考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷7(题后含答案及解析)

考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷7(题后含答案及解
析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．微分方程yˊˊ－6yˊ+8y=ex+e2x的一个特解应具有形式(其中a，b为常数) ( )
A．aex+be2x
B．aex+bxe2x
C．axex+be2x
D．axex+bxe2x
正确答案：B
解析：由原方程对应齐次方程的特征方程r2－6r+8=0得特征根r1=2，r2=4．又f1(x)=ex，λ=1非特征根，对应特解为y1*=aex；f2(x)=e2x，λ=2为特征单根，对应特解为y2*=bxe2x．故原方程特解的形式为aex+bxe2x，选(B)．知识模块：常微分方程与差分方程
2．微分方程yˊˊ+2yˊ+2y=e－xsinx的特解形式为( )
A．e－x(Acosx+Bsinx)
B．e－x(Acosx+Bsinx)
C．xe－x(Acosx+Bsinx)
D．e－x(Axcosx+Bsinx)
正确答案：C
解析：特征方程r2+2r+2=0即(r+1)2=－1，特征根为r1，2=－1±i，而λ±iw=－1±i是特征根，特解y*=xe－x(Acosx+Bsinx)．知识模块：常微分方程与差分方程
3．微分方程yˊ+=0的通解是( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：原方程写成yyˊ+=0，分离变量有ydy+e3xdx=0．积分得2e3x－3=C，
其中C为任意常数．知识模块：常微分方程与差分方程
4．微分方程yˊˊ－4yˊ+4y=x2+8e2x的一个特解应具有形式(a，b，c，d 为常数) ( )
A．ax2+bx+ce2x
B．ax2+bx+c+dx2e2x
C．ax2+bx+cx e2x
D．ax2+(bx2+cx)e2x
正确答案：B
解析：对应特征方程为r2－4r+4=0，特征根是r1，2=2．而f1=x2，λ1=0非特征根，故y1*=ax2+bx+c．又f2=8e2x，λ2=2是二重特征根，所以y2*=dx2e2x．y1*与y2*合起来就是特解，选(B)．知识模块：常微分方程与差分方程
5．微分方程yˊˊ+yˊ+y=的一个特解应具有形式(其中a，b为常数) ( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：特征方程r2+r+1=0，特征根为r1，2=．而f(x)=，λ±iw=是特征根，所以特解的形式为y*= 知识模块：常微分方程与差分方程
6．微分方程yˊˊ+2yˊ+y=shx的一个特解应具有形式(其中a，b为常数) ( )
A．ashx
B．achx
C．ax2e－x+bex
D．axe－x+bxx
正确答案：C)
解析：特征方程为r2+2r+1=0，r=－1为二重特征根，而f(x)=shx=，故特解为y*=ax2e－x+bex．知识模块：常微分方程与差分方程
填空题
7．微分方程(6x+y)dx+xdy=0的通解是_________．
正确答案：3x2+xy=C，其中C为任意常数
解析：原方程兼属一阶线性方程、齐次方程、全微分方程．原方程可写为6xdx+ydx+xdy=0，有d(3x2+xy)=0，积分得通解3x2+xy=C，其中C为任意常数．知识模块：常微分方程与差分方程
8．微分方程+6y=0的通解是_________．
正确答案：y=C1e3x+C2e2x，其中C1，C2为任意常数
解析：原方程是二阶常系数齐次线性微分方程．其特征方程为r2－5r+6=0，即(r－3)(r－2)=0．解出特征根r1=3，r2=2，即得上述通解．知识模块：常微分方程与差分方程
9．微分方程+y=1的通解是_________．
正确答案：y=(C1+C2x)ex+1，其中C1，C2为任意常数
解析：原方程为二阶常系数非齐次线性微分方程．其通解为y=y齐+y*，其中y齐是对应齐次方程的通解，y*是非齐次方程的一个特解．因原方程对应齐次方程的特征方程为r2－2r+1=0，即(r－1)2=0，特征根为r1，2=1．故y齐=(C1+C2x)ex，其中C1，C2为任意常数．又据观察，显然y*=1与y齐合并即得原方程通解．知识模块：常微分方程与差分方程
10．微分方程的通解_________包含了所有的解．
正确答案：不一定
解析：例如方程(y2－1)dx=(x－1)ydy，经分离变量有，积分得通解y2－1=C(x －1)2，但显然方程的全部解还应包括y=±1和x=1(实际上在分离变量时假定了y2－1≠0，、x－1≠0)．知识模块：常微分方程与差分方程
11．微分方程(y2+1)dx=y(y－2x)dy的通解是_________．
正确答案：x=，其中C为任意常数
解析：原方程化为．由通解公式得知识模块：常微分方程与差分方程
12．设一阶非齐次线性微分方程yˊ+p(x)y=Q(x)有两个线性无关的解y1，y2，若αy1+βy2也是该方程的解，则应有α+β=________．
正确答案：1
解析：由yˊ1+P(x)y1=Q(x)及yˊ2+P(x)y2=Q(x)得(αy1+βy2)ˊ+P(x)(αy1+βy2)=(α+β)Q(x)．又因αy1+βy2满足原方程，故应有(α+β)Q(x)=Q(x)，即α+β=1．知识模块：常微分方程与差分方程
13．微分方程yˊˊ－7yˊ=(x－1)2由待定系数法确定的特解形式(系数的值不必求出)是________．
正确答案：y*=x(Ax2+Bx+C)
解析：原方程对应齐次方程的特征方程为r2－7r=0，特征根r1=7，r2=0．而f(x)=x2－2x+1，λ=0是特征根，所以特解如上所答．知识模块：常微分方程与差分方程
14．以y=cos2x+sin2x为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是_________．
正确答案：yˊˊ+4y=0
解析：由特解y=cos2x+sin2x知特征根为r1，2=±2i，特征方程是r2+4=0，其对应方程即yˊˊ+4y=0．知识模块：常微分方程与差分方程
15．微分方程=0的通解是_________．
正确答案：y=C1+C2x+C3x2+C4e－3x，其中C1，C2，C3，C4为任意常数解析：特征方程，r4+3r3=0，即r3(r+3)=0．故通解如上．知识模块：常微分方程与差分方程
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．求微分方程yˊˊ+4yˊ+4y=e－2x的通解．
正确答案：特征方程r2+4r+4=0的根为r1=r2=－2．对应齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e－2x．设原方程的特解y*=Ax2e－2x，代入原方程得A=．因此，原方程的通解为y=Y+y*=(C1+C2x)e－2x+e－2x．涉及知识点：常微分方程与差分方程
17．求微分方程yˊˊ+2yˊ－3y=e－3x的通解．
正确答案：对应的齐次方程的通解为=C1ex+C2e－3x．原方程的一个特解为y*=Axe－3x，代入原方程，得A=，y*=xe－3x．所求通解为y=C1ex+C2e－3x －xe－3x(C1，C2为任意常数)．涉及知识点：常微分方程与差分方程
18．求微分方程yˊˊ+5yˊ+6y=2e－x的通解．
正确答案：所给微分方程的特征方程为r2+5r+6=(r+2)(r+3)=0，特征根为r1=－2，r2=－3．于是．对应齐次微分方程的通解为(x)=C1e－2x+C2e－3x．设所给非齐次方程的特解为y*=Ae－x．将y*代入原方程，可得A=1．由此得所给非齐次方程的特解y*=e－x．从而，所给微分方程的通解为y(x)=C1e－2x+C2e－3x+e －x，其中C1，C为任意常数．涉及知识点：常微分方程与差分方程
19．求微分方程(3x2+2xy－y2)dx+(x2－2xy)dy=0的通解．
正确答案：原方程化为3x2dx+(2xy－y2)dx+(x2－2xy)dy=0，即d(x3)+d(x2y
－xy2)=0，故通解为x3+x2y－xy2=C，其中C为任意常数．涉及知识点：常微分方程与差分方程
20．设y(x)是方程y(4)－yˊˊ=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．
正确答案：由泰勒公式y(x)=y(0)+yˊ(0)x+yˊˊ(0)x2+yˊˊˊ(0)x3+o(x3) (x→0)．当x→0时，y(x)与x3同阶=>y(0)=0，yˊ(0)=0，yˊˊ(0)=0，yˊˊˊ(0)=C，其中C为非零常数．由这些初值条件，现将方程y(4)－yˊˊ=0两边积分得∫0xy(4)(t)dt－∫0xyˊˊ(t)dt=0，即yˊˊˊ(x)－C－yˊ(x)=0，两边再积分得yˊˊ(x)－y(x)=Cx．易知，它有特解y*=－Cx，因此它的通解是y=C1ex+C2e－x－Cx．由初值y(0)=0，yˊ(0)=0得C1+C2=0，C1－C2=C=>因此最后得y=[(ex－e －x)]C，其中C为任意非零常数．涉及知识点：常微分方程与差分方程
21．求一个以y1=tet，y2=sin2t为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解．
正确答案：由y1=tet可知y3=et亦为其解，由y2=sin2t可得y4=cos2t也是其解，故所求方程对应的特征方程的根λ1=λ3=1，λ2=2i，λ4=－2i．其特征方程为(λ－1)2(λ2+4)=0，即λ4－2λ3+5λ2－8λ+4=0．故所求的微分方程为y(4)－2yˊˊˊ+5yˊˊ－8yˊ+4y=0，其通解为y=(C1+C2t)et+C3cos2t+C4sin2t，其中C1，C2，C3，C4为任意常数．涉及知识点：常微分方程与差分方程
22．求解yˊˊ=e2y+ey，且y(0)=0，yˊ(0)=2．
正确答案：令yˊ=P(y)，则yyˊ=，代入方程，有ppˊ=e2y+ey，，p2=e2y+2ey+C，即yˊ2=e2y+2ey+
C．又y(0)=0，yˊ(0)=2，有C=1，所以yˊ2=e2y+2ey+1=(ey+1)2，因此y ˊ=ey+1(yˊ(0)=2＞0)，即dy=dx，有dy=∫dx，y－ln(ey+1)=x+C1．代入y(0)=0，得C1=－ln2，所以，该初值问题的解为y－ln(1+ey)=x－ln2．涉及知识点：常微分方程与差分方程
23．求方程=(1－y2)tanx的通解以及满足y(0)=2的特解．
正确答案：这是变量可分离方程．当y2≠1时，分离变量得=tanxdx，两边积分，得去掉绝对值记号，并将±记成C，并解出y，得这就是在条件y2≠1下的通解．此外，易见y=1 及y=－1也是原方程的解，但它们并不包含在式①之中．以y(0)=2代入式①中得2=，故C=－3．于是得到满足y(0)=2的特解y= 涉及知识点：常微分方程与差分方程
24．求微分方程(y+)dx=xdy的通解，并求满足y(1)=0的特解．
正确答案：此为齐次微分方程，按解齐次微分方程的方法解之．令y=ux，原方程化为(ux+)dx=x(udx+xdu)，得｜x｜dx=x2du．当x＞0时，上式成为两边积
分得ln(u+[*)=lnx+lnC，其中C＞0，将任意常数记成ln
C．由上式解得u=[Cx－(Cx)－1]，即有y= ①当x＜0，类似地仍可得y= ②其中C＞0．式①与式②其实是一样的，故得通解y= ③其中C＞0为任意常数．将初值条件y(1)=0代入式③得C=±1，但由于C＞0，故得相应的特解为y=(x2－1)．涉及知识点：常微分方程与差分方程
25．求方程2x－y=－x2的通解．
正确答案：这是一阶线性方程，可以直接套通解公式解之．套公式之前，应先化成标准型：由通解公式，得当x＞0时，当x＜0时，合并之，得通解y=，其中x≠0，C为任意常数．涉及知识点：常微分方程与差分方程
26．求(y3－3xy2－3x2y)dx+(3xy2－3x2y－x3+y2)dy=0的通解．
正确答案：将原给方程通过视察分项组合．(y3－3xy2－3x2y)dx+(3xy2－3x2y －x3+y2)dy=(y3dx+3xy2dy)－3xy(ydx+xdy)－(3x2ydx+x3dy)+y2dy=0，即d(xy3)－d(xy)2－d(x3y)+d(y3)=0，d[xy3－(xy)2－x3y+y3]=0，所以通解为xy3－x2y2－x3y+y3=C，其中C为任意常数．涉及知识点：常微分方程与差分方程
27．求微分方程yˊˊ+2yˊ+2y=2e－x的通解．
正确答案：应先用三角公式将自由项写成e－x+e－xcosx，然后再用叠加原理用待定系数法求特解．对应的齐次方程的通解为Y=(C1cosx+C2sinx)e－x．为求原方程的一个特解，将自由项分成两项：e－x，e－xcosx，分别考虑yˊˊ+2y ˊ+2y=e－x，①与yˊˊ+2yˊ+2y=e－xcosx．②对于①，令y1*=Ae －x，代入可求得A=1，从而得y1*=e－x．对于②，令y2*=xe－x(Bcosx+Csinx)，代入可求得B=0，C=．由叠加原理，得原方程的通解为y=Y+y1*+y2*=e－x(C1cosx+C2sinx)+e－x+xe－xsinx，其中C1，C2为任意常数．涉及知识点：常微分方程与差分方程
28．求yˊˊ－y=e｜x｜的通解．
正确答案：自由项带绝对值，为分段函数，所以应将该方程按区间(－∞，0)∪[0，+∞)分成两个方程，分别求解．由于yˊˊ=y+e｜x｜在x=0处具有二阶连续导数，所以求出解之后，在x=0处拼接成二阶导数连续，便得原方程的通解．当x≥0时，方程为yˊˊ－y=ex，求得通解y=C1ex+C2e－x+xex．当x＜0时，方程为yˊˊ－y=e－x，求得通解y=C3ex+C4e－x－xe－x．因为原方程的解y(x)在x=0处连续且yˊ(x)也连续，据此，有解得C3=C1+，C4=C2－，于是得通解：此y在x=0处连续且yˊ连续．又因yˊˊ=y+e｜x｜，所以在x=0处y ˊˊ亦连续，即是通解．涉及知识点：常微分方程与差分方程。