八年级秋季班-第4讲：一元二次方程的概念及特殊的一元二次方程的解法

➢ 要点一：一元二次方程的概念 1、 一元二次方程的概念
1.1 整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程．
1.2 一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的的整式方程称作一元二次方程． 1
一元二次方程一般式的概念
任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成()200ax bx c a ++=≠的形式，这种形式简称为一元二次方程的一般式．其中2ax 叫做二次项，a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项． 3
一元二次方程的解
能够使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．只含有一个未知数的方程，它的解又叫做方程的根．
知识结构
知识精讲
例题解析
一元二次方程概念及解法
⚫ 类型一：一元二次方程的概念
【例1】下列方程中，哪些是一元二次方程?哪些不是一元二次方程． （1）20x =；
（2）()()33140x x −++=；
（3)()3210x y −−=； （4）4
2=0x x
−；
（521
323
x x −=；
（6）20ax bx c ++=，（a b ，为已知数）； （7）2(3)(2)5x x x +−=+；
（8）2(3)8(3)a x a −=≠．
【难度】★
【答案】（1）、（2）、（5）、（8）是一元二次方程，其余不是一元二次方程．
【知识点拨】（1）、（2）、（5）、（8）化为一般式后满足一元二次方程定义，是一元二次方 程；（3）含有两个未知数，（4）是分式方程，（6）没有强调二次项系数不为0，（7） 化成一般式后，二次项抵消，是一元一次方程．故（3）、（4）、（6）、（7）不是一 元二次方程．
【例2】当k ________时，方程2(3)60k x kx −+=一元二次方程． 【难度】★ 【答案】3k ≠．
【知识点拨】令二次项系数不为0，即30k ，解得：3k ≠ 【举一反三】
1.当m 取何值时，关于x 的方程2
1
232m mx x x mx +−=−+是一元二次方程．
【难度】★★ 【答案】0或－1． 【知识点拨】 整理得：2
1
2(3)20m
mx x m x +−+−−=
① 212m +=时，此时原方程为：2(1)(3)20m x m x −+−−=， 由21210m m ⎧+=⎨−≠⎩
， 解得：1m =−；
② 当211m +=时，此时原方程为：2(23)20x m x −+−−=， 由211m +=，解得：0m =． 综上：10m =−或． 2.若关于x 的方程2
1
(1)54a
a x x +−+=．
（1）方程为一元二次方程，a 的取值是?
（2）方程为一元一次方程，a 的取值是? 【难度】★★
【答案】（1）1a =−； （2）0a =．
【知识点拨】（1）令212
10a a ⎧+=⎨−≠⎩， 解得：1a =−；
（2）令211
150
a a ⎧+=⎨−+≠⎩，解得：0a =．
⚫ 类型二：系数
【例】方程(1)(2)2x x ++=的一般形式是_______，二次项系数是________，常数项是________． 【难度】★
【答案】230x x +=， 1， 0．
【知识点拨】去括号，得：2322x x ++=，移项得：230x x +=，所以二次项系数是1，常数项是0．
⚫ 类型三：一元二次方程的根
【例】写出一个满足条件一次项系数是3−，且有一个根是1−的一元二次方程． 【难度】★
【答案】2340x x −−=等．
【知识点拨】一次项为3x −，二次项系数任意定，再把1x =−代入用常数项配凑． 【举一反三】
1.关于x 方程2(21)350m x mx −++=有一个根是1x =−，求m 的值． 【难度】★ 【答案】4m =．
【知识点拨】将1x =−代入的：(21)350m m −−+=，解得：4m =． 2.关于x 方程20(0)ax bx c a ++=≠满足下列两个等式成立420a b c −+=， 220a b c +=，试求方程的解．
【难度】★★
【答案】1222x x =−=−，
【知识点拨】由2(2)(2)0a b c −+−+=，2(2)(2)0a b c +−+=， 得：原方程的解为：1222x x =−=−，．
3.已知方程2510mx nx −+=和2340mx nx +−=有共同的根2，试求n 的值． 【难度】★★
【答案】21
32
n =．
【知识点拨】把2x =代入得： 20210
4640m n m n −+=⎧⎨+−=⎩
，②×5－①得：32210n −=
解得：21
32
n =．
4.若两个方程20x ax b ++=和20x bx a ++=只有一个公共根，写出a 与b 之间的关系． 【难度】★★ 【答案】1a b +=−．
【知识点拨】设这个公共根是m ，则220
m am b m bm a ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，
将两个方程相减得：()()0a b m b a −+−=， 解得：1m =，
将1m =代入原方程得：1a b +=−．
5.若a 是方程220x x −−=的一个根，则代数式2a a −的值是_______． 【难度】★★ 【答案】2．
【知识点拨】由已知，得：220a a −−=，移项，得：22a a −=． 6.已知a 是方程220000x x −−=的一个根，求代数式2000
32000120001a
+
+
+
的值，用含a 的式子表示．
【难度】★★★ 【答案】2a +．
【知识点拨】由已知，得：220000a a −−=，
两边同时除以a ，得：2000
10a a −−=， 2000
1a a
∴=+
． 2000320001a
∴=+
+
原式20003a =+2000
21a =++
2a =+．
⚫ 类型四：含参数的分类讨论
【例】如果关于x 方程20(0)ax b a +=≠有实数根，试确定a 、b 应满足的关系． 【难度】★★
【答案】a b 、异号或0a =且0b =．
【知识点拨】（1）当0a ≠时，原方程为一元二次方程，当a b 、异号时，原方程有实数根； （2）当0a =时，原方程为等式，当0b =时，原方程有无数解； 综上：当a b 、异号时或0a =且0b =时，原方程有实数根． 【举一反三】
1.已知关于x 的方程32310a b a b x x +−+−=是一元二次方程，求a 、b 的值． 【难度】★★★
【答案】6545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；11a b =⎧⎨=⎩；4565a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；4515a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；25
25a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩
．
【知识点拨】由已知得：
2322a b a b +=⎧⎨−=⎩；2321a b a b +=⎧⎨−=⎩；2320a b a b +=⎧⎨−=⎩；1322a b a b +=⎧⎨−=⎩；0322a b a b +=⎧⎨
−=⎩； 解得：6545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；11a b =⎧⎨=⎩；4565a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；4515a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；25
25a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩
．
小结1
➢ 要点二：特殊的一元二次方程的解法
特殊的一元二次方程的解法
1.1、特殊的一元二次方程的解法主要有两种即直接开平方和因式分解． 1.2、因式分解法的一般步骤： ①将方程右边化为零；
②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； ③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
⚫ 类型一：直接开平方法
【例】解关于x 的方程（用直接开平方方法）：
（1）23
205x −=；
（2）(3)(3)9x x +−=． 【难度】★
【答案】（1）123030
1010
x x =
=−
，；（2）123232x x ==−，． 【知识点拨】（1）23
25
x = （2）299x −=
23
10
x =
218x = 30
10
x =± 32x =± ∴123030
1010
x x ==−
，； ∴123232x x ==−，．
知识精讲
例题解析
【举一反三】 1.解关于x 的方程：2
2432
9x =．
【难度】★★ 【答案】13(32)x −=
，23(32)
x −= 【知识点拨】直接开平方：2(32)3x +=± ①2(32)3x = ②2(32)3x =− 解得：13(32)x −=
，23(32)
x −= ． ⚫ 类型二：因式分解法
【例】解关于x 的方程（因式分解方法）： （1）2350x x =； （2）7(3)39x x x −=−． 【难度】★
【答案】（1）1250x x ==
， （2）123
37x x ==，．
【知识点拨】（1）(35)0x x −= （2）7(3)3(3)x x x −=− ①0x = ②350x = 7(3)3(3)0x x x −−−= ∴125
0x x ==
， (3)(73)0x x −−= ① 30x −= ②730x −=
∴123
37
x x ==，． 【举一反三】
【例15】方程：2331
()()()0442
x x x −+−−=的较小的根是（
） A ．
34
B ．34
−
C ．
12
D ．58
【难度】★ 【答案】A
【知识点拨】提公因式，得：331
()()0442x x x −−+−=，
整理得：35
()(2)044
x x −−=，
∴123548x x ==，，∵35
48
> ，故选择D ．
⚫ 类型三：用合适的方法解方程
【例】填空：
（1）方程2(1)4x −=的根是____________； （2）方程280x x −=的根是____________；
（3）如果方程2()x a k −=有解，那么k _________；其解1x =________；2x =________． 【难度】★
【答案】（1）1231x x ==−，； （2）1208x x ==，； （3）0≥，12x k a x k a =−，． 【知识点拨】（1）直接开平方 （2）因式分解 12x −=± (8)0x x −=
① 12x −= ②12x −=− ①0x = ②80x −=
∴1231x x ==−，； ∴1208x x ==，； （3）由原方程有解得：0k ≥． 直接开平方：x a k −=
① x a k −= ②x a k −=−
∴12x k a x k a ==，． 【举一反三】
1.解关于x 的方程（合适的方法 ）：
（1）211
0464x x −+=；
（2）22(2)(12)x +=． 【难度】★★ 【答案】（1）121
8
x x ==
；（2）121122x x ==−−， 【知识点拨】（1）因式分解法 （2）直接开方法
21
()08x −= 2(12)x ±+
1
08
x −
= ①212x +=+ ②2(12)x −+
∴121
8
x x ==
； ∴121122x x ==−−， 2.解关于x 的方程（合适的方法）： （1）236350x x +−=；
（2）2(41)10(14)240x x −+−−=． 【难度】★★ 【答案】（1）1235136x x =
=−，； （2）12131
44
x x ==−，． 【知识点拨】（1）因式分解法 （2）把41x −看作一个整体，因式分解 (3635)(1)0x x −+= 2(41)10(14)240x x −−−−= ①36350x −= ②10x += (4112)(412)0x x −−−+= ∴1235
136
x x =
=−，； (413)(41)0x x −+= ① 4130x −= ②410x +=
∴12131
44
x x ==−，．
⚫ 类型四：含参数一元二次方程的解法
【例】解关于x 的方程： （1）22220x ax a b −+−=； （2）22222()4()0a b x abx a b −−−−= （3）222210m x mx x mx −+−+=． 【难度】★★★
【答案】 （1）1x a b =+，2x a b =−； （2）当a b ≠时，1a b x a b +=
−，2a b
x a b
−=−+； 当0a b =±≠时， 0x =；
当0a b ==，原方程有无数解；
（3）当01m m ≠≠且时，11x m =，21
1x m =−；
当0m =时，1x =−； 当1m =时，1x =．
【知识点拨】（1）22220x ax a b −+−=， [()][()]0x a b x a b −+−−=，∴1x a b =+，2x a b =−；
（2）①当220a b −≠即a b ≠时，原方程是一元二次方程 22222()4()0a b x abx a b −−−−= [()()][()()]0a b x a b a b x a b −−+++−=
∴1a b x a b +=
−，2a b
x a b
−=−+； ②当220a b −=且0ab ≠时，即0a b =±≠时，原方程是一元一次方程0x =； ③当0a b ==，等式恒成立，原方程有无数解； 综上：当a b ≠时，1a b x a b +=
−，2a b
x a b
−=−+； 当0a b =±≠时， 0x =； 当0a b ==，原方程有无数解；
（3）整理得：22()(12)10m m x m x −+−+=
① 当20m m −≠即01m m ≠≠且时，原方程是一元二次方程
1(1)1
mx m x
−−−
[1][(1)1]0mx m x −−−=
∴11x m =，21
1x m =−；
②当0m =时，原方程为：10x +=，解得：1x =−； ③当1m =时，原方程为：10x −+=，解得：1x =； 综上：当01m m ≠≠且时，11x m
=
，211x m =−；
当0m =时，1x =−； 当1m =时，1x =；
【举一反三】
1.已知关于x 的一元二次方程22(2)320m x x m ++−=的一个根为0，求m 的值． 【难度】★★ 【答案】2m =
【知识点拨】由已知得：20m ≠，即2m ≠ 将0x =代入，得：220m −=
解得：2m =． 又2m ≠ ∴2m =
2.解关于x 的方程：222()(1)()0()a b x a b x a b a b −−−+++=≠． 【难度】★★★
【答案】121
x x a b a b
==+−，．
【知识点拨】∵a b ≠，原方程是一元二次方程；
222
()(1)()0()a b x a b x a b a b −−−+++=≠ [()1][()]0a b x x a b −−−+=
∴121x x a b a b ==+−，．
⚫ 类型五：特殊的一元二次方程的解法
【例】解关于x 的方程： （1）20(0)ax c a −=≠；
（2）2
5||60x x −−=．
【难度】★★★
【答案】（1）当a c 、同号时，12ac ac
x x =
=； 当a c 、异号时，原方程无解； （2）1266x x ==−，．
【知识点拨】（1）移项得：2ax c = （2）把x 看成一个整体，则： ∵0a ≠ 2
560x x −−= ∴2c
x a
=
(6)(1)0x x −+= 当a c 、同号时，12ac ac
x x =； ∵10x +> ∴60x −= 当a c 、异号时，原方程无解； ∴1266x x ==−，． 【举一反三】
1.方程2(2016)2015201710x x −⋅−=的较大的根是a ，方程2201620170x x −−=的较小的根为b ，求代数式
2017()a b +的值．
【答案】0．
【知识点拨】2(2016)2015201710x x −⋅−= 2201620170x x −−=
22
2016(20161)(20161)10x x −−+−= 20171
x x
−
2222016(20161)10x x −−−= (2017)(1)0x x −+=
2(20161)(1)0x x +−=
∴1220171x x b ==−=，；
∴1221
12016x x a =−==，；
∴2017
()0a b +=．
1.如果方程2(1)0x m x m −++=的两个根互为相反数，那么有（ ）． A ．0m = B ．1m =−
C ．1m =
D ．以上结论都不对
小结2
自主巩固（45分钟）
【答案】B
【解析】①当120x x ==时，代入得：0m =，此时方程为：20x x −=， 方程的解为1210x x ==，，前后矛盾；
① 设方程的根为12x a x a ==−，，（0a ≠）代入得：22(1)0
(1)0
a a m m a a m m ⎧−++=⎪⎨+++=⎪⎩
将两个方程相减得：2(1)0a m +=，∵0a ≠， ∴10m +=． 解得：1m =−．
2.若方程20(0)ax bx c a ++=≠中，a b c 、、满足00a b c a b c ++=−+=和，则方程的根是（ ）． A ．1，0
B ．-1，0
C ．1，-1
D ．无法确定
【难度】★★ 【答案】C
【解析】由已知得：2
2
110
(1)(1)0
a b c a b c ⎧++=⎪⎨−+−+=⎪⎩，1211x x ∴==−，，故选择C ．
3.用合适的方法解下列关于x 的方程： （1）2(12)(32)20x x −+=； （2）(7)(3)(1)(5)38x x x x −++−+=； （3）2(35)5(35)40x x +−++=； （4）2220()x ax a a +−=为已知常数． 【难度】★★
【答案】（1）12212x x −=， （2）124242x x ==−； （3）1
241
33x x =−=−，； （4）
122x a x a =−=，． 【解析】（1）2(12)(32)20x x −+=， （2）整理得：22640x −=， [(12)1](2)0x x −=， 232x =，
解得：12212x x ==， 解得：124242x x ==−；
（3）2(35)5(35)40x x +−++= （4） 2220()x ax a a +−=为已知常数
35135
4
x x +−+−
2x a x
a
−
(351)(354)0x x +−+−=， (2)()0x a x a +−=
解得：1241
33
x x =−=−，； 解得：122x a x a =−=，．
4.若1x =是方程22250x x n ++−=的一个根，求n 的值． 【难度】★★ 【答案】2n =
【解析】将1x =代入得：21250n ++−=， 解得：2n =± 5.解关于x 的方程：22222(232)(1)(1)x x a x b ab x −−+−=+． 【难度】★★★
【答案】 ①当2b a b a ≠−≠且时，122,2a b a b
x x a b a b
+−=−=−+−； ②当20b a =−≠时，4
3
x =
； ① 当0b a =≠时，2
3
x =−；
④当0b a ==时，原方程有无数解．
【解析】整理得：222222(2)3(2)0a ab b x a x a ab b −−−−+−=
2a b a
b
−
2a b a
b
−
22(2)()3(2)()0a b a b x a x a b a b +−−−−+=；
①当(2)()0a b a b +−≠时，即2b a b a ≠−≠且时，原方程为一二次方程，
(2)()
()(2)a b x a b a b x a b ++−−−
[(2)()][()(2)]0a b x a b a b x a b +++−−−= 解得：122,2a b a b
x x a b a b
+−=−
=−+−； ②当20b a =−≠时，原方程为22340a x a −+=，解得：4
3
x =
； ③当0b a =≠时，原方程为22320a x a −−=，解得：2
3
x =−；
④当0b a ==时，原方程有无数解；
综上：①当2b a b a ≠−≠且时，122,2a b a b
x x a b a b
+−=−=−+−； ① 20b a =−≠时，43
x =
；
③当0b a =≠时，2
3
x =−；
④当0b a ==时，原方程有无数解．
6.设()21200x x ax bx c a ++=≠、是方程的两根，求3322121212()()()a x x b x x c x x +++++的值． 【难度】★★★ 【答案】0．
【解析】由已知得：211222
0ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，
原式=3232111222()()ax bx cx ax bx cx +++++ =22111222()()x ax bx c x ax bx c +++++ =0．
7.已知实数221428x y x xy y y xy x ++=++=、满足：，，求代数式x y +的值． 【难度】★★★
【答案】67x y +=−或．
【解析】将两个方程相加得：22242x xy y x y ++++= 整理得：2()()420x y x y +++−=
67
x y x y
+−+
(6)(7)0x y x y +−++= 解得：67x y +=−或． 8.当m 、n 为何值时，关于x 的方程2
1
2(1)230m n m x x +−−++=是一元二次方程．
【难度】★★★
【答案】14m n =⎧⎨=⎩；13m n =−⎧⎨=⎩；12m n =−⎧⎨=⎩
；0
4m n =⎧⎨=⎩．
【解析】由已知得：
2122210m n m ⎧+=⎪−=⎨⎪+≠⎩；2122110m n m ⎧+=⎪−=⎨⎪−≠⎩；212
2010
m n m ⎧+=⎪
−=⎨⎪−≠⎩
；21122m n ⎧+=⎨−=⎩；21022m n ⎧+=⎨−=⎩；
解得：14m n =⎧⎨=⎩；13m n =−⎧⎨=⎩；12m n =−⎧⎨=⎩
；0
4m n =⎧⎨=⎩；（第五个方程组无解）
9.解关于x 的一元二次方程：22(2016)(2015)1x x −+−=． 【难度】★★★
【答案】1220162015x x ==，．
【解析】移项，得：22(2016)1(2015)x x −=−−，
2(2016)[1(2015)][1(2015)]x x x −=+−−−， 2(2016)(2014)(2016)x x x −=−−， 2(2016)(2014)(2016)0x x x −−−−=， (2016)(40302)0x x −−=， 解得：1220162015x x ==，．
11.已知：若2242350a a b b c −+−+−=成立，求方程20ax bx c +=的解． 【难度】★★★
【答案】123
12
x x =−=，．
【解析】由已知，得：22(2)(1)30a b c −+−+−=，∴213a b c ===，，． 则原方程为：2230x x +−=，分解因式，得： (23)(1)0x x +−=． 解得原方程的解为：123
12
x x =−=，．
12.已知关于x 的方程20ax bx c ++=,20bx cx a ++=和20cx ax b ++=有一个公共根，求证：这个公共根只能是1． 【难度】★★★ 【答案】略．
【解析】设这个公共根是m ，则222
000
am bm c bm cm a cm am b ⎧++=⎪
++=⎨⎪++=⎩
将三个方程相加得：2()()()0a b c m a b c m a b c ++++++++=， 则2()(1)0a b c m m ++++=．
∵2213
1()024
m m m ++=++>，
∴0a b c ++=， 即2110a b c ++=， ∴这个公共根只能是1．。