人教A高中数学选修21作业：第3章 空间向量与立体几何34 含解析

第三章
3.4
考点
对应题号
基础训练 能力提升 1.几何中的最值问题 1,4,5 6,12 2.用料最少、费用最低问题 7,8,10 3.利润最大、效率最好问题
2,3,9
11,13
一、选择题
1．有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积是( ) A ．32 m 2 B ．14 m 2 C ．16 m 2
D ．18 m 2
C 解析 设矩形的长为x m ，则宽为(8－x )m ，矩形面积为S ＝x (8－x )(0＜x ＜8)．令S ′＝8－2x ＝0，得x ＝4，此时S 最大＝42＝16 m 2.
2．已知某生产厂家的利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13
x 3
＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件
D ．7万件
C 解析 因为y ′＝－x 2＋81，所以当x ＞9时，y ′＜0；当0＜x ＜9时，y ′＞0.所以函数y ＝－1
3x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增．所以x ＝9是函数的
极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x ＝9处取得最大值．
3．在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y 分钟与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数表示：y ＝－18t 3－34t 2＋36t －6294，则在这段时间内，通过该路段用时
最多的时刻是( )
A ．6时
B ．7时
C ．8时
D ．9时
C 解析 y ′＝－38t 2－32t ＋36＝－3
8(t ＋12)(t －8)，令y ′＝0，得t ＝－12(舍去)或t ＝8，
当6≤t <8时，y ′>0，当8<t ≤9时，y ′<0，所以当t ＝8时，y 有最大值．
4．把长为12 cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( )
A ．332 cm 2
B ．4 cm 2
C ．3 2 cm 2
D ．2 3 cm 2
D 解析 设两段长分别为x cm ，(12－x )cm ，这两个正三角形的边长分别为x
3 cm ，12－x 3
cm ，
面积之和为S (x )＝34⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫x 32＋
⎝⎛
⎭⎫4－x 32 ＝
34⎝⎛⎭⎫29
x 2－8x
3＋16，
令S ′(x )＝
34⎝⎛⎭
⎫
49x －83＝0，解得x ＝6， 则x ＝6是S (x )的极小值点，也是最小值点， 故S (x )min ＝S (6)＝2 3 cm 2.
5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为( ) A ．
3
3
cm B ．1033 cm
C ．1633
cm
D ．2033
cm
D 解析 设圆锥的高为x cm ，则底面半径为202－x 2 cm ，其体积V ＝1
3
πx (202－
x 2)(0<x <20)，
V ′＝1
3π(400－3x 2)，令V ′＝0，
解得x 1＝2033，x 2＝－203
3
(舍去)．
当0<x <2033时，V ′>0；当203
3<x <20时，V ′<0.
所以当x ＝203
3
时，V 取得最大值．
6．一张1.4 m 高的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼睛1.8 m ，要使观察者观察得最清晰，他与墙的距离应为( )
A ．2.4 m
B ．2.3 m
C ．3.5 m
D ．2.7 m
A 解析 如图所示，设OD ＝x m ，∠ADO ＝β，∠BDO ＝γ，α为视角，则α＝γ－β， 又OA ＝1.8 m ，A
B ＝1.4 m ， 所以tan γ＝3.2x ，tan β＝1.8
x ，
tan α＝tan(γ－β)＝tan γ－tan β
1＋tan γtan β
＝ 3.2x －1.8x 1＋
3.2×1.8x 2
＝ 1.4x x 2＋5.76(x >0)，
令(tan α)′＝1.4(x 2＋5.76)－2x ×1.4x
(x 2＋5.76)2＝0，
解得x ＝2.4或x ＝－2.4(舍去)．
当0<x <2.4时，(tan α)′>0；当x >2.4时，(tan α)′<0. 所以当x ＝2.4时，tan α取得最大值，α也取得最大值． 二、填空题
7．某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________．
解析 设平行于墙壁的一边为a 米，与其垂直的一边为b 米，则ab ＝512，且l ＝a ＋2b ，所以l ＝2b ＋512b ，所以l ′＝2－512
b 2，令l ′＝0，得b 2＝256，所以b ＝16(b ＝－16舍去)，a
＝32，即当长、宽分别为32米、16米时墙壁所用的材料最省．
答案 32米和16米
8．某公司一年购买某种货物400吨，每次购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 为________吨．
解析 设该公司一年内总共购买n 次货物，则n ＝400
x ，所以总运费与总存储费之和f (x )
＝4n ＋4x ＝1 600
x
＋4x ，
令f ′(x )＝4－1 600
x 2＝0，解得x ＝20(x ＝－20舍去)，
当0<x <20时，f ′(x )<0；当20<x ≤400时，f ′(x )>0.
所以x ＝20是函数f (x )的极小值点，也是最小值点， 故当x ＝20时，总运费与总存储费之和最小． 答案 20
9．某厂生产某种产品x 件的总成本C (x )＝1 200＋2
75x 3，又产品单价的平方与产品件数
x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为________．
解析 设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝250 000，a ＝500x
.
总利润y ＝500x －275x 3－1 200(x >0)，y ′＝250x －2
25
x 2，由y ′＝0得x ＝25.当x ∈(0,25)时，y ′>0；
当x ∈(25，＋∞)时，y ′<0.所以当x ＝25时，y 取最大值． 答案 25件 三、解答题
10．有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，试问：供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？
解析 如图所示，依题意，点C 在线段AD 上，设点C 距点D x km ，则AC ＝50－x ，因为BD ＝40，所以BC ＝
BD 2＋CD 2＝
402＋x 2.设总的水管
费用为y 元，
则y ＝3a (50－x )＋5a x 2＋402(0＜x ＜50)， y ′＝－3a ＋
5ax x 2＋402
.
令y ′＝0，解得x 1＝30，x 2＝－30(舍去)．当0＜x ＜30时，y ′＜0；当30＜x ＜50时，y ′＞0.所以当x ＝30时，y 取得最小值，此时AC ＝50－30＝20(km)，即供水站建在A ，D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省．
11．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10 km ，
燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，求这艘轮船在以何种速度航行时，能使航行1 km 的费用总和最小．
解析 设船速为x (x ＞0)，航行1 km 的费用总和为y ，设每小时燃料费为y 1，则y 1＝kx 3(k ≠0)，因为x ＝10时，y 1＝6，所以k ＝3500，y 1＝3500x 3.y ＝⎝⎛⎭⎫3500x 3＋96·1x ＝3500x 2＋96x (x ＞0)．因为y ′＝6500x －96
x
2，令y ′＝0，解得x ＝20.
当0＜x ＜20时，y ′＜0，此时函数为减函数；当x ＞20时，y ′＞0，此时函数为增函数．所以当x ＝20时函数有最小值36
5，即以每小时20 km 的速度航行时，航行1 km 的费用
总和最小．
12．(2016·江苏卷节选)现需要设计一个仓库，它由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？
解析 设A 1B 1＝a m ，PO 1＝h m ，则0＜h ＜6，O 1O ＝4h m ．连接O 1B 1.
因为在Rt △PO 1B 1中，O 1B 21＋PO 21＝PB 21
， 所以⎝⎛
⎭
⎫2a 22
＋h 2＝36，即a 2＝2(36－h 2)． 于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝26
3(36h －h 3)，0＜h ＜6，从而V ′
＝26
3
(36－3h 2)＝26(12－h 2)． 令V ′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍去)． 当0＜h ＜23时，V ′＞0，V 是增函数；
当23＜h ＜6时，V ′＜0，V 是减函数． 故当h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值． 所以当PO 1＝2 3 m 时，仓库的容积最大． 四、选做题
13．工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x (单位：万件)间的关系为p ＝
⎩⎨⎧
1
6－x
，0＜x ≤c ，2
3，x ＞c ，
(c 为常数，且0<c <6)．已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1
件次品亏损1.5元．
(1)将日盈利额y (单位：万元)表示为日产量x (单位：万件)的函数；
(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝次品数
产品总数×100%)
解析 (1)当x >c 时，p ＝23，y ＝⎝⎛⎭⎫1－23·x ·3－23·x ·32＝0；当0<x ≤c 时，p ＝16－x
，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16－x ·
x ·3－16－x ·x ·32＝3(9x －2x 2
)
2(6－x )
. 所以日盈利额y (万元)与日产量x (万件)的函数关系为y ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
3(9x －2x 2
)
2(6－x )，0<x ≤c ，
0，x >c
(c
为常数，且0<c <6)．
(2)由(1)知，当x >c 时，日盈利额为0. 当0<x ≤c 时，因为y ＝3(9x －2x 2)
2(6－x )
，
所以y ′＝32·(9－4x )(6－x )＋9x －2x 2
(6－x )2＝3(x －3)(x －9)
(6－x )2
.
令y ′＝0，得x ＝3或x ＝9(舍去)．
所以①当0<c <3时，y ′>0，所以y 在区间(0，c ]上单调递增，所以y 最大值＝f (c )＝3(9c －2c 2)
2(6－c ).
②当3≤c <6时，在(0,3)上，y ′>0，在(3，c )上，y ′<0，所以y 在(0,3)上单调递增，在
(3，c )上单调递减，所以x ＝3时，y 最大值＝9
2
.
综上，若0<c <3，则当日产量为c 万件时，日盈利额最大；若3≤c <6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大．。