湘教版高考数学一轮总复习课后习题 课时规范练79 随机事件的概率与古典概型

课时规范练79 随机事件的概率与古典概型
基础巩固练
1.某人在打靶中,连续射击2次,至多有一次中靶的对立事件是( )
A.至少有一次中靶
B.两次都中靶
C.两次都不中靶
D.恰有一次中靶
2.一批瓶装纯净水,每瓶标注的净含量是550 mL,现从中随机抽取10瓶,测得各瓶的净含量为(单位:mL):
542 548 549 551 549 550 551 555 550 557
若用频率分布估计总体分布,则该批纯净水每瓶净含量在547.5 mL~552.5 mL之间的概率估计为( )
A.0.3
B.0.5
C.0.6
D.0.7
3.(新高考Ⅰ,5)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为( )
A.1
6B.1
3
C.1
2
D.2
3
4.已知随机事件A,B,C中,A与B互斥,B与C对立,且P(A)=0.3,P(C)=0.6,则P(A∪B)=( )
A.0.3
B.0.6
C.0.7
D.0.9
5.(广东东莞模拟)“春雨惊春清谷天,夏满芒夏暑相连,秋处露秋寒霜降,冬雪雪冬小大寒,每月两节不变更,最多相差一两天.”中国农历的“二十四节气”,凝结着中华民族的智慧,是中国传统文化的结晶,如五月有立夏、小满,六月有芒种、夏至,七月有小暑、大暑,现从五月、六月、七月的六个节气中任选两个节气,则这两个节气不在同一个月的概率为( )
A.4
5B.1
2
C.1
5
D.1
10
A.对于任意事件A,都有P(A)>0
B.必然事件的概率为1
C.如果事件A与事件B互斥,那么一定有P(A)+P(B)=1
D.若A,B是一个随机试验中的两个事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
7.(多选题)已知某养老院75岁及以上的老人占60%.75岁以下的老人中,需要有人全天候陪同的占10%;75岁及以上的老人中,需要有人全天候陪同的占30%.如果从该养老院随机抽取一位老人,则以下结论中正确的是( )
A.抽到的老人年龄在75岁以下的概率为35%
B.抽到的老人需要有人全天候陪同的概率为22%
C.抽到的老人年龄在75岁以下且需要有人全天候陪同的概率为4%
D.抽到的老人年龄大于等于75岁且不需要有人全天候陪同的概率为40%
8.某学校门口现有2辆共享电动单车,8辆共享自行车.现从中一次性随机租用3辆,则恰好有2辆共享自行车被租用的概率为.
9.据浙江省新高考规则,每名同学在高一学期结束后,需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科,还需要从生物学、技术这两门理科学科和思想政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门,设事件E=“选择生物学学科”,F=“选择一门理科学科”,G=“选择政治学科”,H=“选择一门文科学科”,现给出以下四个结论:
①G和H是互斥事件但不是对立事件;
②F和H是互斥事件也是对立事件;
③P(F)+P(G)=1;
④P(E∪H)=P(E)+P(H).
其中,正确结论的序号是.(请把你认为正确结论的序号都写
上)
10.(黑龙江佳木斯模拟)学校安全工作事关学生的健康成长,关系到千万个家庭的幸福和安宁,关系到整个社会的和谐稳定.为了普及安全教育,某市准备组织一次安全知识竞赛.某学校为了选拔学生参赛,按性别采用分
层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试,根据200名同学的测试成绩得到如下表格:
(1)现从得分超过85分的学生中根据性别采用分层抽样抽取6名学生进行安全知识培训,再从这6名学生中随机抽取3名学生去市里参加竞赛,求这3名学生中至少有一名女生的概率;
(2)根据上述数据,有多大把握认为该校学生了解安全知识的程度与性别之间有关系?
附:参考公式χ2=n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
,其中n=a+b+c+d.
综合提升练
11.从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形,则所得三角形是直角三角形的概率为( )
A.3
10B.1
2
C.3
5
D.9
10
12.(河北邢台模拟)为了进一步提升员工素质,某公司人力部门从本公司2 600名一线员工中随机抽取100人,进行理论知识和实践技能两项测试(每项测试结果均分为A,B,C三等),取得各等级的人数如下表:
已知理论知识测试结果为A的共40人.在参加测试的100人中,从理论知识测试结果为A或B,且实践技能测试结果均为C的人中随机抽取2人,则这2人理论知识测试结果均为A的概率是( )
A.3
5B.2
5
C.1
2
D.3
4
13.有5个形状大小相同的球,其中3个红色、2个蓝色,从中一次性随机取2个球,则下列说法正确的是( )
A.“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件
B.“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件
C.“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率
D.“至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率
14.已知甲、乙、丙、丁四位高三学生拍毕业照,这四位同学排在同一行,则甲、乙两位学生相邻的概率为.
.现有15.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为1
7
甲、乙两人从袋中轮流取球,甲先取,乙后取,然后甲再取,……,取后不放回,直到两人中有1人取到白球时终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.
(1)求袋中原有白球的个数;
(2)求取球2次即终止的概率;
(3)求甲取到白球的概率.
创新应用练
16.已知(2x+
√x
)n(n∈N+)的展开式中只有第4项的二项式系数最大,现从展开式中任取2项,则取到的项都是有理项的概率为( )
A.2
7B.3
7
C.1
4
D.3
8
17.(山东烟台模拟)已知集合U={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20},若从U的所有子集中,等可能地抽取满足条件“A∪B=U,A∩B=⌀”和“若x∈A,则22-x∈B”的两个非空集合A,B,则集合A中至少有三个元素的概率为( )
A.4
43B.7
32
C.96
121
D.117
256
课时规范练79 随机事件的概率与古典概型
1.B 解析某人在打靶中,连续射击2次的所有可能结果为:
①第一次中靶,第二次中靶;②第一次中靶,第二次未中靶;
③第一次未中靶,第二次中靶;④第一次未中靶,第二次未中靶.
至多有一次中靶包含了②③④三种可能结果,故其对立事件为①,即两次都中靶.
2.D 解析从数据可知,在随机抽取的10瓶水中,净含量在
547.5mL~552.5mL之间的瓶数为7,频率为7
10
=0.7,以样本频率估计概率,可知该批纯净水每瓶净含量在547.5mL~552.5mL之间的概率估计为0.7.
3.D 解析从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,共有C72=21种不同的取法,若两数不互质,则不同的取法有
(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7种,故所求概率
P=21-7
21=2
3
.故选D.
4.C 解析因为P(C)=0.6,事件B与C对立,所以P(B)=1-0.6=0.4,又
P(A)=0.3,A与B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7.
5.A 解析由题意,从五月、六月、七月的六个节气中任选两个节气,∴样本点有C62=15个,其中任取两个在同一个月的有3个,∴这两个节气不在同
一个月的概率为P=1-3
15=4
5
.
6.BD 解析对于A,对于任意事件A,都有P(A)≥0,故A错误;
对于B,必然事件的概率为1,显然正确,故B正确;
对于C,如果事件A与事件B对立,那么一定有P(A)+P(B)=1,但互斥事件不一定对立,故C错误;
对于D,若A,B是一个随机试验中的两个事件,则P(A∪
B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)正确,故D正确.故选BD.
7.BC 解析不妨设共有100名老人,则根据题意可作出如下表格:
所以如果从该养老院随机抽取一位老人,抽到的老人年龄在75岁以下的概率为40%,故A错误;抽到的老人需要有人全天候陪同的概率为22%,故选项B正确;抽到的老人年龄在75岁以下且需要有人全天候陪同的概率为
4%,故选项C 正确;抽到的老人年龄在75岁及以上且不需要有人全天候陪同的概率为42%,故选项D 错误,故选BC.
8.7
15 解析恰好有2辆共享自行车被租用的概率为P=
C 82C 2
1C 10
3=
28×2120
=
7
15
.
9.②④ 解析事件H=“选择一门文科学科”,包含“选择思想政治学科”“选择历史学科”“选择地理学科”,所以事件G=“选择思想政治学科”,包含于事件H,故事件G,H 可以同时发生,不是互斥事件,故①错误;
事件F=“选择一门理科学科”,与事件H=“选择一门文科学科”,不能同时发生,且必有一个事件发生,故F 和H 是互斥事件也是对立事件,故②正确;
由题意可知P(F)=2
5
,P(G)=1
5
,所以P(F)+P(G)=3
5
≠1,故③错误;
事件E=“选择生物学学科”,与事件H=“选择一门文科学科”,不能同时发生,故E 和H 是互斥事件,所以P(E ∪H)=P(E)+P(H),故④正确. 10.解(1)200名学生中得分超过85分的人数为150人,其中男生人数为100人,女生人数为50人,因此按性别进行分层抽样得: 样本中男生人数为
100150
×6=4人,样本中女生人数为
50
150
×6=2人,
设这3名学生中有至少一名女生为事件A,则P(A)=1-
C 43C 2
0C 6
3=1-15
=4
5
.
(2)统计假设为H0:了解安全知识的程度与性别无关.由表可
得,χ2=200×(20×50-30×100)2
120×80×50×150=100
9
≈11.11>10.828,
故至少有99.9%的把握可以认为性别与了解安全知识的程度有关.
11.C 解析
不妨以点A为例,以点A为其中一个顶点的三角形有△ABC,△ABD,△ABE,△ABF,△ACD,△ACE,△ACF,△ADE,△ADF,△AEF,共10个,其中直角三角形为△ABD,△ABE,△ACD,△ACF,△ADE,△ADF,共6个,故所得三角形是直
角三角形的概率为6
10=3
5
.
12.B 解析由题知理论知识测试结果为A,且实践技能测试结果为C的有4人,理论知识测试结果为B,且实践技能测试结果为C的有2人,所以所求
概率为P=6
15=2
5
.
13.C 解析当取出的两球为一红一蓝时,可得“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”均发生,即A错误;当取出的两球为一红一蓝时,可得“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”均发生,即B错误;记“至少取到1个红球”为事件A,“至少取到1个蓝球”为事件B,“至多取到1个红球”为事件C,“至多取到1个蓝球”为事件D,故
P(A)=
C 32+C 31C 2
1C 5
2=
910
,P(B)=
C 22+C 31C 2
1C 5
2=
7
10
,P(C)=
C 22+C 31C 2
1C 5
2=
710
,P(D)=
C 32+C 31C 2
1C 5
2=
910
,显然P(A)>P(B),P(C)<P(D),即C 正确,D 错误.
14.12
解析四位同学排列,共有A 44=24种不同排法,若甲、
乙两位学生相邻,共有A 22A 33
=12种不同排法,所以甲、乙两位学生相邻的概率P=
1224
=1
2
.
15.解(1)设袋中原有n(0<n<7)个白球,从袋中任取2个球都是白球有C n 2=n (n -1)2
(种)结果,从袋中任取2个球共有C 72
=21(种)结果.
由题意知17
=
n (n -1)
2
21
=
n (n -1)42
,所以n(n-1)=6,解得n=3或n=-2(舍去),即袋
中原有3个白球.
(2)记“取球2次即终止”为事件A,则P(A)=
C 41C 3
1A 7
2=2
7
.
(3)记“甲取到白球”为事件B.“第i 次取到白球”为事件
A i ,i=1,2,3,4,5.因为甲先取,所以甲只能在第1次,第3次和第5次取球.所以P(B)=P(A 1∪A 3∪A 5)=P(A 1)+P(A 3)+P(A 5)=
C 31C 7
1+
A 42C 3
1A 7
3+
A 44C 3
1A 7
5=37
+
635
+
135
=
2235
.
16.A 解析因为展开式中只有第4项的二项式系数最大,所以展开式的总
项数为7项,故n=6,展开式的通项为T r+1=C 6r
(2x)6-r (√x
)
r =
C 6r 26-r x 6-3
2r ,当r
是偶数时该项为有理项,所以r=0,2,4,6,有4项,所以从展开式中任取2项,都是有理项的概率为P=
C 42C 7
2=2
7
.
17.C 解析由A ∪B=U,A∩B=⌀可得A,B 中没有重复数字,由x ∈A,则22-x ∈B 可得A,B 不为空集,且可将U 中10个数字分为5组,分别为2或20,4或18,6或16,8或14,10或12,且每组数中的一个数如果在集合A 中,另一个必在集合B 中,所以集合A 中元素的个数小于等于集合B 中元素的个数,所以集合A 中元素的个数可能为1,2,3,4,5,所以集合A 的可能的个数
为C 101+C 52(C 21)2
+C 53(C 21)3
+C 54(C 21)4
+C 55(C 21
)5
=242,所以
P=1-C 101+C 52(C 21
)
2
242
=
96121
.。