torch单位矩阵

torch单位矩阵
一、定义和性质
torch中的单位矩阵（identity matrix）是一个方阵，所有的对角线元素都是1，其他元素都是0。

在torch中，我们可以使用torch中的eye函数来创建单位矩阵：
```python
identity_matrix = torch.eye(n)
```
其中n是矩阵的维数。

单位矩阵有以下的性质：
1. 任何矩阵A与其相应的单位矩阵In相乘，得到的仍然是A：
```
A·In = In·A = A
```
2. 单位矩阵是对角矩阵的一种特殊情况，也就是说，单位矩阵是一个对角线上的元素都是1，其他元素都是0的对角矩阵。

3. 单位矩阵的转置等于自身：
```
(In)T = In
```
4. 对任意的矩阵A均有：
```
(det(A·In)) = det(A)·det(In) = det(A)
```
二、应用
单位矩阵在torch中有着广泛的应用，下面介绍几个例子：
1. 矩阵求逆
在torch中，我们可以使用torch中的inverse函数来求矩阵的逆矩阵。

对于一个可逆矩阵A，其逆矩阵A-1满足以下的条件：
```
A·A-1 = A-1·A = In
```
例如，对于如下的矩阵A：
```
A = [[2,1],
[4,3]]
```
我们可以使用inverse函数来求逆矩阵：
求得逆矩阵A_inv为：
我们可以验证下列式子：
```
A·A_inv = [[2,1],
[4,3]]·[[ 1.5, -0.5],
[-2.0, 1.0]] = [[1,0],
[0,1]] = In
A_inv·A = [[ 1.5, -0.5],
[-2.0, 1.0]]·[[2,1],
[4,3]] = [[1,0],
[0,1]] = In
```
可以看出，A与其逆矩阵A_inv相乘的结果是单位矩阵。

2. 矩阵的行列式
在torch中，我们可以使用determinant函数来求矩阵的行列式。

对于一个n阶矩阵A，其行列式的值det(A)表示在该矩阵的n个行向量或n个列向量组成的n维空间中，n维平
行六面体的有向体积。

由于单位矩阵是唯一一个对角线上元素都为1的矩阵，因此单位矩阵的行列式的值为1：
```
det(In) = 1
```
3. 矩阵的变换
假设我们有一个二维向量V：
如果我们希望将该向量绕着原点按逆时针方向旋转θ度，可以使用如下的变换：
```
T = [[ cos(θ), -sin(θ)],
[ sin(θ), cos(θ)]]
V' = T·V
```
其中，T为旋转矩阵，可以表示为：
```python
import math
# 定义θ的值
theta = math.pi / 4
# 定义旋转矩阵
rotation = torch.tensor([[math.cos(theta), -math.sin(theta)],
[math.sin(theta), math.cos(theta)]])
# 定义二维向量V
V = torch.tensor([[1],
[2]])
# 计算变换后的向量
V_prime = rotation @ V
```
可以看出，V绕着原点按逆时针方向旋转了45度，变成了：
综上所述，torch中的单位矩阵在矩阵求逆、矩阵的行列式和矩阵的变换等应用中都有着广泛的应用。