Matlab数值数组

4、矩阵加法
定义 设有两个m×n矩阵
a11
A


a21

a12 a1n
b11
a22

a2n

B


b21


b12 b1n
b22

b2n


am1
am2

amn
bm1
bm 2

bmn
a11 b11
矩阵 C
a a jn ) 1 j1 2 j2
记
anjn Det(aij )
an1 an2
ann
i a a 1 j1 2 j2 anjn是取自不同行、不同列的n个元素的乘积；
ii行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 j1 j2 jn
决定每一项的符号；
iii 表示对所有的j1 j2 jn构成的n!个排列求和
生成一个 m 行 n 列的元素全为 1 的矩阵, m=n 时可写为 ones(n)
生成一个主对角线全为 1 的 m 行 n 列矩阵, m=n 时可简写为 eye(n)，即为 n 维单位矩阵
magic(n)
生成魔方数组，各行、列之和 = (1+2+……+n2 )/n
diag(v,k) rand(m,n) randn(m,n)
手工计算行列式是非常繁琐的，特别是高阶行列式。 Matlab中，行列式由函数 det( ) 实现。
练习：求下面的行列式
122
2
1 0 2 5
222
2
1 2 1 3
D1 2 1 0 1
D2 2 2 3
2
1 342
222
10
2、矩阵相等
定义 设有两个m×n矩阵
a11
A


a21
运算结果为与A同维的数组
练习：试写出下列matlab语句的输出结果，并在
matlab中进行验证。
A = ones(3) B = eye(3) C = zeros(3) D = (A+B).*(A-B) E = (D + 1) + (D - 1)*i F = E.’./E’ + E.’.\E’ G = B.^D + D.^B
4、函数作用在数组上的运算规则
Matlab中的很多函数都可以直接以数组作为输 入参数，函数输出也为数组。
x11 x12 ... x1n
X


x21
...
x22 ...
... ...
x2n


...
xij
mn

xm1
xm2
...
xmn

f X f xij mn
若A的元素均为实数，则A.’与A’的结果相同
B = A.’
对数组A做转置运算，将运算结果赋值给变量 B，内存中数组A的内容并没有任何变化。
2、两个维数相同的数组之间的数组运算
• A + B：加，对应位置的数组元素相加 • A - B：减，对应位置的数组元素相减 • A.*B：点乘，对应位置的数组元素相乘 • A./B：右点除，对应位置的数组元素相除 • A.\B：左点除 • A.^B：点幂，对应位置的数组元素做幂运算

y2




f yn
输入为二维数组，则输出也为二维数组
a11
A


a21
a12 a22
a13
a23

,
f
A



f f
a11 a21
f a12 f a22
f f
a13 a23



a31 a32 a33
Matlab数值数组
一、创建数值数组 二、数组操作函数 三、数组运算 四、矩阵运算 五、数组的访问和赋值 六、与数组相关的函数 七、一维数组在向量运算中的应用 八、一维数组在一元多项式运算中的应用
一、创建数值数组
数值数组(简称为数组)是Matlab中最重要的一种 内建数据类型。
二维数组（array）是由实数或复数排列成矩形而构成的， 从数据结构上看，二维数组和矩阵没有什么区别。当二维数组 带有线性变换含义时，该二维数组就是矩阵（matrix）。
三、数组运算
• 数组运算是Matlab软件定义的运算规则， 其目的是为了数据管理方便、操作简单、 指令形式自然和执行计算的有效。
• 无论在数组上施加什么运算(加减乘除或函 数)，总认定那种运算对被运算数组中的每 个元素(Element)进行运算。
1、转置运算
A.’ 对A做转xT 置（行→列，列→行）即AT A’ 对A做共轭转置 即A†
B= 1000 0200 0030 0004 -4 0 0 0 0 -3 0 0 0 0 -2 0 0 0 0 -1
二、数组操作函数
把“大小”相同的若干数组，沿“指
cat(dim, A, B) 定维”方向，串接成高维数组 。
行（dim=1） 列（dim=2）
diag(A,k)
A 是矩阵，则 diag(A,k) 返回A的第k条对角 线元素组成的列向量，k省略时，k = 0。
输入为行数组，则 输出也为行数组
输入为列数组，则 输出也为列数组
X x1, x2 , , xn
f X f x1 , f x2 , , f xn
y1
Y


y2

,

yn
f y1
f
Y



f
3
说明：直接输入矩阵时，每行元素用
空格或逗号分隔，矩阵行用分号分隔，
4
5
6 整个矩阵放在方括号里，标点符号一
7
8
9 定要在英文状态下输入。二维数组一
般用大写字母表示。
3、用方括号[ ]由一维数组创建二维数组
a = [1,3,5] b = [2,4,6] c = [3,5,7]
D = [a;b] E = [b;c] F = [D,E]
Matlab中，标量和向量一般用小写字符字母表示
1、用方括号[ ]创建一维数组
• 整个数组放在方括号里 • 行数组元素用空格或逗号分隔
x = [2, pi/2, sqrt(3), 3+5i] • 列数组元素用分号分隔
y = [2;pi;3/4;j] • 标点符号一定要在英文状态下输入 • x = [] 生成空数组
4、用冒号:创建一维数组
• x = a:b
默认 inc = 1
• x = a:inc:b
a，b必须为实数
x = [a,a+inc,a+2*inc,…]
a是数组x中的第一个元素，b不一定是数组x 的最后一个元素。
5、用linspace()函数创建一维数组
x = linspace(a,b) x = linspace(a,b,n)
默认 n = 100
在[a,b]区间内生成 n 个数据，包括a和b在内
若a，b为实数，等效于： x a : b a : b n 1
x = linspace(0,pi,10) x = linspace(1+i,100+100*i)
6、用logspace()函数创建一维数组
x = logspace(a,b)
A = [1,2;2,1] if ( isequal(A,A.’) == 1)
disp(‘A是对称矩阵’) else
disp(‘A不是对称矩阵’) end
A = [0,1;-1,0] if ( isequal(A,-A.’) == 1)
disp(‘A是反对称矩阵’) else
disp(‘A不是反对称矩阵’) end
默认n = 50
在10a ,10b 间生成50个数据
x = logspace(a,b,n)
在10a ,10b 间生成n个数据
x = logspace(a,pi)
在10a , 间生成n个数据
7、创建特殊数组的函数
zeros(m,n) ones(m,n) eye(m,n)
生成一个 m 行 n 列的零矩阵，m=n 时可简写为 zeros(n)
x
x sin 3t
3、绘制

y

sin

2t


4

的图像，t

0,
2
.
四、矩阵运算
由m n个数aij构成的m行n列数表
a11 a12 a1n
A


a21
a22

a2n


am1
am2

amn
称为维(型)是m n的矩阵(matrix),简称为m n矩阵.
rot90(A,k)
逆时针旋转 k×90 度
reshape(A,m,n)
在总元素数不便的前提下，改变数 组的“行数、列数”
tril(A)
保留一个矩阵的下三角部分的数据， 其余的数据被0替换
triu(A)
保留一个矩阵的上三角部分的数据， 其余的数据被0替换
练习：试写出下列matlab语句的输出结果，并在
flipud(A)
以数组“水平中线”为对称轴，交换 上下对称位置上的数组元素
fliplr(A)
以数组“垂直中线”为对称轴，交换 左右对称位置上的数组元素
kron(A,B)
按Kronecker乘法规则（直积）产生 “积”数组
repmat(A,m,n)
按指定的“行数、列数”铺放模块 数组，以形成更大的数组
Matlab中，矩阵相等可用函数 isequal(A,B) 来判断。若两矩阵 相等，则isequal返回逻辑1（true），否则返回逻辑0(false)
3、矩阵转置、共轭转置运算
A’
矩阵共轭转置
A.’
矩阵转置
转置的运算级别比加、减、乘、除等运算高
对称矩阵：一个矩阵与其转置矩阵相等， 反对称矩阵：一个矩阵与其转置矩阵的和为零矩阵
f a31 f a32 f a33
例题：绘制 y = sin(x) 的图像
x = 0:0.1:2*pi y = sin(x)
函数作用在一维数组上
plot(x,y)
练习：
1.、绘制 y x sin x 的图像，x 8 ,8 ;
2、绘制 y sin x 的图像，x 8 ,8 ;
2、用方括号[ ]创建二维数组
1 2 3 例：简单矩阵A 4 5 6的输入步骤。 （1）在键盘上输入下列内容 7 8 9
A = [1,2,3; 4,5,6; 7,8,9]
（2）按【Enter】键，指令被执行。 （3）在指令执行后，MATLAB指令窗中将显示以下结果：
A=
1
2
matlab中进行验证。
a = 1:12 B = reshape(a,3,4) C = rot90(B) d = diag(C) E = diag(d) F = [tril(B);triu(B)] G = cat(2,tril(C),triu(C)) H = repmat(a,4,1) I = flipud(G) J = kron(d,E)

am1
a12 a22

am2
a1n

a2n



amn
b11
B


b21

bm1
b12 b22

bm 2
b1n

b2n



bmn
若 aij bij (i 1,2,, m; j 1,2,, n)
则称矩阵A和B相等. 记作A=B
运算结果为与A、B同维的数组
3、数组的与标量 的运算
• A + c ：A的每个元素加c • A - c： A的每个元素减c • A.*c 或 A*c：A的每个元素乘c， • A./c 或 A/c： A的每个元素除以c • A.\c 或 A\c：c除以A的每个元素 • A.^c：点幂， A的每个元素做幂运算 • c.^A：点幂，c做幂运算
一维数组是矩阵的特殊形式
• 行数组：n个元素排成一行
又称为行向量（row vector）
在Matlab中作为 1 X n 矩阵 • 列数组：m个元素排成一列
又称为列向量（column vector）
在Matlab中作为 n X1 矩阵 • 一个数：
又称为标量 在Matlab中作为 1 X1 矩阵
一般情况下，向量指列向量
记为
A (aij )mn , Amn 或 A (aij ),
其 中aij为 矩 阵 的 第i行 第j列 元 素.
i称为行标i 1,2,, m，j称为列标j 1,2,, n.
1、方阵的行列式
n 阶行列式的定义：
a11 a12 D a21 a22
a1n
a2n (1) ( j1 j2
v是向量，diag(v,k) 产生以 v 为第k条对角线的矩阵， k省略时，k = 0
产生 0～1 间均匀分布的随机矩阵 m=n 时简写为 r Nhomakorabeand(n)
产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵 m=n 时简写为 randn(n)
diag(v,k)
练习：在matlab中生成二维数组
A= 000 000 000 111 111 111