安徽省滁州市定远县育才学校高二数学下学期第一次月考

安徽省滁州市定远县育才学校2017-2018学年高二数学下学期第一次
月考试题理（普通班）
（本卷满分：150分，时间：120分钟，）
一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)
1.已知集合M∈{1，－2,3)，N∈{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，
则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( )
A． 18 B． 10 C． 16 D． 14
2.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不
能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )
A． 36种 B． 42种 C． 48种 D． 54种
3.从6人中选4人分别到北京、哈尔滨、广州、成都四个城市游览，要求每个城市有一人游
览，每人只游览一个城市，且在这6人中甲、乙不去哈尔滨游览，则不同的选择方案共有（）
A． 300种 B． 240种 C． 144种 D． 96种
4.将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配
方案共有( )
A． 252种 B． 112种 C． 70种 D． 56种
5.若＝6，则m＝( )
A． 9 B． 8 C． 7 D． 6
6.若（n∈N*),且,则
( )
A． 81 B． 16 C． 8 D． 1
7.已知x>0，展开式中的常数项为( )
A． 1 B． C． D．
8.如果展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是( )
A． 7 B．－7 C． 21 D．－21
9.下列所述：①某座大桥一天经过的车辆数X；②某无线电寻呼台一天内收到寻呼次数X；③
一天之内的温度X；④一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用
X表示该射击手在一次射击中的得分．其中X是离散型随机变量的是( )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
10.下列各表中可作为随机变量X的分布列的是( )
A．答案A B．答案B C．答案C D．答案D
11.随机变量X的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，则
P(|X|＝1)＝( )
A． B． C． D．
12.一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球
的个数记为X，则下列概率等于的是( )
A． P(0＜X≤2) B．P(X≤1) C． P(X＝1) D． P(X＝2)
二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)
13.为举办校园文化节，某班推荐2名男生、3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分
别为：乐器1人，舞蹈2人，演唱2人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有
女生参加，则不同的推荐方案的种数为________．(用数字作答)
14.用0，1，2，3,4，5这六个数字，可以组成_______个没有重复数字且能被5整除的五位
数（结果用数值表示）．
15.以下四个式子①；②＝n；③；④.其中
正确的个数是________．
16.随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3，C为常数，则P(0.5<X<2.5)＝
________.
三、解答题(共8小题,每小题12.0分,共96分) 17一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球．
(1)共有多少种不同的取法？
(2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？
(3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？
18.设.求下列各式的值:
(1) (2); (3);
(4).
19.某市A，B，C，D四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：
为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中
学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查．
(1)问A，B，C，D四所中学各抽取多少名学生？
(2)从参加问卷调查的50名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生来自同一所中学的概率；
(3)在参加问卷调查的50名学生中，从来自A，C两所中学的学生当中随机抽取2名学生，用表示抽得A中学的学生人数，求的分布列．
20.安排四名大学生到A，B，C三所学校支教，设每名大学生去任何一所学校是等可能的．(1)求四名大学生中恰有两人去A校支教的概率；
(2)设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．
21.今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量．例如：家居用电的碳排放量(千克)＝耗电度数×0．785，汽车的碳排放量(千克)＝油耗公升数×0．785等．某班同学利用寒假在A，B两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．这两族人数占各自小区总人数的比例P数据如下：
(1)如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；
(2)A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记ξ表示25个人中低碳族人数，求E(ξ)．
22随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元，2万元，1万元，
而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ．
(1)求ξ的分布列；(2)求1件产品的平均利润；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4．73万元．则三等品率最多是多少？
答案
1.【答案】D
【解析】M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2×2个，在第二象限的点共有1×2个．N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2×2个，在第二象限的点共有2×2个．所求不同的点的个数是2×2＋1×2＋2×2＋2×2＝14(个)．
2.【答案】B
【解析】分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第
一位有种排法，其他3个节目有种排法，故有种排法．依排列组合综合问题，
知共有＋＝42(种)编排方案．
3.【答案】B
【解析】分三种情况考虑：(1)甲乙均不参加：；(2)甲乙恰有一人参加：
；(3)甲乙均参加：；所以共有24+144+72=240种不同的
方案.
4.【答案】B
【解析】分两类：甲、乙两个宿舍中一个住4人、另一个住3人或一个住5人、另一个住2人，所以不同的分配方案共有＋＝35×2＋21×2＝112种．
5.【答案】C
【解析】由已知得m(m－1)(m－2)＝6×，解得m＝7，选C.
6.【答案】81
【解析】根据题意,由于（n∈N*),所以2n+6=n+2(舍),2n+6+n+2=20,可知n=4,那么当x=-1时可知等式左边为=81,那么右边表示的为81.
7.【答案】D
【解析】＝＝＝.设其展开式的通项为，则＝，当k＝10时，为常数项．
8.【答案】C
【解析】令x＝1，则＝128＝，∴n＝7，
即求展开式中通项＝
．
令＝－3，得r＝6，即系数为＝21．
9.【答案】B
【解析】根据离散型随机变量的定义，判断一个随机变量是否是离散型随机变量，就是看这一变量的所有取值是否可以一一列出．①②④中的X可能取的值，可以一一列举出来，而③中的X可以取某一区间内的一切值，属于连续型的故选B.
10.【答案】D
【解析】A中0.5＋0.3＋0.4>1，B中－0.3<0，C中0.2＋0.3＋0.4<1.
11.【答案】D
【解析】∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，∴b＝，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝.
12.【答案】B
【解析】本题相当于最多取出1个白球的概率，也就是取到1个白球或没有取到白球．
13.【答案】24
【解析】若参加乐器培训的是女生，则各有1名男生及1名女生分别参加舞蹈和演唱培训，共有3×2×2＝12种方案；若参加乐器培训的是男生，则各有1名男生、1名女生及2名女生分别参加舞蹈和演唱培训，共有2×3×2＝12种方案，所以共有24中推荐方案．
14.【答案】216
【解析】
15.【答案】 4
【解析】①式显然成立；
②式中＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，
所以＝n，故②式成立；
对于③式＝＝，
故③式成立；
对于④式＝＝＝，故④式成立．
16.【答案】
【解析】由P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，得
＝1，解得C＝.
∴随机变量X分布列为：
∴P(0.5<X<2.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)
＝.
17. 【解析】(1)从口袋里的8个球中任取5个球，不同取法的种数是.
(2)从口袋里的8个球中任取5个球，其中恰有一个红球，可以分两步完成：
第一步，从7个白球中任取4个白球，有种取法；
第二步，把1个红球取出，有种取法．
故不同取法的种数是：·＝＝＝35.(8分)
(3)从口袋里任取5个球，其中不含红球，只需从7个白球中任取5个白球即可，不同取法的种数是＝＝21.(12分)
18.【答案】见解析
【解析】(1)因为展开式中的常数项为,
即,或令x=0,则展开式可化为.
(2)令x=1,可得
=.①
所以=-.
(3)令x=-1,可得
=,②
与①联立相减,可得
=
(4)原式=[()+()][()-()]=
()·()==.
19.【答案】(1)应从A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为15,20,10,5;(2);(3)
【解析】(1)由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100，抽取的样本容量与总体个数的比值为.
∴应从A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为15,20,10,5.
(2)设“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取2名学生，这2名学生来自同一所中学”为事件M，
从参加问卷调查的50名学生中随机抽取2名学生的取法共有(种)，
这2名学生来自同一所中学的取法共有＝350(种)．
∴P(M)＝.
故从参加问卷调查的50名学生中随机抽取2名学生，这2名学生来自同一所中学的概率为.
(3)由(1)知，在参加问卷调查的50名学生中，来自A，C两所中学的学生人数分别为15,10. 依题意得，的可能取值为0,1,2，
P(＝0)＝，P(＝1)＝，P(＝2)＝.
∴的分布列为：
20.【答案】见解析
【解析】(1)所有可能的方式有34种，恰有2人到A校的方式有种，从而恰有2人到A 校支教的概率为＝.
(2)ξ的所有可能值为1,2,3.又P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝， P(ξ＝3)＝(或P(ξ＝3)＝)．综上可知，ξ的分布列如下表：
21.【答案】见解析
【解析】(1)记这4人中恰好有2人是低碳族为事件A，
P(A)＝．
(2)设A小区有a人，2周后非低碳族的概率P1＝，
2周后低碳族的概率P2＝1－＝，依题意ξ～B，所以E(ξ)＝25×＝17．22【答案】见解析
【解析】随机变量ξ的所有可能取值有6,2,1，－2；P(ξ＝6)＝＝0．63，P(ξ＝2)＝
＝0．25，P(ξ＝1)＝＝0．1，P(ξ＝－2)＝＝0．02，
故ξ的分布列为：
2)E(ξ)＝6×0．63＋2×0．25＋1×0．1＋(－2)×0．02＝4．34(万元)．
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(ξ)＝6×0．7＋2×(1－0．7－0．01－x)＋1×x＋(－2)×0．01＝4．76－x(0≤x≤0．29)．
依题意，E(ξ)≥4．73，即4．76－x≥4．73，解得x≤0．03．
所以三等品率最多为3%．。