2020届上海市静安区高三上学期第一次模拟考试数学试题

学习资料分享
[公司地址]
静安区2019学年第一学期教学质量检测
高三数学试卷 2019.12
一、填空题：（本大题12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1.计算lim(10.9)n
n →∞-=_____. 【答案】1
【解析】lim(10.9)n
n →∞-=1 2.双曲线在单位圆中，60o 的圆心角所对的弧长为_____. 【答案】3
π 【解析】23l r π
==
3.若直线1l 和直线2l 的倾斜角分别为32o 和152o 则1l 与2l 的夹角为_____.
【答案】60o
【解析】1801523260-+=o o o o 4.若直线l 的一个法向量为(2,1)n =r ，则若直线l 的斜率k =_____.
【答案】2-
【解析】(2,1)n =r ，则单位向量(1,2)d =-u r ，221
k ==- 5.设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每隔细胞分裂为两个细胞，则7小时后，1个此种细胞将分裂为_____个.
【答案】128
【解析】7
12128⨯=
6.设ABC ∆是等腰直角三角形，斜边2AB =, 现将ABC ∆（及其内部）绕斜边AB 所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为_____. 【答案】
23
π
【解析】22112333r πππ== 7.如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅u u u r u u u r 的值为_____.
【答案】-3
【解析】()()14-3AC BD AB AD AD AB ⋅=+-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
8.三倍角的正切公式为tan 3α=_____.
【答案】 【解析】322tan tan tan 313tan αααα-=-.
9. 设集合A 共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为________.
【答案】2880
【解析】4种类型的矩阵6642880P =
10. 现将函数s e c ,(0,y x x π=∈的反函数定义为正反割函数，记为：sec y arc x =. 则
sec(4)arc -=________.（请保留两位小数）
【答案】1.82 【解析】cos y 1=∂，(0,)x π∈，故可知4cos t 1=-，arccos( 1.824
t 1∴=-≈）. 11. 设双曲线22
2x y a a -=1+1
的两个焦点为2F 1、F ，点P 在双曲线上，若2PF PF 1⊥，则点P 到坐标原点O 的距离的最小值为________.
【解析】22c a a =++1,12a =-时，可知min 2c =. 12. 设0,,0,0a a M N >≠1>>，我们可以证明对数的运算性质如下：log log log log a a a a M N M N a a a MN +==Q ，① log log log a a a MN M N ∴=+.我们将①式称为证明的“关键
步骤”.则证明log log r a a M r M =（其中0,M r R >∈）的“关键步骤”为________.
【答案】log log r a a M r M =
【解析】,log log ()a a M r M r r a
a M ==Q ,log log r a a M r M ∴=.
二、选择题
13. “三个实数,,a b c 成等差数列”是“2b a c =+”的 （ ）
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为三个实数,,a b c 成等差数列”，所以2b a c =+.
14. 设,x y R ∈，若复数x i y i
+-是纯虚数，则点(,)p x y 一定满足 （ ） A .y x = B .y x 1=
C .y x =-
D .y x 1=- 【答案】B 【解析】2221()()()()()()x x i y i xy x y i xy x y i y i y i y i y y y +++-1++-1+===+--++1+1+1，并且1x y i
+-为纯虚数，则0xy -1=，1y x
=. 15.若展开()(2)(3)(4)(5)a a a a a +1++++，则展开式中3a 的系数等于 ( )
A .在23451，
，，，中所有任取两个不同的数的乘积之和； B .在23451，
，，，中所有任取三个不同的数的乘积之和； C .在23451，，，，中所有任取四个不同的数的乘积之和；
D .以上结论都不对.
【答案】A
【解析】由二项式定理可知展开式中3a 的系数等于在23451
，，，，中所有任取两个不同的数的乘积之和. 16.某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21o 方向，且塔顶的仰角为81o ，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处，此时测得塔底位于北偏西39o 方向，则该塔的高度约为 （ ）
A .265米
B .279米
C .292米
D .306米
【答案】C
【解析】000sin 5sin 60cos69tan87292.72811≈o o o o
米.
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在正六棱锥P ABCDEF -中，已知底边为2，侧棱与底面所成角为60︒.
（1）求该六棱锥的体积V ；（2）求证：PA CE ⊥
【答案】（1）12；（2）见解析.
【解析】（1）连接BE 、AD ，设交点为O ，连接PO
P ABCDEF -Q 为正六棱锥
ABCDEF ∴为正六边形
侧棱与底面所成角即PBO ∠
PO ∴=11
1233
V S h ∴=⋅⋅=⋅= （2）PO ⊥Q 面ABCDEF ，CE ⊂面ABCDEF
P O C E ∴⊥
Q 底面为正六边形
A O C E ∴⊥
Q A O P O O
⋂= CE ∴⊥面PAO
Q PA ⊂面PAO
C E P A ∴⊥
18.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）
请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同.
（1）如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD ，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.
（2）如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD ，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.
图1 图2
【答案】（1）1（2）2
【解析】（1）设(01)OA x x =<<，
1OD =Q
AD ∴
2S x ∴=
22
1122x x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭Q
当且仅当x x =
时等号成立 1212S ∴=⋅= （3）椭圆方程为2
21(01)4
x y y +=≤≤ 设()(2cos ,sin )0,C θθθπ∈
22cos sin 2sin 2S θθθ∴=⋅⋅=
当且仅当sin 1θ=，即4π
θ=时取得最大值
面积最大值为2，此时OB =BC .
19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
设}{n a 是等差数列，公差为d ，前n 项和为n S .
（1）设140a =，638a =，求n S 的最大值.
（2）设11a =，*2()n a n b n N =∈，数列}{n b 的前n 项和为n T ，且对任意的*n N ∈，都有20n T ≤，求d 的取值范围.
【答案】（1）2020（2）29-,log 10⎛⎤∞ ⎥⎝
⎦ 【解析】（1）有等差数列可知，1(1)n a a n d =+-⋅，由140a =，638a =可知d =2-5
， 由240(1)05n a n =--≥可得，101n ≤，所以当n =100或者n =101时取得最大值，由公式可知为2020.
（2）设1(1)n a d n =+-，得122(2)n a d d n n b -==⋅，可知}{n b 为等比数列，
Q 对任意的*n N ∈，都有20n T ≤
12lim 201212n d d b T ∴==≤--恒成立且21d < d ∴∈29-,log 10⎛⎤∞ ⎥⎝
⎦
20. （本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）
已知抛物I 的准线方程为02=++y x .焦点为()1,1F .
（1）求证：抛物线上任意一点P 的坐标()y x ,都满足方程：;088222=--+-y x y xy x
（2）请支出抛物线的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；
（3）设垂直于x 轴的直线与抛物线交于B A 、两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
【答案】（1）见解析（2）关于x y =对称1,1--≥≥y x 。

（3）4+=x y （在抛物线内）
【解析】（1）根据定义得：()()⇒-+-=++221122
y x y x ;088222=--+-y x y xy x 啊
（2）将y x ,对称互换方程没有发生变化，若()y x P ,在图像上()x y P ,'也在图像上，所以图像关于x y =对称，()10088222-≥⇒≥∆=-++-y y y x y x ，1-≥x 同
（3）设()()2211,,,y x B y x A ，()4,0
88222+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=t t M y x y xy x t x 所以中点的轨迹方程是4+=x y （在抛物线内）
21. （本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分） 现定义：设a 是非零实常数，若对于任意的D x ∈，都有()()x a f x a f +=-，则称函数()x f y =为“关于的a 偶型函数”
（1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明
（2）设定义域为的“关于的a 偶型函数”在区间()a ,-∞上单调递增，求证在区间()+∞,a 上单调递减
（3）设定义域为R 的“关于
21的偶型函数”()x f y =是奇函数，若*N n ∈，请猜测()n f 的值，并用数学归纳法证明你的结论
【答案】（1）()2cos -=x y 答案不唯一 （2）证明见解析 （3）()0=n f
【解析】（1）()()()()x f x f x x f x x f x y +=-⇒=+-=--=22cos 2),cos()2(2cos ，的
（2）()()()()x f x a f x a f x a f =-⇒+=-2.任取()()a x a x a a x x ,22,,2121∞-∈->-+∞∈<啊因为函数在()a ,-∞单调递增，所以()()()()212122x f x f x a f x a f >⇒->-.所以函数在()+∞,a 上单调递减
（3）猜测()x f y =数学归纳法：
1.当1=n 时()()102121f f x f x f =⇒⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-因为()x f y =是奇函数，所以()01=f 得证 2.假设当()*N k k n ∈=，()0=k f 成立，因为()()x f x f x f x f -=+⇒⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-12121，又因为奇函数所以()()()()x f x f x f x f -=+⇒-=-1，所以当()
*1N k k n ∈+=时，()()01=-=+k f k f ，所以得证。