20届高三理科《统概》每日一题及答案汇编

高三理科数学每日一题（统计与概率）及参考解答1.市政府为调查市民对本市某项调控措施的态度，随机抽取了100名市民，统计了他们的月收入频率分布和对该项措施的赞成人数，统计结果如下表所示：百元）该项措施的态度上有何不同；(2)现从样本中月收入在[)10,20和[)60,70的市民中各随机抽取一个人进行跟踪调查，求抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率．【解析】(1)由表知，样本中月收入低于20(百元)的共有5人，其中持赞成态度的共有2人，故赞成人数的频率为52，月收入不低于30(百元)的共有75人，其中持赞成态度的共有64人，故赞成人数的频率为7564， ∵527564>，∴根据样本估计总体的思想可知月收入不低于30(百元)的人群对该措施持赞成态度的比月收入低于20(百元)的人群持赞成态度的比例要高．(2) 将月收入在)20,10[内，不赞成的3人记为321,,a a a ，赞成的2人记为54,a a ，将月收入在)70,60[内，不赞成的1人记为1b ，赞成的3人记为,,,432b b b 从月收入在)20,10[和)70,60[内的人中各随机抽取1人，基本事件总数20=n ，其中事件“抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成”包含的基本事件有),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(1514433323423222413121b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 共11个，∴抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率2011=P .2.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2019年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，所得频率分布直方图如图：（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ，利用该正态分布，求Z 落在()14.55,38.45内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(]10,30内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为11.95σ=≈；若2(,)Z N μσ:，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<≤+=．【解析】（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为．（2）①∵服从正态分布，且，，∴， ∴落在内的概率是．②根据题意得，；；；；． ∴的分布列为∴． 3. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm )．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．x 50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=Z ()2,N μσ26.5μ=11.95σ≈(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=Z ()14.55,38.450.68261~4,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()404110216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()41411124P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()42413228P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()43411324P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()444114216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭X ()1422E X =⨯=第次第次第次第次第次及以上该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下表：次次次次次及以上假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；5.为考查某种疫苗预防疾病的效果,进行动物实验,得到统计数据如下：现从所有试验动物中任取一只,取到“注射疫苗”动物的概率为25． （Ⅰ）求22⨯列联表中的数据,,,x y A B 的值；（Ⅱ）绘制发病率的条形统计图,并判断疫苗是否有效？（Ⅲ）能够有多大把握认为疫苗有效？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【解析】（Ⅰ）设“从所有试验动物中任取一只,取到“注射疫苗”动物”为事件A, 由已知得,所以,,,． 发病率的条形统计图如图所示,由图可以看出疫苗影响到发病率．302()1005y P A +==10y =40B =40x =60A =． 所以至少有%9.99的把握认为疫苗有效.6.在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S 市的A 区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记x 表示在各区开设分店的个数， y 表示这x 个分店的年收入之和．（个） （百万元）（Ⅰ）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程；（Ⅱ）假设该公司在A 区获得的总年利润z （单位：百万元）与x,y 之间的关系为20.05 1.4z y x =--，请结合（Ⅰ）中的线性回归方程，估算该公司应在A 区开设多少个分店，才能使A 区平均每个分店的年利润最大？参考公式：$$y bxa =+$，1122211()()()n ni iiii i nni ii i x y nx y x x yy b x nxx x ====---==--∑∑∑∑$， $ay bx =-$. 【解析】（1）10085)())(()(,4,42112121^=---=--===∑∑∑∑====x x y yx x x n xyx n yx b y x ni ini iini ini iiΘ，6.0^^=-=x b y a ，10000005016.6710.8285020603=≈>⨯⨯O未注射注射∴y 关于x 的线性回归方程6.085.0+=x y .（2），区平均每个分店的年利润，∴时，取得最大值，故该公司应在区开设4个分店，才能使区平均每个分店的年利润最大．7. 某商场对A 商品30天的日销售量y(件)与时间t(天)的销售情况进行整理，得到如下数据，经统计分析，日销售量y(件)与时间t(天)之间具有线性相关关系．时间(天) 日销售量(件)(1)请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y 关于t 的线性回归方程$y bta =+. (2)已知A 商品30天内的销售价格z(元)与时间t(天)的关系为100,(2030,)20,(020,)t t t N z t t t N -+≤≤∈⎧=⎨+<<∈⎩，根据(1)中求出的线性回归方程，预测t 为何值时，A 商品的日销售额最大．参考公式：1221ni ii ni i t y nt ybt nt==-=-∑∑$，$ay bt =-$. 【解析】(1)根据题意，6)108642(51=++++⨯=t ，34)3033323738(51=++++⨯=y ，980301033832637438251=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑=ii i yt ，22010864222222512=++++=∑=i it，所以回归系数为1652203465980)(22121^-=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==t n tyt n yt b ni ini ii，406)1(34^^=⨯--=-=t b y a ， 故所求的线性回归方程为40^+-=t y .20.05 1.4z y x =--=20.050.850.8x x -+-A 0.80.050.85z t x x x ==--+800.0150.85x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭4x =t A A（2）由题意得日销售额为,,3020),40)(100(,200),40)(20(⎩⎨⎧∈≤≤+-+-∈<<+-+=Nt t t t Nt t t t L当N t t ∈<<,200时，900)10(80020)40)(20(22+--=++-=+-+=t t t t t L ， 所以当;90010max ==L t 时，当N t t ∈≤≤,3020时，900)70(4000140)40)(100(22--=+-=+-+-=t t t t t L ， 所以当.160020max ==L t 时，综上所述，预测当20=t 时，A 商品的日销售额最大，最大值为1600元.8.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者123456,,,,,A A A A A A 和4名女志愿者1234,,,B B B B ，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的频率；（Ⅱ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX . 【解析】（I ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ,则185)(51048==C C M P ；(II)由题意知X 可取的值为：4,3,2,1,0，则421)0(51056===C C X P ,215)1(5101446===C C C X P ,2110)2(5102436===C C C X P ,215)3(5103426===C C C X P ,421)4(5104416===C C C X P , 因此X 的分布列为X 的数学期望是0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EX P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯==9.某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理” 的原则，规定参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有A 、B 、C 三家社区医院，并且他们的选择是等可能的、相互独立的.（1）求甲、乙两人都选择A 社区医院的概率； （2）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；（3）设在4名参加保险人员中选择A 社区医院的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望及方差.【解析】（1）设“甲、乙两人都选择社区医院”为时间A ,那么913131)(=⨯=A P ,所以甲、乙两人都选择社区医院的概率为. (2) 设“甲、乙两人选择同一家社区医院”为事件B ，那么313131)(13=⨯⨯=C B P ,所以甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率32)(1)(=-=B P B P . 依题意)31,4(~B ξ，所以812)32()31()(4444k kk k k C C k P --⨯=⨯⨯==ξ.故的分布列为所以的数学期望334)(=⨯=ξE ,方差98)311(34)(=-⨯⨯=ξD .10. 袋中有大小相同的3个红球和2个白球,现从袋中每次取出一个球,若取出的是红球，则放回袋中,继续取一个球,若取出的是白球,则不放回,再从袋中取一球,直到取出两个白球或者取球5次,则停止取球,设取球次数为X .151******** 2.4221212142⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=A A 19ξξ(1)求取球3次则停止取球的概率； (2)求随机变量X 的分布列.【解析】（1）记“取球3次停止”为事件，则； （3）由题意，可能的取值为5,4,3,2，1014152)2(=⨯==X P ;20027)3(==X P ; ;4000549414343524143525341525353)4(=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==X P,40002511)4()3()2(1)5(==-=-=-==X P X P X P X P其分布表如下：11.某销售公司在当地A 、B 两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件 200元，统一零售价每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足食品厂以每件250元补货，若销售有剩余食品厂以每件150元回收.现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了A,B 两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得如下数据：以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率，记X 表示这两家超市毎日共销售食品件数，n 表示销售公司每日共需购进食品的件数. (Ⅰ) 求X 的分布列；(Ⅱ) 以销售食品利润的期望为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？A ()32123127 (554544200)P A =+=X X12. 某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为12，且每个电子元件能否正常工作相互独立.若系统G中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为500元.(Ⅰ)求系统不需要维修的概率；(Ⅱ)该电子产品共由3个系统G组成，设ξ为电子产品需要维修的系统所需的费用，求ξ的分布列与期望；(Ⅲ)为提高G系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p ，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作，问: p 满足什么条件时，可以提高整个G 系统的正常工作概率?【解析】（1）系统不需要维修的概率为2233331111()()2222C C ⋅⋅+⋅=.…………2分 （2）设X 为维修维修的系统的个数，则1(3,)2X B :，且500X ξ=，所以3311(500)()()(),0,1,2,322kk k P k P X k C k ξ-====⋅⋅=.所以ξ的分布列为所以ξ的期望为()50037502E ξ=⨯⨯=.…………………………………………6分 （3）当系统G 有5个电子元件时，原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，G 系统的才正常工作. 若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，则概率为12223113()228C p p ⋅⋅⋅=； 若前3个电子元件中有两个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作，则概率为221222232311113()(1)()(2)22228C C p p C p p p ⋅⋅⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅=-； 若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，系统G 均能正常工作，则概率为33311()28C ⋅=. 所以新增两个元件后系统G 能正常工作的概率为2233131(2)88848p p p p +-+=+， 于是由3113(21)4828p p +-=-知，当210p ->时，即112p <<时，可以提高整个G 系统的正常工作概率.………………………………………………12分13．某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类（不参加课外阅读），B 类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C 类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如下表：（2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加课外阅读与否”与性别有关；（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记为抽取的这3名女生中类人数和C 类人数差的绝对值，求X 的数学期望．附：22()()()()()-=++++n ad bc K a b c d a c b d ，【解析】（1）设抽取的20人中，男，女生人数分别为1n ，2n ，则1201200122000⨯==n ，22080082000⨯==n ，所以12534=--=x ，8332=--=y ；2K 的观测值220(4628)100.159 2.70612814663⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯k ， 所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关； （3）X 的可能取值为0，1，2，3，且311132333819(0)56+===C C C C P X C ， 2121122133322323383(1)7+++===C C C C C C C C P X C ， 21212333383(2)14+===C C C C P X C ，33381(3)56===C P X C ， 从而X 的数学期望为1933151()0123567145656=⨯+⨯+⨯+⨯=E X ．14. 某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位:千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0，30]内，按[0，5]，(5，10]，(10，15]，(15，20]，(20，25]，(25，30]分成6组，其频率分布直方图如图所示.(1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；(2)将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的2⨯2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；(3)调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示:将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的数学期望.15.某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了 100天，这五家“农家乐”的收费标准互不相同，得到的统计数据如下表，x为收费标准(单位:元/日），t为入住天数(单位:天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图.(1)若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记ξ为“入住率”超过0.6的农家乐的个数，求ξ的概率分布列；(2)令x z ln =，由散点图判断a x b y ˆˆˆ+=与a z b y ˆˆˆ+=哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程；( b aˆ,ˆ的结果精确到0.1) (3)根据第(2)问所求的冋归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L 最大? (100天销售额L= 100×入住率×收费标准x ）参考公式：$$y bxa =+$，1122211()()()n ni iiii i nniii i x y nx y x x yy b xnxx x ====---==--∑∑∑∑$， $ay bx =-$. 参考数据： 5.345z ≈，228.57z ≈,521144.24ii z=≈∑，5112.72i i i z y =≈∑，5150e ≈.。