广西省防城港市2021届新高考适应性测试卷数学试题(2)含解析

广西省防城港市2021届新高考适应性测试卷数学试题（2）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
设数列的公差为,0d d ≠.由12513a a a ++=，125,,a a a 成等比数列，列关于1,a d 的方程组，即求公差d . 【详解】
设数列的公差为,0d d ≠，
125113,3513a a a a d ++=∴+=①.
125,,a a a 成等比数列，()()2
1114a d a a d ∴+=+②，
解①②可得2d =. 故选：B . 【点睛】
本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.
2．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了
C ．甲被录用了
D ．无法确定谁被录用了
【答案】C 【解析】 【分析】
假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【详解】
解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意， 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意， 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意， 综上可得甲被录用了， 故选：C. 【点睛】
本题考查了逻辑推理能力，属基础题.
3．要得到函数()sin(3)3
f x x π
=+的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像（ ）
A ．向右平移3
π
个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移6π
个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 C ．向左平移3π
个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13
倍 D ．向左平移6
π
个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 【答案】D 【解析】 【分析】 先求得()'
f
x ，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.
【详解】 依题意()'
553cos 33cos 33sin 33626f
x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫=+
=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦3sin 363x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，所以由()sin(3)3
f x x π
=+向左平移6
π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到()'f x 的图像.
故选：D 【点睛】
本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题. 4．执行如图所示的程序框图，若输入的3t =，则输出的i =( )
A ．9
B ．31
C ．15
D ．63
【答案】B 【解析】 【分析】
根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果. 【详解】
执行程序框3,t =0i =；8,t =1i =；23,t =3i =；
68,t =7i =；203,t =15i =；608,t =31i =，
满足606t >，退出循环，因此输出31i =， 故选:B. 【点睛】
本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.
5．在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：
①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断F 是1AC 的中点推出②正的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线1AC 与
CD 所成角判断④的正误．
【详解】
解：不妨设棱长为：2，对于①连结1AB ，则1122AB AC ==1190AC B ∴∠≠︒即1AC 与11B C 不垂直，又
11//BC B C ，∴①不正确；
对于②，连结AD ，1DC ，在1ADC ∆中，15AD DC ==而1DF AC ⊥，F ∴是1AC 的中点，所以1AF FC =，∴②正确；
对于③由②可知，在1ADC ∆中，3DF =，连结CF ，易知2CF =Rt CBD ∆中，5CD =，
222DF CF CD ∴+=，
即DF CF ⊥，又1DF AC ⊥，DF ⊥∴面11ACC A ，∴平面1DAC ⊥平面11ACC A ，∴③正确； 以1A 为坐标原点，平面111A B C 上过1A 点垂直于11A C 的直线为x 轴，11A C 所在的直线为y 轴，1A A 所在的直线为z 轴，建立如图所示的直角坐标系；
()10,0,0A ， )1
3,1,0B ，()10,2,0C ， ()0,0,2A ， ()0,2,2C ， )
3,1,1D
；
()10,2,2AC =-， (
)
3,1,1CD =
--；
异面直线1AC 与CD 所成角为θ，11cos 0||||
AC CD AC CD θ==，故90θ=︒．④不正确．
故选：B ．
【点睛】
本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．
6．若集合{}A=|2x x x R ≤∈，，{
}
2
B=|y y x x R =-∈，，则A B ⋂=（ ） A ．{}|02x x ≤≤ B ．{}2|x x ≤
C ．{}2|0x x -≤≤
D ．∅
【答案】C 【解析】
试题分析：化简集合
故选C ．
考点：集合的运算． 7．已知i 是虚数单位，则复数2
4
(1)
i =-（ ） A ．2i B ．2i -
C ．2
D ．2-
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数的基本运算求解即可. 【详解】
22
4422(1)2i
i i i i ===---.
故选：A 【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题.
8．在ABC ∆中，AB AC AB AC +=-，4AB =，3AC =，则BC 在CA 方向上的投影是（ ）
A ．4
B ．3
C ．-4
D ．-3
【答案】D 【解析】
分析：根据平面向量的数量积可得AB AC ⊥，再结合图形求出BC 与CA 方向上的投影即可. 详解：如图所示：
AB AC AB AC +=-，
0AB AC ∴⋅=， ∴AB AC ⊥，
又4AB =，3AC =，
BC ∴在CA 方向上的投影是：()cos ,cos cos 3BC BC CA BC ACB BC ACB π=-∠=-∠=-，
故选D.
点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题.
9．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（ ） A ．17种 B ．27种
C ．37种
D ．47种
【答案】C 【解析】 【分析】
由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种；先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解. 【详解】
所有可能的情况有3464=种,其中最大值不是4的情况有3327=种,所以取得小球标号最大值是4的取法有642737-=种, 故选:C 【点睛】
本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题.
10．已知复数z 满足121i
z i i
+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( )
A ．1
B ．2
C D 【答案】D 【解析】 【分析】
按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 【详解】
21(1)21(1)(1)2i i i
i i i i ++===--+， 1222(2)121i i
z i i z i z i i i i i
+-∴
⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---，
12||z i z ∴=-+⇒==故选：D 【点睛】
本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.
11．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ） A ．48 B ．60 C ．72 D ．120
【答案】A 【解析】 【分析】
对数字2分类讨论，结合数字135，，中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论 【详解】
数字2出现在第2位时，数字135，，中相邻的数字出现在第34，位或者45，位，
共有222
32212C A A =个
数字2出现在第4位时，同理也有12个
数字2出现在第3位时，数字135，，中相邻的数字出现在第12，位或者45，位，
共有1222
232224C C A A =个
故满足条件的不同的五位数的个数是48个 故选A 【点睛】
本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字2分类讨论，属于基础题。

12．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱 AB ，BC ，1CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设P ，Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG ，117DQ =，则PM PQ +的最小值为（ ）
A ．321-
B ．322-
C ．251-
D ．252-
【答案】C 【解析】 【分析】
把截面EFG 画完整，可得P 在AC 上，由117DQ =知Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得PM PQ +的最小值． 【详解】
如图，分别取11111,,C D D A A A 的中点,,H I J ，连接,,,GH HI IJ JE ，易证,,,,,E F G H I J 共面，即平面
EFG 为截面EFGHIJ ，连接11,,AD D C AC ，由中位线定理可得//AC EF ，AC ⊄平面EFG ，EF ⊂
平面EFG ，则//AC 平面EFG ，同理可得1//AD 平面EFG ，由1AC AD A =可得平面1AD C //平
面EFG ，又1//D P 平面EFG ，P 在平面ABCD 上，∴P AC ∈． 正方体中1DD ⊥平面ABCD ，从而有1DD DQ ⊥，∴22111DQ D Q DD =-=，∴Q 在以D 为圆心1
为半径的四分之一圆（圆在正方形ABCD 内的部分）上， 显然M 关于直线AC 的对称点为E ，
22421251PM PQ PE PQ PE PD DQ ED DQ +=+≥+-≥-=+-=-，当且仅当,,,E P Q D 共线时取等号，∴所求最小值为251-． 故选：C ． 【点睛】
本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出P 点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出Q 点轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线2e (2)x y x =+在点(0,2)处的切线方程为______. 【答案】22y x =+ 【解析】 【分析】
对函数求导，得出在(0,2)处的一阶导数值，即得出所求切线的斜率，再运用直线的点斜式求出切线的方程. 【详解】
令()2
e (2)x
f x x =+，
2()e (22)x f x x x '=++，所以(0)2f '=，又(0)2f =，∴所求切线方程为
22y x -=，即22y x =+.
故答案为：22y x =+. 【点睛】
本题考查运用函数的导函数求函数在切点处的切线方程，关键在于求出在切点处的导函数值就是切线的斜率，属于基础题.
14．如图,在梯形ABCD 中，AD ∥24BC AB BC AD ===，，，E F ，分别是BC CD ，的中点，若1AE DE ⋅=-，则AF CD ⋅的值为___________.
【答案】2 【解析】 【分析】
建系，设设A θ∠=，由1AE DE ⋅=-可得3
π
θ=，进一步得到C F 、的坐标，再利用数量积的坐标运算
即可得到答案. 【详解】
以A 为坐标原点，AD 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，设A θ∠=，则
(4,0),(2cos ,2sin ),(12cos ,2sin ),(22cos ,2sin )D B E C θθθθθθ++，
所以AE =(12cos ,2sin )θθ+，DE =(2cos 3,2sin )θθ-，由1AE DE ⋅=-，
得2
(12cos )(2cos 3)4sin 1θθθ+-+=-，即1
cos 2
θ=
，又[0,]θπ∈，所以 3
π
θ=
，故73(3,3),(,
)2C F ,73
(1,3),(,)2CD AF =-=,
所以73
322AF CD =
-⋅⨯=.
故答案为：2 【点睛】
本题考查利用坐标法求向量的数量积，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
15．若626
0126(21)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++⋅⋅⋅++，则
012345623456a a a a a a a ++++++=________.
【答案】13 【解析】 【分析】
由导函数的应用得：设6()(21)f x x =+，260126()(1)(1)(1)g x a a x a x a x =+++++⋯++，
所以5()12(21)f x x '=+，5126()2(1)6(1)g x a a x a x '=+++⋯++，又()()f x g x =，所以()()f x g x '='，即
5512612(21)2(1)6(1)x a a x a x +=+++⋯++，
由二项式定理：令0x =得：12345623456a a a a a a +++++，再由(0)(0)g f =，求出0a ，从而得到
012345623456a a a a a a a ++++++的值；
【详解】
解：设6()(21)f x x =+，260126()(1)(1)(1)g x a a x a x a x =+++++⋯++， 所以5()12(21)f x x '=+，5126()2(1)6(1)g x a a x a x '=+++⋯++， 又()()f x g x =，所以()()f x g x '='， 即5512612(21)2(1)6(1)x a a x a x +=+++⋯++， 取0x =得：1234562345612a a a a a a +++++=， 又(0)(0)g f =， 所以01a =，
故01234562345611213a a a a a a a ++++++=+=， 故答案为：13 【点睛】
本题考查了导函数的应用、二项式定理，属于中档题
16．实数,x y 满足2201020x y x y x y -+≥⎧⎪
-+≤⎨⎪+-≤⎩
，则2z x y =+的最大值为_____．
【答案】52
． 【解析】 【分析】
画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值. 【详解】
解：作出可行域，如图所示，
则当直线2z x y +＝过点C 时直线的截距最大，z 取最大值．
由1202
103
2x x y x y y ⎧=
⎪+-=⎧⎪⇒⎨
⎨-+=⎩⎪=⎪⎩13(,),22C ∴同理(0,2),B (1,0),A - 5
2C z ∴=
，2B z =，2A z =- 5
2
c z ∴=取最大值．
故答案为：
52
． 【点睛】
本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题. 线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，ABC ∆的面积2S =，且满足
cos (1cos )a B b A =+，则()()c a b c b a +-+-的取值范围是（ ）
A ．()
828,8 B ．(0,8)
C ．8383-⎝
D ．838⎫-⎪⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
由正弦定理化简得sin()sin A B B -=，解得22
A B π
=<，进而得到3(
,)42
C B ππ
π=-∈，利用正切的
倍角公式求得1tan
122C >>-4sin ab C
=，进而化简()()c a b c b a +-+-8(1cos )8tan sin 2
C
C C =-=，即可求解.
【详解】
由题意，在锐角ABC ∆中，满足cos (1cos )a B b A =+，
由正弦定理可得sin cos sin sin cos A B B B A =+，即sin cos sin cos sin A B B A B -=， 可得sin()sin A B B -=，所以A B B -=，即22
A B π
=<，
所以(0,
)4B π
∈，所以33(,)24A B B ππ+=∈，则3(,)42
C B ππ
π=-∈， 所以22tan
2tan 11tan 2C C C =
>-，可得1tan 122C >>-+ 又由ABC ∆的面积1sin 22S ab C ==，所以4
sin ab C
=，
则222
()()2c a b c b a c a b ab +-+-=--+2cos 2ab C ab =-+2(1cos )ab C =-
2
1(12sin )
82(1cos )88tan 8,8)sin 22sin cos 22
C C C C C C --=-=⨯=∈.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，以及三角形的面积公式和正切的倍角公式的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 18．已知函数()|1||1|f x ax x =++-. （1）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；
（2）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}|33x x -<<（2）()0,a ∈+∞ 【解析】 【分析】
（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.
（2）对a 分成0,0,0a a a >=<三种情况，求得()f x 的最小值，由此求得a 的取值范围. 【详解】
（1）当2a =时，3,11()2112,1213,2x x f x x x x x x x ⎧
⎪>⎪
⎪
=++-=+-≤≤⎨⎪
⎪
-<-⎪⎩
，
由此可知，()9f x <的解集为{}|33x x -<<
（2）当0a >时，()()()1,11()1112,111,a x x f x ax x a x x a a x x a ⎧
⎪+>⎪
⎪
=++-=-+-≤≤⎨
⎪
⎪
-+<-⎪⎩
()f x 的最小值为1f a ⎛⎫
-
⎪⎝⎭和()1f 中的最小值，其中1111f a a ⎛⎫
-=+> ⎪⎝⎭
，(1)11f a =+>.所以()1
f x >恒成立.
当0a =时，()111f x x =-+≥，且(1)1f =，()1f x >不恒成立，不符合题意.
当0a <时，()1111,1f a f a a ⎛⎫=+-
=+ ⎪⎝⎭
， 若20a -≤<，则()11f ≤，故()1f x >不恒成立，不符合题意；
若2a <-，则11f a ⎛⎫
-< ⎪⎝⎭
，故()1f x >不恒成立，不符合题意. 综上，()0,a ∈+∞. 【点睛】
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
19．在极坐标系中，曲线C 的方程为()2
cos
sin 0a a ρθθ=>，以极点为原点，极轴所在直线为x 轴建
立直角坐标，直线l
的参数方程为22
1x t y ⎧=-
⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（t 为参数），l 与C 交于M ，N 两点．
（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（2）设点()2,1P -；若PM 、MN 、PN 成等比数列，求a 的值
【答案】 (1) 曲线C 的直角坐标方程为()2
0x ay a =>，直线l 的普通方程为10x y +-= ； (2) 1a =
【解析】 【分析】
(1)由极坐标与直角坐标的互化公式和参数方程与普通方程的互化，即可求解曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
(2)把l
的参数方程代入抛物线方程中，利用韦达定理得12t t +=，1282t t a =+，可得到
2211,,PM N MN t t t t P ===-，根据因为PM ，MN ，PN 成等比数列，列出方程，即可求解．
【详解】
(1)由题意，曲线C 的极坐标方程可化为()2
2
cos
sin ,0a a ρθρθ=>，
又由cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨
=⎩，可得曲线C 的直角坐标方程为()2
0x ay a =>，
由直线l
的参数方程为21x y ⎧=-
⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（t 为参数），消去参数t ，得10x y +-=，
即直线l 的普通方程为10x y +-=；
(2)把l的参数方程
2
2
2
1
x t y t ⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=-+
⎪⎩
代入抛物线方程中，得()()
2422820
t a t a
-+++=，
由2
280
a a
∆=+>，设方程的两根分别为1t，2t，
则
12
4220
t t a
+=+>，12820
t t a
=+>，可得
1
0,
t>，
2
t>．
所以
12
MN t t
=-，
1
PM t=，
2
PN t=．
因为PM，MN，PN成等比数列，所以()2
1212
t t t t
-=，即()2
1212
5
t t t t
+=，
则()()
2
422582
a a
+=+，解得解得1
a=或4
a=-（舍），
所以实数1
a=.
【点睛】
本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及参数方程与普通方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>的离心率为
3
，以椭圆C左顶点T为圆心作圆222
:(2)(0)
T x y r r
++=>，设圆T与椭圆C交于点M与点N.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求TM TN
⋅的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：OR OS
⋅为定值.
【答案】（1）
2
21
4
x
y
+=；（2）()2213
2
25
x y
++=；（3）4
OR OS
⋅=
【解析】
【分析】
（1）依题意，得2a =
，2
c e a =
=
，由此能求出椭圆C 的方程. （2）点M 与点N 关于x 轴对称，设()11,M x y ，()11,N x y -，设10y >，由于点M 在椭圆C 上，故
21
114
x y =-
，由()2,0T -，知()()111115812,2,455TM TN x y x y x ⎛⎫=+⋅+-=+- ⎪⎝⎭⋅，由此能求出圆T 的
方程.
（3）设()00,P x y ，则直线MP 的方程为：()010001
y y y y x x x x --=
--，令0y =，得100101R x y x y
x y y -=-，
同理：1001
01
R x y x y x y y +=+，由此能证明4R S R S OR OS x x x x ⋅=⋅=⋅=为定值.
【详解】
（1）依题意，得2a =
，2
c e a =
=
，
1c b ∴===，
故椭圆C 的方程为2
214
x y +=.
（2）点M 与点N 关于x 轴对称，设()11,M x y ，()11,N x y -，设10y >，
由于点M 在椭圆C 上，所以2
2
1114
x y =-，
由()2,0T -，则()()11112,,2,TM x y TN x y =+=+-，
∴ ()()11112,2,T x y N x y M T ⋅=+⋅+-
()()22
2
2
111
12214x x y x ⎛⎫
=+-=+-- ⎪⎝
⎭
2115434x x =++2
1581455
x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. 由于122x -<<， 故当185x =-
时，TM TN ⋅的最小值为15-，所以135y =，故83,55M ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， 又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到2
13
25
r =. 故圆T 的方程为：()2
2
13225
x y ++=
（3）设()00,P x y ，则直线MP 的方程为：()01
0001
y y y y x x x x --=
--，
令0y =，得100101R x y x y x y y -=
-，同理：1001
01
S
x y x y x y y +=+. 故2222
100122
01
R S x y x y x x y y -⋅=- 又点M 与点P 在椭圆上， 故(
)()2
2
2200
1
141,41x y x
y =-=-，代入上式得：
()()()2222
221001012
22
201
01
414144R S y y y y y y x x y y
y y
----⋅=
=
=--，
所以4R S R S OR OS x x x x ⋅=⋅=⋅= 【点睛】
本题考查了椭圆的几何性质、圆的轨迹方程、直线与椭圆的位置关系中定值问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.
21．已知{}n a 为各项均为整数的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若3a 为
21
3
a 和13a 的等比中项，
749=S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12233412222...n n n T a a a a a a a a +=
+++++，求最大的正整数n ，使得20182019
n T <. 【答案】（1）21n a n =-（2）1008 【解析】 【分析】
（1）用基本量求出首项1a 和公差d ，可得通项公式； （2）用裂项相消法求得和n T ，然后解不等式2018
2019
n T <可得． 【详解】
解：（1）由题得2321371349a a a S ⎧=⋅⎪⎨⎪=⎩，即()()()211111212372149a d a d a d a d ⎧
+=++⎪⎨⎪+=⎩ 解得112a d =⎧⎨=⎩或10
73a d =⎧⎪⎨=⎪⎩
因为数列{}n a 为各项均为整数，所以11
2a d =⎧⎨
=⎩
，即21n a n =-
（2）令()()12211
21212121
n n n b a a n n n n +===--+-+ 所以11111111220181133557212121212019n n T n n n n =-
+-+-+-=-=<-+++ 即12018
1212019n -<+，解得1009n < 所以n 的最大值为1008
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，考查裂项相消法求数列的和．在等差数列和等比数列中基本量法是解题的基本方法．
22．某调查机构为了了解某产品年产量x(吨)对价格y(千克/吨)和利润z 的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计如下表：
（1）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bx
a =+； （2）若每吨该产品的成本为12千元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润w 取到最大值？
参考公式： ()()
()
1
1
2
22
1
1
ˆˆˆ,n n
i i
i
i
i i n
n
i i i i x y n x y x x y y b
a
y bx x nx x x ====-⋅⋅--==
=---∑∑∑∑ 【答案】（1）ˆ18.69 1.23y
x =-（2）当 2.72x =时，年利润z 最大． 【解析】 【分析】
（1）方法一：令10z y =-，先求得z 关于x 的回归直线方程，由此求得y 关于x 的回归直线方程.方法二：根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.方法一的好处在计算的数值较小. （2）求得w 的表达式，根据二次函数的性质作出预测. 【详解】
（1）方法一：取10z y =-，则得x 与z 的数据关系如下
(12345)35
x =++++=，
1
(7.0 6.5 5.5 3.8 2.2)55
z =++++=，
5
1
17.02 6.53 5.54 3.85 2.262.7i i
i x z
==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，
5
2222221
1234555i
i x
==++++=∑.
5
1
5
2
22
1
562.7535
ˆ 1.2355535i i i i
i x z
xy
b
x
x ==--⨯⨯∴===--⨯-∑∑，
ˆˆ5( 1.23)38.69a
z bx =-=--⨯=， z ∴关于x 的线性回归方程是8.69 1.23z x =-即ˆ108.69 1.23y z x -==-， 故y 关于x 的线性回归方程是ˆ18.69 1.23y
x =-. 方法二：因为1
(12345)35
x =
++++=， 1
(17.016.515.513.812.2)155
y =++++=，
5
1
117.0216.5315.5413.8512.2212.7i i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，
5
2222221
1234555i
i x
==++++=∑，
5
1
5
2
22
1
5212.75315
ˆ 1.235553
5i i
i i
i x y xy
b
x
x ==--⨯⨯∴==
=--⨯-∑∑， 所以ˆˆ15( 1.23)318.69a
y bx =-=--⨯=， 故y 关于x 的线性回归方程是ˆ18.69 1.23y
x =-， （2）年利润2
(18.69 1.23)12 1.23 6.69w x x x x x =--=-+，根据二次函数的性质可知:当 2.72x =时，年利润z 最大． 【点睛】
本小题主要考查回归直线方程的求法，考查利用回归直线方程进行预测，考查运算求解能力，属于中档题. 23．在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。

已知曲线C 的
极坐标方程为2
sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点()24P --，
的直线l
的参数方程为22
4x t y ⎧
=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（为参数），直线l 与曲线C 交于M 、N 两点。

（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程： （2）若| |,| |,| |P M M N P N 成等比数列，求a 的值。

【答案】（1）l 的普通方程2y x =-；C 的直角坐标方程 2y ax =；（2）1a =. 【解析】 【分析】
（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数t 即可得到直线l 的直角坐标方程；
（2）将直线l 的参数方程，代入曲线C 的方程，利用参数的几何意义即可得出||||PM PN ⋅，从而建立关于a 的方程，求解即可． 【详解】
（1）由直线l
的参数方程22
42
x t y ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
消去参数t 得, 42y x =-++，即2y x =-为l 的普通方程
由2sin 2cos a ρθθ=，两边乘以ρ得22
sin 2cos a ρθρθ=
2y ax ∴=为C 的直角坐标方程.
（2
）将2242
x t y ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
代入抛物线2
2y ax
得24)3280t a t a -+++=
2(22(4))4(328)
0a a =+-+>
124)0t t a +=+>
12328 0t t a =+> 120,0t t ∴>>
由已知| |,| |,| |P M M N P N 成等比数列，
2||||||MN PM PN ∴=⋅ 即21212t t t t -=⋅，()21212124t t t t t t +-=，()212125t t t t +=，
24))5(328)a a +=+整理得2340a a +-= 4a =-（舍去）或1a =.
【点睛】
熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线l 的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键．。