2020-2021学年杭州市萧山区初三数学第一学期期末数学试卷及解析

2020-2021学年杭州市萧山区初三数学第一学期期末数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列表示y 与x 之间的关系的图象中，y 不是x 的函数的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
2．有下面四个关系式：①||y x =；②||y x =；③220x y -=；④(0)y x x =．其中y 是x 的函数的是( )
A ．①②
B ．②③
C ．①②③
D ．①③④
3．已知等腰三角形的周长为20cm ，底边长为()y cm ，腰长为()x cm ，y 与x 的函数关系式为202y x =-，那么自变量x 的取值范围是( )
A ．0x >
B ．010x <<
C ．05x <<
D ．510x <<
4．某宾馆有单人间，双人间，三人间三种客房供游客选择居住，现某旅游团有20名旅客同时安排游客居住在该宾馆，若每个房间都住满，共租了9间客房，则居住方案有( )
A ．1种
B ．2种
C ．3种
D ．4种
5．如图，在距离铁轨200米的B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A 处时，恰好位于B 处的北偏东60︒方向上；10秒钟后，动车车头到达C 处，恰好位于B 处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是( )米/秒．
A ．20(31)+
B ．20(31)-
C ．200
D ．300
6．如图所示，已知ABC ∆中，6AB =，9AC =，AD BC ⊥于D ，M 为AD 上任一点，则22MC MB -等于( )
A ．9
B ．35
C ．45
D ．无法计算
7．如图，在半径为13的O 中，弦AB 与CD 交于点E ，75DEB ∠=︒，6AB =，1AE =，则CD 的长是
( )
A ．26
B ．210
C ．211
D ．43
8．若直线y kx b =+是由直线24y x =+沿x 轴向右平移4个单位所得，则k ，b 的值分别是( )
A ．2k =-，4b =-
B ．2k =，4b =-
C ．4k =-，2b =
D ．4k =，2b =
9．如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，直角EPF ∠的顶点P 是BC 的中点，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ．现给出以下四个结论：
①AE CF =；②EPF ∆是等腰直角三角形；③EF AP =；④12
ABC AEPF S S ∆=四边形． 当EPF ∠在ABC ∆内绕顶点P 旋转时（点E 不与点A ，B 重合），上述结论中始终正确的是( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①③④
10．已知实数a ，b ，c 满足47a b =-，122b c =+．①当233
c <<时，总有a b c >>；②当24c <<时，则b c a +>．上述结论，( )
A ．①正确②正确
B ．①正确②错误
C ．①错误②正确
D ．①错误②错误
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．若关于x 的不等式0x a ->恰好有两个负整数解，则a 的范围为 ．
12．如图，已知线段1AC =，经过点A 作AB AC ⊥，使12
AB AC =
，连接BC ，在BC 上截取BE AB =，在CA 上截取CD CE =，则AD 的值是 ．
13．点(1,2)-关于坐标轴对称的点坐标是 ． 14．在平面直角坐标系中，点(1,)A m -在直线23y x =+上，连接OA ，将线段OA 绕O 顺时针旋转90︒，点A 的对应点B 恰好落在直线y x b =-+上，则b = ．
15．下列结论中（其中α，β均为锐角），正确的是 ．（填序号）
①22sin cos 1αα+=；
②cos22cos αα=；
③当090αβ︒<<<︒时，0sin sin 1αβ<<<；
④sin cos tan ααα=⋅．
16．如图，AB 是O 的直径，弦4BC cm =，F 是弦BC 的中点，60ABC ∠=︒．若动点E 以2/cm s 的速度从A 点出发沿着A B A →→的方向运动，设运动时间为()(06)t s t <，连接EF ，当BEF ∆是直角三角形时，t 的值为 ．
三、解答题（本题共7小题，共66分）
17．解不等式组()3242153
2x x x x ⎧--⎪⎨->-⎪⎩①②． 18．如图，在正方形ABCD 中，M 是AD 的中点，3BE AE =，试求sin ECM ∠的值．
19．如图，在ABC ∆中，D ，E ，F 分别为边BC 、AC 、AB 的中点，G 点在边AB 上，BDG ∆与四边形ACDG 的周长相等，设BC a =，AC b =，AB c =．
（1）求线段BG 的长．
（2）求证：DG 平分EDF ∠．
（3）连接CG ，如图，若BDG ∆与DFG ∆相似，求证：BG CG ⊥．
20．（1）如图1，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，
CD 上，45EAF ∠=︒，延长CD 到点G ，使DG BE =，连接EF ，AG ．求证：EF FG =．
（2）如图2，等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点M ，N 在边BC 上，且45MAN ∠=︒，若1BM =，3CN =，求MN 的长．
21．甲、乙两车从A 地出发沿同一路线驶向B 地，甲车先出发匀速驶向B 地40分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50千米/时，结果与甲车同时到达B 地，甲、乙两车距A 地的路程()y km 与乙车行驶时间()x h 之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题；
①直接写出a 的值，并求甲车的速度；
②求图中线段EF 所表示的函数y 关于x 的解析式；并直接写出自变量x 的取值范围；
③乙车出发后多少小时与甲车相距15千米？
22．已知P是O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B（不与
∠=∠．
P、Q重合），连接AP、BP．若APQ BPQ
（1）如图1，当45
∠=︒，1
APQ
AP=，22
BP=时，求O的半径；
（2）在（1）的条件下，求四边形APBQ的面积；
（3）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，若NOP OPN
∠+∠=︒，探究直线AB与ON的位置关系，并说明理由．
290
23．如图①，已知Rt
OP=，动点B
OA=，6
MON
∠=∠，点A，P分别是射线OM，ON上两定点，且2
从点O向点P运动，以AB为斜边向右侧作等腰直角ABC
∆，设线段OB的长x，点C到射线ON的距离为y．
（1）若2
OB=，直接写出点C到射线ON的距离；
（2）求y关于x的函数表达式，并在图②中画出函数图象；
（3）当动点B从点O运动到点P，求点C运动经过的路径长．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．解：A ，B ，D 三个选项中，对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，正确． 选项C 中一个x 对应两个y 值，不是函数．
故选：C ．
2．解：对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值，
①||y x =；③220x y -=；④0)y x =．当x 取值时，y 有唯一的值对应； 故选：D ．
3．解：根据三角形的三边关系，得
则02022x x <-<，
由2020x ->，解得10x <，
由2022x x -<，解得5x >，
则510x <<．
故选：D ．
4．解：设租一人间x 间，租二人间y 间，则三人间客房z 间．
依题意得：92320x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩
， 解得：211y z +=，
112y z =-， x ，y ，z 是正整数，
当1z =时，9y =，1x =-（不符合题意，舍去）；
当2z =时，7y =，0x =；
当3z =时，5y =，1x =；
当4z =时，3y =，2x =；
当5z =时，1y =，3x =；
当6z =时，1y =-，4x =；（不符合题意，舍去）；
∴居住方案有4种．
故选：D ．
5．解：作BD AC ⊥于点D ．
在Rt ABD ∆中，60ABD ∠=︒，
2400AB BD ∴==（米)，222003AD AB BD =-=（米)， 同理，200CD BD ==（米)．
则2002003AC =+（米)．
则平均速度是
200200320(31)10
+=+米/秒． 故选：A ．
6．解：在RT ABD ∆和RT ADC ∆中，
222BD AB AD =-，222CD AC AD =-，
在Rt BDM ∆和Rt CDM ∆中，
222222BM BD MD AB AD MD =+=-+，222222MC CD MD AC AD MD =+=-+， 22222222()()MC MB AC AD MD AB AD MD ∴-=-+--+
22AC AB =- 45=．
故选：C ．
7．
解：过点O 作OF CD ⊥于点F ，OG AB ⊥于G ，连接OB 、OD 、OE ，如图所
示： 则DF CF =，132
AG BG AB ==
=， 2EG AG AE ∴=-=， 在Rt BOG ∆中，221392OG OB BG =--=，
EG OG ∴=，
EOG ∴∆是等腰直角三角形，
45OEG ∴∠=︒，222OE OG ==，
75DEB ∠=︒，
30OEF ∴∠=︒，
12
OF OE ∴== 在Rt ODF ∆
中，DF ===
2CD DF ∴==；
故选：C ．
8．解：直线24y x =+沿x 轴向右平移4个单位，所得直线的函数解析式为2(4)4y x =-+，即24y x =-， 所以2k =，4b =-．
故选：B ．
9．解：ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，P 是BC 中点，
45B C BAP CAP ∴∠=∠=∠=∠=︒，AP PC PB ==，90APC EPF ∠=∠=︒， EPF APF APC APF ∴∠-∠=∠-∠，
APE CPF ∴∠=∠，
在APE ∆和CPF ∆中，
45EAP C AP AP
APE CPF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ()APE CPF ASA ∴∆≅∆，
AE CF ∴=，EP PF =，
EPF ∴∆是等腰直角三角形，∴①正确；②正确；
APE CPF ∆≅∆
APE CPF S S ∆∆∴=，
12
AEP APF CPF APF APC ABC AEPF S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∴=+=+==四边形，∴④正确； ABC ∆是等腰直角三角形，P 是BC 的中点，
12
AP BC ∴=， EF 不是ABC ∆的中位线，
EF AP ∴≠，故③错误；
即正确的有①②④，
故选：B ．
10．解：实数a ，b ，c 满足47a b =-，122
b c =+． ∴21122
a c
b
c =+⎧⎪⎨=+⎪⎩， 23
c >， 32c ∴>，
424c c ∴+>+，
12122
c c ∴+>+， a b ∴>，
3c <，
214c c ∴+<+，
1222c c ∴+<+， 12
c b ∴+<， b c ∴>．
a b c ∴>>．
故①正确，
当b c a +>时，则12212
c c c ++>+， 解得：2c <，
故②错误．
故选：B ．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．解：0x a ->，
x a ∴>，
不等式0x a ->恰有两个负整数解，
32a ∴-<-．
故答案为32a -<-．
12．解：12AB AC =，1AC =， 12
AB ∴=，
在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，1AC =，12AB =，
则BC ==
，
12
CE ∴=-，
12
CD CE ∴==-，
11)2AD AC CD ∴=-=--=，
． 13．解：由点(1,2)-关于y 轴对称的点的坐标是(1,2)； 关于x 轴对称的点的坐标是(1,2)--； 故答案为：(1,2)，(1,2)--．
14．解：把(1,)A m -代入直线23y x =+，可得：231m =-+=， 因为线段OA 绕点O 顺时针旋转90︒，所以点B 的坐标为(1,1)， 把点B 代入直线y x b =-+，可得：11b =-+，2b =， 故答案为：2．
15．解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠对的边分别为a 、b 、c ，则222a b c +=， 设A α∠=，则sin a c α=，cos b c α=， 2222
22222
sin cos 1a b a b c c c αα+∴+=+==，所以①正确； tan a b
α=， cos tan b a a c b c
αα∴⋅=⋅=， sin cos tan ααα∴=⋅，所以④正确；
若30α=︒，则1cos2cos602α=︒=，2cos 2cos30α=︒=②错误； 当090αβ︒<<<︒时，0sin sin 1αβ<<<，所以③正确； 故答案为①③④．
16．解：06t <，动点E 以2/cm s 的速度从A 点出发沿着A B A →→的方向运动， E ∴运动的距离小于12cm ，设E 运动的距离是scm ， 则012s <， AB 是O 直径，
90C ∴∠=︒，
F 为BC 中点，4BC cm =，
2BF CF cm ∴==，
90C ∠=︒，60B ∠=︒，
30A ∴∠=︒，
28AB BC cm ∴==，
分为三种情况： ①
当90EFB ∠=︒时，
90C ∠=︒，
EFB C ∴∠=∠，
//AC EF ∴，
FC BF =，
AE BE ∴=，即E 和O 重合，4()AE cm =，
422()t s =÷=； ②
当90FEB ∠=︒时，60ABC ∠=︒，
30BFE ∴∠=︒，
1
1()2BE BF cm ∴==，
817()AE cm =-=，
7
72()2t s =÷=；
③
当到达B 后再返回到E 时，90FEB ∠=︒，
此时移动的距离是819()cm +=，
992()2
t s =÷=； 故答案为：2或72或92
． 三、解答题（本题共7小题，共66分）
17．解：()3242153
2x x x x ⎧--⎪⎨->-⎪⎩①②， 解不等式①得，1x ，
解不等式②得， 6.5x <，
所以，不等式组的解集是1 6.5x <．
18．解：设AE x =，则3BE x =，4BC x =，2AM x =，4CD x =， 22(3)(4)5EC x x x ∴=+=，
22(2)5EM x x x +，
22(2)(4)25CM x x x +=，
222EM CM CE ∴+=，
CEM ∴∆是直角三角形，
5sin EM ECM CE ∴∠==． 19．（1）解：BDG ∆与四边形ACDG 的周长相等，
BD BG DG AC CD DG AG ∴++=+++， D 是BC 的中点，
BD CD ∴=，
BG AC AG ∴=+，
()BG AC AG AB AC ++=+，
11()()22
BG AB AC b c ∴=+=+； （2）证明：点D 、F 分别是BC 、AB 的中点，
1122DF AC b ∴==，1122
BF AB c ==， 又111()222
FG BG BF b c c b =-=+-=， DF FG ∴=，
FDG FGD ∴∠=∠，
点D 、E 分别是BC 、AC 的中点，
//DE AB ∴，
EDG FGD ∴∠=∠，
FDG EDG ∴∠=∠，
即DG 平分EDF ∠；
（3）证明：BDG ∆与DFG ∆相似，DFG B ∠>∠，BGD DGF ∠=∠（公共角）， B FDG ∴∠=∠，
由（2）得：FGD FDG ∠=∠，
FGD B ∴∠=∠，
DG BD ∴=，
BD CD =，
DG BD CD ∴==，
B BGD ∴∠=∠，DCG DG
C ∠=∠，
又180B BGD DCG DGC ∠+∠+∠+∠=︒，
90BGD DGC ∴∠+∠=︒，
即BG CG ⊥．
20．（1）证明：在正方形ABCD 中，
ABE ADG ∠=∠，AD AB =，
在ABE ∆和ADG ∆中，
AD AB ABE ADG DG BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()ABE ADG SAS ∴∆≅∆，
BAE DAG ∴∠=∠，AE AG =，
90EAG ∴∠=︒，
在FAE ∆和FAG ∆中，
45AE AG EAF FAG AF AF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
()FAE FAG SAS ∴∆≅∆，
EF FG ∴=；
（2）解：如图，过点C 作CE BC ⊥，垂足为点C ，截取CE ，使CE BM =．连接AE 、EN ．
AB AC =，90BAC ∠=︒，
45B ACB ∴∠=∠=︒．
CE BC ⊥，
45ACE B ∴∠=∠=︒．
在ABM ∆和ACE ∆中，
AB AC B ACE BM CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()ABM ACE SAS ∴∆≅∆．
AM AE ∴=，BAM CAE ∠=∠．
90BAC ∠=︒，45MAN ∠=︒，
45BAM CAN ∴∠+∠=︒．
于是，由BAM CAE ∠=∠，得45MAN EAN ∠=∠=︒．
在MAN ∆和EAN ∆中，
AM AE MAN EAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()MAN EAN SAS ∴∆≅∆．
MN EN ∴=．
在Rt ENC ∆中，由勾股定理，得222EN EC NC =+．
222MN BM NC ∴=+．
1BM =，3CN =，
22213MN ∴=+，
MN ∴21．解：①40.5 4.5a =+=， 甲车的速度4606040760
==+（千米/小时）； ②设乙开始的速度为v 千米/小时，
则4(7 4.5)(50)460v v +--=，解得90v =（千米/小时）， 4360v =，
则(4,360)D ，(4.5,360)E ，
设直线EF 的解析式为y kx b =+，
把(4.5,360)E ，(7,460)F 代入得 4.53607460k b k b +=⎧⎨+=⎩
， 解得40180k b =⎧⎨=⎩
， 所以线段EF 所表示的y 与x 的函数关系式为40180(4.57)y x x =+； ③甲车前40分钟的路程为260403
⨯=（千米），则(0,40)C ， 设直线CF 的解析式为y mx n =+，
把(0,40)C ，(7,460)F 代入得407460n m n =⎧⎨+=⎩
， 解得6040m n =⎧⎨=⎩
， 所以直线CF 的解析式为6040y x =+，
易得直线OD 的解析式为90(04)y x x =，
设甲乙两车中途相遇点为G ，由604090x x +=，解得43x =，即乙车出发43小时后，甲乙两车相遇， 当乙车在OG 段时，由60409015x x +-=，解得56x =，介于40~3
小时之间，符合题意；
当乙车在GD 段时，由90(6040)15x x -+=，解得116x =，介于4~43小时之间，符合题意； 当乙车在DE 段时，由360(6040)15x -+=，解得6112
x =，不介于4~4.5之间，不符合题意； 当乙车在EF 段时，由40180(6040)15x x +-+=，解得254x =，介于4.5~7之间，符合题意． 所以乙车出发56小时或116小时或254
小时，乙与甲车相距15千米． 22．解：（1）连接AB ，
45APQ BPQ ∠=∠=︒，
90APB APQ BPQ ∴∠=∠+=︒，
AB ∴是O 的直径，
22221(22)3AB AP BP ∴=+=+=，
O ∴的半径为3
2；
（2）连结AB ，AQ ，OQ ，BQ ，
AB 是O 的直径，
90APB ∴∠=︒，
45APQ ∠=︒，
90AOQ ∴∠=︒，
APB AQB APBQ S S S ∆∆∴=+四
1
1
22PB AP AB OQ =⋅⋅+⋅⋅
113
2213
=⨯⨯+⨯⨯
222
9
=+；
2
4
（3）//
AB ON，
证明：连接OA、OB、OQ，
∠=∠，
APQ BPQ
=，
∴AQ BQ
∴∠=∠，
AOQ BOQ
=，
OA OB
OQ AB
∴⊥，
=，
OP OQ
∴∠=∠，
OPN OQP
∠+∠+∠+∠=︒，
OPN OQP NOP NOQ
180
∴∠+∠+∠=︒，
OPN NOP NOQ
2180
∠+∠=︒，
NOP OPN
290
NOQ
∴∠=︒，
90
∴⊥，
NO OQ
∴．
//
AB ON
23．解：（1）如图①中，
∠=︒，ACB
∆是等腰直角三角形，
AOB
==，90
OA OB
2
∴四边形OACB 是正方形，
∴点C 到ON 的距离为2．
（2）如图③中，作CE OA ⊥于E ，CF ON ⊥于F ．
90ACB ECF ∠=∠=︒，CA CB =，90CEA CFB ∠=∠=︒， ACE BCF ∴∠=∠，
()CEA CFB AAS ∴∆≅∆，
AE CF ∴=，CE CF =，
90CEO CFO EOF ∠=∠=∠=︒，
∴四边形OECF 是矩形，CE CF =，
∴四边形OECF 是正方形，
CF CE OE OF y ∴====，
2AE y =-，FB x y =-，
2y x y ∴-=-， 112
y x ∴=+，可得函数图象如图②所示，
（3）如图④中，
CE CF
=，
∠，
∴平分MON
OC
∴点C的运动轨迹是线段C C'，
y=，
x=，4
6
OC'=32
CC'=
∴=2
OC
42
∴点C运动经过的路径长为32。