2020年3月2020福建省2017级高三3月毕业班质量检测考试数学(理)试卷参考答案
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sin2 Acos2 B sin2 A 1 sin2 B 2sin Acos Asin B cos B 2sin Asin B ，
sin2 Acos2 B sin Acos Asin B cos B sin Asin B ，....................................................4 分 因为 sin Acos B 0 ，所以 sin Acos B cos Asin B sin Asin B ，
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 20 分．
13． 2 i
14． 9
15． 1 3
16．8
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．本小题主要考查正弦定理、余弦定理等解三角形基础知识，考查运算求解能力，考查函
数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分 12
3
3
6（2Biblioteka 因为 D 是 AC 中点，所以 BD 1 BA BC ， 2
所以
2
BD
1
2
2
BA BC 2BA BC
，.....................................................................7 分
2020 年福建省高三毕业班质量检查测试
理科数学参考答案及评分细则
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据
试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该
题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应
分．
解法一：（1）由余弦定理得， c2 a2 b2 2ac cos B ， ...............................................2 分 又 c2 a2 b2 2ab ，所以 2ac cos B 2ab ，即 c cos B b ， 由正弦定理得， sin C cos B sin B ， .......................................................................4 分 显然 cos B 0 ，所以 tan B sin C ， ........................................................................5 分
sin Acos B 所以 sin C tan B ， ....................................................................................................5 分
因为 sin C 3 ，所以 tan B 3 ，又因为 B 0, ，所以 B ． ..................6 分
所以 sin Acos B cos Asin B2 sin2 A sin2 B 2sin Asin B ， ..............................3 分
得 sin2 Acos2 B cos2 Asin2 B 2sin Acos Asin B cos B sin2 A sin2 B 2sin Asin B ，
分
2BD AD
2a
b 2
cos CDB
BD2 +CD2
BC2
a2
+
b 2
2
a2
，......................................................8 分
2BD CD
2a
b 2
因为 cos ADB cos CDB 0 ，所以 c2 a2 b2 ， ..............................................9 分 2
因为 sin C 3 ，所以 tan B 3 ， 又因为 0 B ，所以 B ．.................6 分
3
3
6
（2）在 △ABD 和 △BCD 中， BD a ，由余弦定理可得
cos ADB
BD2 +AD2
AB2
a
2
+
b 2
2
c2
，....................................................... 7
又因为 c2
a2
b2
2ab
，所以
4a2
4ab
b2
0 ，即
4
a b
2
4
a b
1
0 ，....10
分
解得 a 1 2 ，因为 a 0,b 0 ，所以 a 1 2 .............................................12 分
b2
b2
理科数学参考答案及评分细则 第 1 页（共 15 页）
解法二：（1）由已知，根据正弦定理得 sin2 C sin2 A sin2 B 2sin Asin B ， ...............................................................................................................................2 分
故 sin2 Acos2 B cos2 A 1 sin2 B 2sin Acos Asin B cos B sin2 A 2sin Asin B ，
于是 sin2 Acos2 B sin2 Asin2 B sin2 A 2sin Acos Asin B cos B 2sin Asin B ，
给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 60 分．
1．C 2．B 3．D 4．B 5．B 6．A
7．C 8．A 9．B 10．C 11．D 12．A
sin2 Acos2 B sin Acos Asin B cos B sin Asin B ，....................................................4 分 因为 sin Acos B 0 ，所以 sin Acos B cos Asin B sin Asin B ，
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 20 分．
13． 2 i
14． 9
15． 1 3
16．8
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．本小题主要考查正弦定理、余弦定理等解三角形基础知识，考查运算求解能力，考查函
数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分 12
3
3
6（2Biblioteka 因为 D 是 AC 中点，所以 BD 1 BA BC ， 2
所以
2
BD
1
2
2
BA BC 2BA BC
，.....................................................................7 分
2020 年福建省高三毕业班质量检查测试
理科数学参考答案及评分细则
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据
试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该
题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应
分．
解法一：（1）由余弦定理得， c2 a2 b2 2ac cos B ， ...............................................2 分 又 c2 a2 b2 2ab ，所以 2ac cos B 2ab ，即 c cos B b ， 由正弦定理得， sin C cos B sin B ， .......................................................................4 分 显然 cos B 0 ，所以 tan B sin C ， ........................................................................5 分
sin Acos B 所以 sin C tan B ， ....................................................................................................5 分
因为 sin C 3 ，所以 tan B 3 ，又因为 B 0, ，所以 B ． ..................6 分
所以 sin Acos B cos Asin B2 sin2 A sin2 B 2sin Asin B ， ..............................3 分
得 sin2 Acos2 B cos2 Asin2 B 2sin Acos Asin B cos B sin2 A sin2 B 2sin Asin B ，
分
2BD AD
2a
b 2
cos CDB
BD2 +CD2
BC2
a2
+
b 2
2
a2
，......................................................8 分
2BD CD
2a
b 2
因为 cos ADB cos CDB 0 ，所以 c2 a2 b2 ， ..............................................9 分 2
因为 sin C 3 ，所以 tan B 3 ， 又因为 0 B ，所以 B ．.................6 分
3
3
6
（2）在 △ABD 和 △BCD 中， BD a ，由余弦定理可得
cos ADB
BD2 +AD2
AB2
a
2
+
b 2
2
c2
，....................................................... 7
又因为 c2
a2
b2
2ab
，所以
4a2
4ab
b2
0 ，即
4
a b
2
4
a b
1
0 ，....10
分
解得 a 1 2 ，因为 a 0,b 0 ，所以 a 1 2 .............................................12 分
b2
b2
理科数学参考答案及评分细则 第 1 页（共 15 页）
解法二：（1）由已知，根据正弦定理得 sin2 C sin2 A sin2 B 2sin Asin B ， ...............................................................................................................................2 分
故 sin2 Acos2 B cos2 A 1 sin2 B 2sin Acos Asin B cos B sin2 A 2sin Asin B ，
于是 sin2 Acos2 B sin2 Asin2 B sin2 A 2sin Acos Asin B cos B 2sin Asin B ，
给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 60 分．
1．C 2．B 3．D 4．B 5．B 6．A
7．C 8．A 9．B 10．C 11．D 12．A