构建数学模型巧解生态系统能量流动的相关计算-中学生物学教学

构建数学模型巧解生态系统能量流动的相关计算
邱苏
生态系统的能量流动计算中有关“至多”和“至少”问题一直是教学中的重点和难点。

学生在解决此类问题时，常常对何时为“至多”何时为“至少”模糊不清，本文将通过数学模型对此类问题进行探讨。

模型构建
生态系统中能量流动的有关计算主要涉及到两个方面的内容：生态系统的相邻营养级之间的传递效率为10%－20%，营养级越高，所获得的能量就越少。

设第一营养级（生产者）所固定的能量为a ，能量传递效率为η，η∈[0.1 , 0.2]，第μ营养级所获得能量为b ：则有：b=a ⨯ημ-1 (以下未知数均用此字母表示)
规律探索
已知较低营养级生物具有的能量（或生物量），求较高营养级生物能够从较低营养级生物获得能量（或生物量）的最大值及最小值.
例1:如图1所示的食物网中，已知戊所固定的能量为Q ，求丁所能获得的能量的最大值和最小值。

设丁所能获得的能量为X
则有：Q Q X 04.01=⨯=-μη η∈[0.1 , 0.2]
据图可知丁所处的营养级为第三营养级和第四营养级，即μ=3或μ=4 当η=0.2 μ=3时，
Q Q X 04.02.013max =⨯=- 当η=0.1 μ=4时， Q Q X 001.01.014min =⨯=-
已知较高营养级生物具有的能量（或生物量），求较低营养级生物需要提供能量（或生物量）的最大值及最小值.
例2:如图2所示的食物网中，已知丙所获得的能量为Q ，求戊需要提供能量的最大值和最小值。

设丙所提供的能量为Y
则有：1-÷=μηQ Y η∈[0.1 , 0.2]
据图可知丙所处的营养级为第四营养级和第五营养级，即μ=4或μ=5 图1 图2
当η=0.1 μ=5时， Q Q Y 100001.015max =÷=-
当η=0.2 μ=4时， Q Q Y 1252.014min
=⨯=- 有此可见，在生态系统的能量流动计算中有关“至多”和“至少”问题可以通过先建立数学模型，然后在数学模型中求最大值和最小值。

经典题例
例3:有一食物网如图3所示，设E 种群干物质量为5.8×109kJ ，B 种群干物
质量为1.3×108kJ ，则A 种群干物质量的值至少是______。

解析：由图可知：E 为第一营养级，B 、C 、D 为第二营养级，A 为第三营养
级，并且只捕食C 和D 。

则有： η⨯=++E D C B )(………………①
η⨯+=)(D C A ………………②
由①可知：B E D C -⨯=+η, 代入②式可知： ηη⨯-⨯=)(B E A η∈[0.1 , 0.2]
当η=0.1时,A 有最小值，代入相应数值有：
7
89105.41.0)103.11.0108.5(⨯=⨯⨯-⨯⨯=KJ KJ A KJ
例4: 有一食物网如图4所示。

假如猫头鹰的食物2/5来自兔子，2/5来自老鼠，其余来自蛇，那么猫头鹰要增加20g 体重，最多消耗植物多少克？
据题意，猫头鹰的食物可来源于三条食物链，直接来源于三种不同的生物：兔、鼠、蛇，如要使其增重20g ，则这种食物食用后必须使其分别增加8g 、8g 、4g 。

这样可得到
消耗植物的质量为m 则： 348822ηηη++=
m η∈[0.1 , 0.2]
当η=0.1时，消耗的植物质量最大，此时
g m 56001.041.081.08322=++=
小结 图3
图4
通过规律探索可知已知较低营养级生物具有的能量（或生物量），求较高营养级生物能够从较低营养级生物获得能量（或生物量）的最大值及最小值时，最大值按最高的传递效率和最短的食物链，最小值则按最低的传递效率和最长的食物链，已知较高营养级生物具有的能量（或生物量），求较低营养级生物需要提供能量（或生物量）的最大值及最小值时，最大值按最低的传递效率和最长的食物链，最小值则按最高的传递效率和最短的食物链。

在经典题例中，我们发现，实际解题中并不需要记住相关规律并生搬硬套，而是通过构建简单的数学模型，然后在数学模型中寻求最大值和最小值，这种解题方法不仅减轻了学生的记忆负担，避免学生因记忆或理解模糊造成的错误，也能培养学生严谨的思维方式，有利于学生从根本上理解能量流动的最值问题。