ ） A. tan 0θ< B. 2
4tan 9
θ>
C. 22sin cos θθ>
D. sin20θ>
【答案】AB 【解析】 【分析】
求解出cos θ、tan θ，对选项逐一判断. 【详解】解：因为2
sin 3
θ=-
，且cos 0θ>，
所以cos 3
θ==
，
tan θ=A 正确； 244
tan 59θ=
>，B 正确； 24sin 9θ=，25
cos 9θ=，22sin cos θθ<，C 不正确；
sin 22sin cos 0θθθ==<，D 不正确； 故选：AB
【点睛】本题考查了同角三角函数关系、二倍角公式的运用，熟练运用公式是解决问题的关键. 10.已知01a b <<<，则下列不等式成立的是（ ）
A. 1122a b
⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B. ln ln a b >
C.
11a b
> D.
11ln ln a b
> 【答案】ACD 【解析】 【分析】
根据指数函数、对数函数的单调性进行判断.
【详解】解：因为01a b <<<，1()2
x
y =为减函数，
所以1122a b
⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 因为01a b <<<，ln y x =为增函数， 所以ln ln 0a b <<， 又因为1
y x
=在区间(),0-∞上为减函数，在区间()0,∞+上也为减函数， 所以
11
ln ln a b >，同理可得，11a b
>， 故选：ACD
【点睛】本题考查了比较大小的问题，主要考查运用初等函数的单调性判断大小的问题，熟记初等函数的
单调性是关键.
11.若定义域为[]0,1的函数()f x 同时满足以下三条： （ⅰ）对任意的[0,1],x ∈总有()0;f x ≥（ⅱ）(1)1;f =
（ⅲ）若12120,0,1,x x x x ≥≥+≤则有1212()()().f x x f x f x +≥+就称()f x 为“A 函数”，下列定义在
[]0,1的函数中为“A 函数”的有_______________
①()f x x =；②()21;x
f x =-③12
()log (1);f x x =+④2
()log (1).f x x =+ 【答案】①② 【解析】 【分析】
根据具体的函数解析式判断是否满足三个条件即可.
【详解】①显然()f x x =在[0，1]满足条件①()f x x =≥0；也满足条件②f （1）=1．
若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，则f (x 1+x 2)−[f (x 1)+ f (x 2)]＝(x 1+x 2)− (x 1+ x 2)≥0，即满足条件③，故f （x ）为A 函数．
②显然()f x =2x -1在[0，1]满足条件①g（x ）≥0；也满足条件②g（1）=1．
若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，则g(x 1+x 2)−[g(x 1)+g(x 2)]＝2x 1+x 2−1−[(2x 1−1)+(2x 2−1)]=2x 1+x 2−2x 1−2x 2+1＝(2x 2−1)(2x 1−1)≥0，即满足条件③，故f （x ）为A 函数．
③显然()()12
log 1f x x =+在[0，1]不满足条件①f （x ）≥0,()()12
log 1f x x =+不为A 函数．
④显然()()2log 1.f x x =+在[0，1]满足条件①f （x ）≥0；也满足条件②f （1）=1． 若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，则f(x 1+x 2)−[f(x 1)+f(x 2)]＝
()()
12122
2212121211
log log log 10111x x x x x x x x x x ++++==≤=+⋅+⋅+++不满足条件③，故f （x ）不为A 函数．
【点睛】本题是考查新定义的题目，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的条件，注意性质的灵活运用． 12.已知集合()(){},M x y y f x =
=，若对于任意实数对()1
1
,x y M ∈，存在()2
2
,x y M ∈，使
12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是（ ）
A. ()21,M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭
B. (){},sin 1M x y y x =
=+ C. (){}
,2
2x
M x y y =
=-
D. (){}2
,log M x y y x =
=
【答案】ABC 【解析】 【分析】
根据题意给出的定义，从代数、几何、反例等角度对每一个选项进行判断. 【详解】选项A ：任取()11,x y M ∈，则12
11y x =
，取211
x x =-，
故2121211122211211
11111
()?()?0x x y y x x x x x x x x +=-
+=-+=， 所以存在这样的21
1
x x =-
使得12120x x y y +=成立，选项A 正确； 选项B ：任取点()11,A x y M ∈，取点()22,B x y M ∈，
12120x x y y +=表示的几何意义是OA OB ⊥，
即对曲线每一个点与原点构成的直线OA ，与之垂直的直线OB 与曲线都存在交点， 如图，
当点A 运动时，直线OB 与曲线sin 1y x =+均有交点， 选项B 是正确的；
选项C ：任取点()11,A x y M ∈，取点()22,B x y M ∈，
12120x x y y +=表示的几何意义是OA OB ⊥，
即对曲线每一个点与原点构成的直线OA ，与之垂直的直线OB 与曲线都存在交点， 如图，
当点A 运动时，直线OB 与曲线22x
y =-均有交点， 选项C 是正确的；
选项D ：在函数2log y x =上取点(1,0)时，若存在22(,)x y 使得12120x x y y +=成立， 则221?0?0x y +=，则一定有20x =，不满足函数的定义域， 故不能满足题意中的任意一点这一条件，选项D 不正确； 故选：ABC
【点睛】本题考查了新定义的问题，新定义问题首先需要有很强的阅读理解能力，其次题目考查的本质问题还是函数的图象、性质等等，解决问题的关键是要有将新定义问题转化为常规问题的能力.
三、填空题
13.计算：7
lg142lg lg 7lg183
-+-=__________， 【答案】0 【解析】 法一：7
lg142lg
lg 7lg183
-+- 2lg(27)2(lg 7lg3)lg 7lg(32)=⨯--+-⨯ lg 2lg72lg7237232lg lg lg lg =+-++--
0=．
法二： 7
lg142lg
lg 7lg183
-+- 2
7lg14lg lg 7lg183⎛⎫
=-+- ⎪⎝⎭
2
147
lg
7183⨯=⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭
lg1=
0=．
故答案为0
14.命题：x R ∃∈，210x x -+=的否定是______． 【答案】2
,10x R x x ∀∈-+≠ 【解析】
试题分析：根据特称命题的否定为全称命题，可知命题“2
,10x R x x ∃∈-+=”的否定是“
”.
考点：全称命题与特称命题.
15.已知幂函数()y f x =
的图象过点((),9f =则______． 【答案】3 【解析】
【分析】
利用幂函数的定义先求出其解析式，进而得出答案． 【详解】设幂函数()(f x x α
α=为常数)，
Q 幂函数()y f x =
的图象过点(
，3α=，解得12
α=
． (
)f x ∴= (
)93f ∴==．
故答案为3．
【点睛】本题考查幂函数的定义，正确理解幂函数的定义是解题的关键．
16.已知函数(
)cos3f x x a x a =-+，且239f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则实数a =______，函数()f x 的单调递增区间为______.
【答案】 (1). 1 (2). ()222,3
939k k k Z ππππ⎡⎤
-+∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】
（1）由等式239f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
求解， （2）将（1）
结果代入化简得()2sin(3)16
f x x π
=-
+，然后根据复合函数的单调性求解单调区间.
【详解】（1）因为239f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， 所以222(
)cos 3933
f a a πππ
=-+=， 解得：1a =；
（2）将1a =代入，得()cos31f x x x =-+， 化简得()2sin(3)16f x x π
=-+，
故2322
62
k x k π
ππ
ππ-
+≤-
≤
+，k Z ∈
解得：2229393
k k x ππππ
-+≤≤+，k Z ∈，
的
故函数()f x 的增区间为：()22
2,3
939k k k Z ππππ⎡⎤
-
+∈⎢⎥⎣⎦
. 故答案为：1；()2
2
2,3
939k k k Z ππππ⎡⎤
-
+∈⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】本题考查了两角和差公式的逆运用，即辅助角公式，同时也考查了三角函数的单调区间问题.
四、解答题
17.已知集合{
}{
}
2
25120,31(0)x
A x x x
B y y x =--≥==+>.
（1）求集合A B I ,()R C A B ⋃；
（2）若集合{}
22C x m x m =-≤≤且()R C A C C =I ,求m 的取值范围.
【答案】（1）{}|4x x ≥,32x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；（2）()1,2,22m ⎛⎫∈-∞-⋃ ⎪⎝⎭
. 【解析】
试题分析：（1）利用一元二次不等式
解法化简集合A ，利用指数函数的性质化简集合B ，从而可求出R C A ，
再利用集合交集与并集的定义求解即可；（2）()R C A C C ⋂=等价于()R C C A ⊆，结合（1）的结论，利用集合的包含关系，分两种情况讨论，分别列不等式组求解即可求得m 的取值范围. 试题解析：
（1）()()2
325120234042
x x x x x x --≥⇒+-≥⇒≥≤-或, ∴342A x x x ⎧⎫
=≥≤-⎨⎬⎩⎭
或，{
}
2B y y =>,
∴{}
()34,2R A B x x C A B x x ⎧⎫⋂=≥⋃=>-⎨⎬⎩
⎭
.
（2）∴()R C A C C ⋂=，()R C C A ⊆，3
42R C A x x ⎧⎫=-
<<⎨⎬⎩⎭
, 当C =∅时，22,2m m m -><-即时满足()R C C A ⊆∴2m <-;
的
当C ≠∅时，要使()R C C A ⊆，则22231122222242
m m m m m m m m -≤≥-⎧⎧⎪⎪⎪⎪
->-⇒>⇒<<⎨⎨⎪
⎪<<⎪⎪⎩⎩
综上所述，()1,2,22m ⎛⎫∈-∞-⋃
⎪⎝⎭
. 18.在①函数3f x π⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
为奇函数；②当3
x π
=
时，(
)f x =；③
23
π
是函数()f x 的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答，已知函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛
⎫
=+><< ⎪⎝
⎭
，()f x 的图象相邻两条对称轴间的距离为π，______. （1）求函数()f x 的解析式；
（2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间.
【答案】（1）选条件①②③任一个，均有()2sin 3f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
；（2）选条件①②③任一个，函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间均为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7
,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 【解析】 【分析】
（1）由相邻两条对称轴间的距离为π，得到ω；再选择一个条件求解出ϕ； （2）由（1）解得的函数，根据复合函数的单调性得到单调区间. 【详解】解： Q 函数()f x 的图象相邻对称轴间的距离为π，22T π
πω
∴=
=，1ω∴=，
()()2sin f x x ϕ∴=+.
方案一：选条件①
2sin 33f x x ππϕ⎛⎫⎛
⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭Q 为奇函数，2sin 033f
ππϕ⎛⎫⎛
⎫∴-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 解得：3
k π
ϕπ=
+，k Z ∈.
（1）02
π
ϕ<<
Q ，3
π
ϕ∴=
，()2sin 3f x x π⎛⎫
∴=+
⎪⎝
⎭
； （2）由222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+，k Z ∈，
得5226
6
k x k π
πππ-+≤≤
+，k Z ∈，
∴令0k =，得566x ππ
-
≤≤，令1k =，得71366
x ππ≤≤， ∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7
,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
；
方案二：选条件②
2sin 33f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 3πϕ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 2k ϕπ∴=，k Z ∈或23
k π
ϕπ=
+，k Z ∈，
（1）02
π
ϕ<<
Q ，3
π
ϕ∴=
，()2sin 3f x x π⎛⎫
∴=+
⎪⎝
⎭
； （2）由222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+，k Z ∈，
得5226
6
k x k π
πππ-+≤≤
+，k Z ∈，
∴令0k =，得566x ππ
-
≤≤，令1k =，得71366
x ππ≤≤， ∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7
,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
；
方案三：选条件③
2
3πQ 是函数()f x 的一个零点，222sin 033f ππϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 23
k π
ϕπ∴=-
，k Z ∈. （1）02
π
ϕ<<
Q ，3
π
ϕ∴=
，()2sin 3f x x π⎛
⎫
∴=+
⎪⎝
⎭
； （2）由22232k x k πππ
ππ-
+≤+
≤
+，k Z ∈，得52266
k x k π
πππ-+≤≤+，k Z ∈
∴令0k =，得566x ππ
-≤≤，令1k =，得71366
x ππ≤≤
.
∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7
,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【点睛】本题以一个相对开放的形式考查三角函数的性质，要求解ω的值，即要找出周期，求ϕ常见方法是代入一个点即可.
19.已知函数f (x )＝sin 4x π⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
·sin 4x π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
sin x cos x (x ∈R)． (1)求f 6π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； (2)在△ABC 中，若f 2A ⎛⎫
⎪⎝⎭
＝1，求sin B ＋sin C 的最大值．
【答案】（1）1（2【解析】
【详解】（1）∵()sin sin cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1cos2sin2sin 2226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝
⎭.
∴16f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
. （2）由sin 126A f A π⎛⎫⎛
⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，而0A π<<可得：62A ππ+=，即3A π=.
∴23sin sin sin sin sin 326B C B B B B B ππ⎛⎫⎛
⎫+=+-=+=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
∵203B π
<<
，∴51,sin 16
6
626B B ππ
ππ⎛
⎫<+
<
<+≤ ⎪⎝
⎭，∴sin sin B C +. 点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则
（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.
20.已知函数()221
x
x f x m =+-，m R ∈.
（1）判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性，并证明你的结论；
（2）是否存在m ，使得()f x 为奇函数？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）单调递减，证明见解析；（2）存在，1
2
m =- 【解析】 分析】
（1）利用作差法证明函数的单调性； （2）利用奇偶性的定义求解m 的值. 【详解】解：（1）()
f x (),0-∞上单调递减，
证明：()12,,0x x ∀∈-∞，且12x x <
则()()()()()()12211212
121212
122212212222212121212121x x x x x x x x x x x x x x f x f x m m ---⎛⎫⎛⎫-=+-+=-= ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭
()()21
12222121x x x
x -=--，
120x x <<Q ，120221x x ∴<<<，
21220x x ∴->，1210x -<，2210x -<，
()()120f x f x ∴->，()()12f x f x ∴> ()f x ∴在(),0-∞上单调递减；
（2）函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞， 若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-恒成立，
即222121
x x x x m m --+=----恒成立， 221212212121122121
x x x x x x x
x x m ---=--=--==------， 解得：12m =-
，∴存在1
2
m =-，使得()f x 为奇函数. 【
【点睛】本题考查了函数的两大性质：单调性与奇偶性，刚学性质时，解决性质问题常见的方法是定义法. 21.某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x 百件，需另投入成本()c x （单位：万元），当年产量不足30百件时，()2
10100c x x x =+；当年产量不小于30百件时，
()10000
5014500c x x x
=+
-；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.
（1）求年利润y （万元）关于年产量x （百件）的函数关系式； （2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？
【答案】（1）2104002500,030100002000,30x x x y x x x ⎧-+-<<⎪
=⎨⎛
⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
；（2）100百件 【解析】 【分析】
（1）根据收益=总收入-成本，进行分情况讨论，构建出分段函数； （2）对分段函数每一段进行研究最大值，然后再求出整个函数的最大值.
【详解】解：（1）当030x <<时，22
500101002500104002500y x x x x x =---=-+-；
当30x ≥时，1000010000500501450025002000y x x x x x ⎛
⎫=--
+-=-+ ⎪⎝
⎭； 2104002500,030
100002000,30
x x x y x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨⎛
⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
； （2）当030x <<时，()2
10201500y x =--+，∴当20x =时，max 1500y =； 当30x ≥
时，100002000200020002001800y x x ⎛
⎫=-+≤-=-= ⎪⎝⎭， 当且仅当10000
x x
=
，即100x =时，max 18001500y =>. ∴年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元.
【点睛】本题考查了数学建模问题、分段函数最值问题，数学建模要能准确地从题意中抽象出函数模型，分段函数是一个函数，分段不分家，一般需要分情况讨论。

22.若()()()log 2log 3a a f x x a x a =-+-（0a >，且1a ≠）. （1）当1
2
a =
时，若方程()()12log f x p x =-在()2,3上有解，求实数p 的取值范围；
（2）若()1f x ≤在[]3,4a a ++上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）5
62
p <<；（2）()0,1 【解析】 【分析】
（1）方程()()12
log f x p x =-有解，转化为新函数()()12
()log g x f x p x =--在()2,3上有零点，利用零
点存在定理求解；
（2）由()1f x ≤在[]3,4a a ++上恒成立，即要求解()f x 的最大值，控制a 的范围，研究函数()f x 的单调性，从而解决问题.
【详解】解：（1）12a =时，()()11223log 1log 2f x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()123log 12x x ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 函数()f x 的定义域为3,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
.
()()12log f x p x =-Q ，()312x x p x ⎛⎫∴--=- ⎪
⎝
⎭，即233022x x p -+-=，
令()2
3322g x x x p =-+-2
315416x p ⎛⎫=-+- ⎪⎝
⎭
3
24
<Q
，()g x ∴在()2,3上单调递增， ∴要使()()12log f x p x =-有解，则()()2030
g g ⎧<⎪⎨>⎪⎩，562p ∴<<；
（2）()()2
222
5log 56log 24a a a a f x x ax a x ⎡⎤⎛⎫=-+=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
.
由题意知33a a +>，32a ∴<
，532
a
a ∴+>. ∴函数()2
2
524a a g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭在区间[]3,4a a ++上单调递增.
①若01a <<，则()f x 在[]3,4a a ++上单调递减，
()f x ∴在[]3,4a a ++上的最大值为()()23log 299a f a a a +=-+.
()1≤Q f x 在[]3,4a a ++上恒成立，()2log 2991a a a ∴-+≤221090a a ∴-+≥，
解得a ≥
或a ≤，01a ∴<<. ②若312
a <<
，则()f x 在[]3,4a a ++上单调递增，
()f x ∴在[]3,4a a ++上的最大值为()()24log 21216a f a a a +=-+.
()1≤Q f x 在[]3,4a a ++上恒成立，()2log 212161a a a ∴-+≤，2213160a a ∴-+≤，解得
131344a ≤≤
，
32
>Q
，∴
此时，不存在a 满足题意， 综上，a 的取值范围为()0,1.
【点睛】本题考查了函数的性质问题，函数零点存在定理，恒成立问题，有解问题等等，还考查了分类讨论、数形结合的思想方法.。