2021年高三数学专题复习 数列求和及其综合应用检测题

2021年高三数学专题复习数列求和及其综合应用检测题
一、考点解读
1. 掌握数列的求和方法(1) 直接利用等差、等比数列求和公式；(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3) 根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5) 在证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n－1)<n2<n(n＋1)，能用函数的单调性(定义法)来求数列和的最值问题及恒成立问题．
2. 数列是特殊的函数，这部分内容中蕴含的数学思想方法有：函数与方程思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等，高考题中所涉及的知识综合性很强，既有较繁的运算又有一定的技巧，在解题时要注意从整体去把握．
二、课前预习
1. 若数列{a
n }的通项公式是a
n
＝(－1)n－1·(3n－2)，则a
1
＋a
2
＋…＋a
10
＝
________.
2. 已知两个等差数列{a
n }和{b
n
}的前n项和分别为A
n
和B
n
，且
A
n
B
n
＝
7n＋5
n＋3
，则
a
7
b
7
＝
________.
3. 若数列{a
n }满足
a2
n＋1
a2
n
＝p(p为正常数，n∈N*)，则称{a
n
}为“等方比数列”．则
“数列{a n }是等方比数列”是“数列{a n }是等比数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 4. 已知函数f(x)＝x 2＋bx 的图象在点(1，f(1))处的切线与直线6x －2y ＋1＝0平行，
若数列⎩⎪⎨
⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫1
f
n
的前n 项和为S n ，则S 2 012＝________.
三、例题讲解
例1、已知公差不为零的等差数列{a n }中a 1＝2，设a 1、a 3、a 7是公比为q 的等比
数列{b n }的前三项．
(1) 求数列{a n b n }的前n 项和T n ；
(2) 将数列{a n }与{b n }中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n }，设其前n 项和为S n ，求S 2n －n －1－22n －1＋3·2n －1的值．
例2、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知ba n －2n ＝(b －1)S n .
(1) 证明：当b＝2时，{a
n
－n·2n－1}是等比数列；
(2) 求{a
n
}的通项公式．
例3、已知数列{a
n }和{b
n
}满足：a
1
＝1，a
2
＝2，a
n
>0，b
n
＝a
n
a
n＋1
(n∈N*)，且{b
n
}
是以q为公比的等比数列．
(1) 证明：a
n＋2＝a
n
q2；
(2) 若c
n ＝a
2n－1
＋2a
2n
，证明：数列{c
n
}是等比数列；
(3) 求和：1
a
1
＋
1
a
2
＋
1
a
3
＋
1
a
4
＋…＋
1
a
2n－1
＋
1
a
2n
.
例4、将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 …
记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为{b n }，b 1＝a 1＝1. S n 为数列{b n }的前n 项和，且满足
2b n
b n S n －S 2n
＝1(n≥2)．
(1) 证明数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫1S n 成等差数列，并求数列{b n }的通项公式； (2) 上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当a 81＝－4
91
时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．
四、课后练习
1. 已知数列{a
n }的前n项和S
n
满足：S
n
＋S
m
＝S
n＋m
，且a
1
＝1，那么a
10
＝________.
2. 设函数f(x)＝x
x＋2
(x>0)，观察：
f
1(x)＝f(x)＝
x
x＋2
，f
2
(x)＝f(f
1
(x))＝
x
3x＋4
，f
3
(x)＝f(f
2
(x))＝
x
7x＋8
，
f
4(x)＝f(f
3
(x))＝
x
15x＋16
，…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N＋且n≥2时，f
n (x)＝f(f
n－1
(x))＝________.
3. 函数y＝x2(x>0)的图象在点(a
k ，a
k
2)处的切线与x轴的交点的横坐标为a
k＋1
，
其中k∈N*.若a
1＝16，则a
1
＋a
3
＋a
5
的值是________．
4. 已知数列{a
n }满足：a
1
＝m(m为正整数)，a
n＋1
＝
⎩
⎨
⎧a n
2
，当a
n
为偶数时，
3a
n
＋1，当a
n
为奇数时.
若a
6
＝1，则m所有可能的取值为________.
5. 已知数列{a
n }的前n项和为S
n
，且S
n
＝n－5a
n
－85，n∈N*.
(1) 证明：{a
n
－1}是等比数列；
(2) 求数列{S
n }的通项公式，并求出使得S
n＋1
>S
n
成立的最小正整数n.
5
6
15<
1
15
，
5 614>
1 15
6. 设实数数列{a
n }的前n项和S
n
满足S
n＋1
＝a
n＋1
S
n
(n∈N*)．
(1) 若a
1，S
2
，－2a
2
成等比数列，求S
2
和a
3
；
(2) 求证：对k≥3且k∈N*有0≤a
k＋1≤a
k
≤
4
3
.
7. 数列{a
n }、{b
n
}是各项均为正数的等比数列，设c
n
＝
b
n
a
n
(n∈N*)．
(1) 数列{c
n
}是否为等比数列？证明你的结论；
(2) 设数列{lna
n }、{lnb
n
}的前n项和分别为S
n
，T
n
.若a
1
＝2，
S
n
T
n
＝
n
2n＋1
，
求数列{c
}的前n项和．36252 8D9C 趜D38931 9813 頓28299 6E8B 溋27322 6ABA 檺38122 94EA 铪37676 932C 錬O33742 83CE 菎%36421 8E45
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