2013年高考数学理科新课标版二轮复习专题突破课时作业4.1空间几何体

课时作业12 空间几何体
(时间：45分钟 满分：60分)
一、选择题
1．(2012·吉林长春联考)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )
图1
解析：由三视图的相关知识易知，选B. 答案：B
2．一个简单几何体的正(主)视图、侧(左)视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②直角三角形；③圆；④椭圆．其中正确的是( )
图2
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
解析：易判断①②是可能的；当俯视图为圆时，正(主)视图与侧(左)视图应该是全等的矩形，故③不可能；而上、下底面为椭圆的直柱体，其正(主)视图、侧(左)视图可能如题中图形所示，俯视图则是一个椭圆．
答案：C
3．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积是( )
图3
A ．48
B ．64
C ．80
D ．84
解析：由三视图可知，该几何体是底面边长为8，斜高为5的正四棱锥，所以此几何体
的侧面积为S 侧＝1
2
×8×5×4＝80，故选C.
答案：C 4．(2012·浙江宁波质检)如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA 1
⊥面A 1B 1C 1，正视图是正方形，俯视图是正三角形，该三棱柱的侧视图面积为( )
图4
A ．2 3 B. 3 C ．2 2 D ．4
解析：由题意可知，该三棱柱的侧视图应为矩形，如图所示．
图5
在该矩形中，MM 1＝CC 1＝2，CM ＝C 1M 1＝3
2
·AB ＝ 3.
所以侧视图的面积为S ＝2 3. 答案：A 5．(2012·广东)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )
图6
A ．12π
B ．45π
C ．57π
D ．81π
解析：由三视图知该几何体是由圆锥和圆柱构成的组合体，示意图如图所示，∴该几何
体的体积为V ＝V 圆锥＋V 圆柱＝13πr 2h 1＋πr 2h 2＝1
3
π×32×4＋π×32×5＝12π＋45π＝57π.
图7
答案：C
6．(2012·课标全国)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )
A.26
B.36
C.23
D.22
解析：∵SC 是球O 的直径， ∴∠CAS ＝∠CBS ＝90°.
∵CA ＝BC ＝AB ＝1，SC ＝2，∴AS ＝BS ＝ 3. 取AB 的中点D ，显然AB ⊥CD ，AB ⊥DS ， ∴AB ⊥平面CDS .
在△CDS 中，CD ＝32，DS ＝11
2，SC ＝2，利用余弦定理可得cos ∠CDS ＝
CD 2＋SD 2－SC 22CD ·SD
＝－133
，
故sin ∠CDS ＝42
33.
∴S △CDS ＝12×32×112×4233＝2
2.
∴V ＝V B －CDS ＋V A －CDS ＝13×S △CDS ×BD ＋13S △CDS ×AD ＝13S △CDS ×BA ＝13×22×1＝2
6
.
答案：A 二、填空题
7．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________．
解析：设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，高为h ，由⎩⎪⎨⎪⎧ πrl ＝2π，πr 2＝π，得⎩
⎪⎨⎪⎧
l ＝2，
r ＝1.
于是，圆锥的体积为V ＝13πr 2h ＝3π
3
.
答案：3π
3
8．(2012·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为
________m 3
.
图8
解析：由几何体的三视图可知该几何体的顶部是长、宽、高分别为6 m,3 m,1 m 的长方体，底部为两个直径为3 m 的球．
∴该几何体的体积为：V ＝6×3×1＋2×4
3π×⎝⎛⎭⎫323＝18＋9π(m 3)． 答案：18＋9π 9．(2012·河北衡水中学模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
图9
解析：由三视图可知，该几何体是底面为正方形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，如
图，其体积V ＝13×(2)2×1＝2
3
.
图10
答案：2
3
三、解答题
10．如右图所示，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝4，M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N .求：
图11
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 和NC 的长．
解：(1)该三棱柱侧面展开图为边长分别是4和9的矩形， ∴对角线长为42＋92＝97.
(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB 1展开如下图所示．
图12
设PC ＝x ，
∴MP 2＝MA 2＋(AC ＋x )2.
∵MP ＝29，MA ＝2，AC ＝3， ∴x ＝2，即PC 的长为2. 又∵NC ∥AM ， ∴PC P A ＝NC AM ，即25＝NC 2
. ∴NC ＝4
5
.
11．(2012·山西大同质检)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB ＝4，CD ＝2，侧面P AD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为P A 的中点．
图13
(1)求证：DE ∥平面PBC ； (2)求三棱锥A －PBC 的体积．
解：(1)证明：如图，取AB 的中点F ，连接DF ，EF .
图14
在直角梯形ABCD 中，CD ∥AB ，且AB ＝4，CD ＝2， 所以BF 綊CD .所以四边形BCDF 为平行四边形． 所以DF ∥BC .
在△P AB 中，PE ＝EA ，AF ＝FB ，所以EF ∥PB .
又因为DF ∩EF ＝F ，PB ∩BC ＝B ，所以平面DEF ∥平面PBC . 因为DE ⊂平面DEF ，所以DE ∥平面PBC . (2)取AD 的中点O ，连接PO . 在△P AD 中，P A ＝PD ＝AD ＝2， 所以PO ⊥AD ，PO ＝ 3.
又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PO ⊥平面ABCD . 在直角梯形ABCD 中，CD ∥AB ，且AB ＝4，AD ＝2，AB ⊥AD ，
所以S △ABC ＝12×AB ×AD ＝1
2
×4×2＝4.
故三棱锥A －PBC 的体积V A －PBC ＝V P －ABC ＝13×S △ABC ×PO ＝13×4×3＝43
3
.
12．(2012·豫西五校联考)如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，AB ＝2，BD ＝2，沿BD 将△BCD 折起，使二面角A －BD －C 是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O .
图15
(1)当α为何值时，三棱锥C －OAD 的体积最大？最大值为多少？
(2)当AD ⊥BC 时，求α的大小．
解：(1)由题知CO ⊥平面ABD ，∴CO ⊥BD ， 又BD ⊥CD ，CO ∩CD ＝C ，∴BD ⊥平面COD . ∴BD ⊥OD . ∴∠ODC ＝α.
V C －AOD ＝13S △AOD ·OC ＝13×1
2·OD ·BD ·OC
＝26·OD ·OC ＝26
·CD ·cos α·CD ·sin α
＝
23·sin2α≤23
， 当且仅当sin2α＝1，即α＝45°时取等号， ∴当α＝45°时，三棱锥C －OAD 的体积最大，最大值为2
3
. (2)连接OB ，
图16
∵CO ⊥平面ABD ，∴CO ⊥AD ，又AD ⊥BC ， ∴AD ⊥平面BOC . ∴AD ⊥OB .
∴∠OBD ＋∠ADB ＝90°.
故∠OBD ＝∠DAB ，又∠ABD ＝∠BDO ＝90°， ∴Rt △ABD ∽Rt △BDO . ∴OD BD ＝BD AB
. ∴OD ＝BD 2AB ＝(2)2
2
＝1，
在Rt △COD 中，cos α＝OD CD ＝1
2，得α＝60°.。