山东省潍坊市2018届高三下学期一模考试数学(文)

山东省潍坊市2018届高三下学期一模考试数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足()142i z i +=+，则z 的虚部为（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-2.已知集合{{}2,20A x x B x x x =<=-->，则A B ⋂=（ ） A．{x x < B．{1x x -<< C．{}1x x -<- D ．{}12x x -<<3. 已知,x y 满足约束条件10330210x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数z = ）A ．12BC ．1 D4.若函数()x x f x a a -=-（0a >且1a ≠）在R 上为减函数，则函数()log 1a y x =-的图象可以是（ ）A． B． C．D ．5.已知等差数列{}n a 的公差为2，236,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A ．()2n n - B ．()1n n - C ．()1n n + D ．()2n n +6.对于实数,a b ，定义一种新运算“⊗”：y a b =⊗，其运算原理如程序框图所示，则5324=⊗+⊗（ ）A ．26B ．32C ．40D ．467.若函数()()3log 2,0,0x x f x g x x ->⎧⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则()()3f g -=（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．08.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π9.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，其图象关于直线23x π=对称.给出下面四个结论：①函数()f x 在区间40,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先增后减；②将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到的图象关于原点对称；③点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心；④函数()f x 在[],2ππ上的最大值为1.其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④10.甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次.甲说:“我不是第一名”；乙说:“丁是第一名”；丙说:“乙是第一名”；丁说:“我不是第一名”.成绩公布后，发现这四位同学中只有一位说的是正确的.则获得第一名的同学为（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁11.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，A 为椭圆上一点，122F AF π∠=，连接2AF 交y 轴于M 点，若23OM OF =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．13 BC ．58D12.函数()y f x =在R 上为偶函数且在[)0,+∞单调递减，若[]1,3x ∈时，不等式()()()2ln 323ln 32f mx x f f x mx --≥-+-恒成立，则实数m 的取值范围（ ）A ．1ln 66,26e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1ln 36,26e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1ln 66,6e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1ln 36,6e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.数列{}n a 满足131,215n n n a a a a +==+，则1a = ． 14.已知O 为坐标原点，向量()()1,2,2,1OA OB =-=，若2AP AB =，则OP = ．15．已知抛物线()20y ax a =>的准线为l ，l 与双曲线2214x y -=的两条渐近线分别交于,A B 两点，若4AB =，则a = ．16．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱11AA =，P 为上底面1111A B C D 上的动点，给出下列四个结论：①若3PD =，则满足条件的P 点有且只有一个；②若PD P 的轨迹是一段圆弧； ③若//PD 平面1ACB ，则DP 长的最小值为2；④若//PD 平面1ACB，且PD BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形的面积为94π. 其中所有正确结论的序号为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0a c B b A ++=. （1）求B ；（2）若3b =，ABC ∆的周长为3+ABC ∆的面积.18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，14,2,CC AB BC AC ====M 是棱1AA 上不同于1,A A 的动点.（1）证明:1BC B M ⊥；（2）若190CMB ∠=︒，判断点M 的位置并求出此时平面1MB C 把此棱拄分成的两部分几何体的体积之比.19.某公司共有10条产品生产线，不超过5条生产线正常工作时，每条生产线每天纯利润为1100元，超过5条生产线正常工作时，超过的生产线每条每天纯利润为800元，原生产线利润保持不变.未开工的生产线每条每天的保养等各种费用共100元.用x 表示每天正常工作的生产线条数，用y 表示公司每天的纯利润.（1）写出y 关于x 的函数关系式，并求出纯利润为7700元时工作的生产线条数；（2）为保证新开的生产线正常工作，需对新开的生产线进行检测，现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数14x =，标准差2s =，绘制如图所示的频率分布直方图.以频率值作为概率估计值.为检测生产线生产状况，现从加工的产品中任意抽取一件，记其数据为X ，依据以下不等式评判（P 表示对应事件的概率）： ①()0.6826P x s X x s -<<+≥ ②()220.9544P x s X x s -<<+≥ ③()330.9974P x s X x s -<<+≥评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线，试判断该生产线是否需要检修；20.抛物线()2:202E x py p =<<的焦点为F ，圆()22:11C x y +-=，点()00,P x y 为抛物线上一动点.已知当52p PF =时，PFC ∆的面积为12.（1）求抛物线方程； （2）若012y >，过P 做圆C 的两条切线分别交y 轴于,M N 两点，求PMN ∆面积的最小值，并求出此时P 点坐标. 21.已知函数()2ln f x x a x =+.（1）若2a =-，判断求()f x 在()1,+∞上的单调性； （2）求函数()f x 在[]1,e 上的最小值；（3）当1a =时，是否存在正整数n ，使()22x e nxf x x x-≤+，对()0,x ∀∈+∞恒成立？若存在，求出n 的最大值；若不存在，说明理由..请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩）（t 为参数，0απ≤<），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2211sin ρθ=+.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设点M 的坐标为()1,0，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11MA MB+的值. 23.选修4-5：不等式选讲设函数()()()210,f x ax x a a g x x x =++->=+. （1）当1a =时，求不等式()()g x f x ≥的解集； （2）已知()32f x ≥，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DCBDA 6-10:CBCCA 11、12：DB 二、填空题15.1416.①②④ 三、解答题17. （1）∵()2cos cos 0a c B b A ++=， ∴()sin 2sin cos sin cos 0A C B B A ++=，()sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C B ++=，()sin 2sin cos 0A B C B ++=，∵()sin sin A B C +=，∴1cos 2B =-，∵0B π<<，∴23B π=.（2）由余弦定理得221922a c ac ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭，229a c ac ++=，∴()29a c ac +-=，∵33a b c b ++=+=，∴a c += ∴3ac =，∴11sin 322ABC S ac B ∆==⨯=18.证明：（1）解:在ABC ∆中，∵2228AB BC AC +==， ∴90ABC ∠=︒，∴BC AB ⊥，又∵11,BC BB BB AB B ⊥⋂=， ∴BC ⊥平面11ABB A ， 又1B M ⊂平面11ABB A ， ∴1BC B M ⊥.（2）当190CMB ∠=︒时，设()04AM t t =<<， ∴14A M t =-，则在Rt MAC ∆中，228CM t =+，同理：()2221144,16420B M t B C =-+=+=， 据22211B C MB MC =+，∴()2284420t t ++-+=， 整理得，2440t t -+=，∴2t =， 故M 为1AA 的中点.此时平面1MB C 把此棱柱分成两个几何体为:四棱锥1C ABB M -和四棱锥111B A MCC -. 由（1）知四棱1C ABB M -的高为2BC =，124262ABB M S +=⨯=梯形， ∴116243C ABB M V -=⨯⨯=锥，又248V =⨯=柱，∴111844B A MCC V -=-=锥，故两部分几何体的体积之比为1:1.19.解：（1）由题意知：当5x ≤时，()11001001012001000y x x x =-⨯-=-， 当510x <≤时，()()11005800510010900500y x x x =⨯+⨯--⨯-=+，∴()()12001000,5900500,510,x x x N y x x x N ++⎧-≤∈⎪=⎨+<≤∈⎪⎩且且 当7700y =时，9005007700x +=，8x =即8条生产线正常工作. （2）14,2μσ==，由频率分布直方图得： ∴()()12160.290.1120.80.6826P X <<=+⨯=>，()()10180.80.040.0320.940.9544P X <<=++⨯=<，∴()()8200.940.0150.00520.980.9974P X <<=++⨯=>， ∵不满足至少两个不等式成立，∴该生产线需检修.20.解：（1）由题意知:()0,,0,12p F C ⎛⎫⎪⎝⎭，∵02p <<，∴12p FC =-，52PF p =，∴0522p y p += ∴02y p =，∴02x p =， ∴1112222PFC p S p ∆⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴1p =∴抛物线方程为22x y =.（2）设过点P 且与圆C 相切的直线方程为()00y y k x x -=- 令0x =，得00y y kx =-， ∴切线与x 轴交点为()000,y kx -，而1d ==，整理得()()2220000012120x k x y k y y -+-+-=，012y >，201x > 设两切线斜率为12,k k ， 则()2000012122200212,11x y y y k k k k x x --+=⋅=--∴()()010020012PMN S y k x y k x x ∆=--- 212012k k x =-， ∵()221212124k k k k k k -=+- ()()()()222200000222220042414111y y x y y x xx--=-=---，122021y k k x -=-， 则200221PMNy S y ∆=- 令()0210y t t -=>，则012t y +=()221221121222t t t t f t t t t+⎛⎫ ⎪++⎝⎭===++而111222t t ++≥= 当且仅当122t t=，即1t =时，“=”成立此时，()P∴PMN S ∆的最小值为2，此时()P .21.解：（1）当2a =-时，()()22122x f x x x x-'=-= 由于()1,x ∈+∞，故()0f x '>， ∴()f x 在()1,+∞单调递增.（2）()222a x af x x x x+'=+=当0a ≥时，()0f x '≥，()f x 在[]1,e 上单调递增 ∴()()min 11f x f ==当0a <时，由()0f x '=解得x =设0x =1，即2a ≥-，也就是20a -≤<时，[]1,x e ∈，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴()()min 11f x f ==若1e <<，即222e a -<<-时 []01,x x ∈，()0f x '≤，()f x 单调递减， []0,x x e ∈，()0f x '≥，()f x 单调递增.故()()min 0ln 1222a a a f x f x a ⎛⎫⎛⎫==-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.e ，即22a e ≤-时，[]1,x e ∈，()0f x '<，()f x 单调递减 ∴()()2min f x f e e a ==+.综上所述：当2a ≥-时，()f x 的最小值为1；当222e a -<<-时，()f x 的最小值为ln 122a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 当22a e ≤-时，()f x 的最小值为2e a +.（3）当1a =时，不等式为222ln x e nx x x x x -+≤+ 即()2ln ,0,x e n x x x x≤-∈+∞恒成立. 由于()10,x =∈+∞，故0e n ≤-成立，n e ≤，又因为n N +∈， 所以n 只可能为1或2.下证2n =时不等式()2ln ,0,x e n x x x x≤-∈+∞恒成立. 事实上，设()22ln x e g x x x x=--， ()()()24232221x x x x e x e x xe g x x x x x --⋅-'=+-= 又设()(),1x x h x e x h x e '=-=->0，()h x 在()0,+∞单调递增 故()()010h x h >=>即0x e x ->所以当()0,2x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减， ()2,x ∈+∞时，()()0,g x g x '>单调递增.故()()2244ln 2 2.744ln 234ln 220444e g x g -----≥=>>> 即2n =时，2ln x e n x x x≤-，对()0,x ∀∈+∞恒成立. 所以存在正整数n ，且n 的最大值为2，满足题意.22.解:（I )曲线2221sin ρθ=+，即222sin 2ρρθ+=， ∵222,sin x y y ρρθ=+=，∴曲线C 的直角坐标方程为2222x y +=即2212x y +=. （2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入2222x y +=并整理得()221sin 2cos 10t t αβ++-=， ∴1212222cos 1,1sin 1sin t t t t ααα-+=-⋅=++， ∴121211MA MB AB t t MA MB MA MB MA MB t t +-+===⋅⋅-⋅， ∵12t t -=，∴2111sin 11sin MA MBαα++==+23.解:（1）当1a =时，不等式()()g x f x ≥即211x x x x +≥++-， 当1x <-时，222,30x x x x x +≥-+≥，∴0x ≥ 或3x ≤-， ∴此时，3x ≤-，当11x -≤≤时，222,0x x x x +≥+≥，∴1x ≥或2x ≤-， ∴此时，1x =，当1x >时，222,0x x x x x +≥-≥，∴1x ≥或0x ≤ 此时，1x >，∴不等式的解集为{3x x ≤-或}1x ≥. （2）()()()()111,,1111,,11,,a x a x a f x ax x a a x a x a a a x a x a ⎧-++-<-⎪⎪⎪=++-=-++-≤≤⎨⎪⎪+-+>⎪⎩若01a <≤则()()2min 1f x f a a ==+，∴2312a +≥，解得:a ≥或a ≤1a ≤≤， 若1a >则()min 11322f x f a a a ⎛⎫=-=+>> ⎪⎝⎭，∴1a >，综上所述，a ≥.。