高三数学上学期第十九周B周练题试题

一中高三数学上学期第十九周B 周练题
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

1．=∈==++201811,,31,3}{S N n a a a a n
n n 则满足 A ．—2021
B ．23232017--
C ．2017323--
D ．3232017-- 【答案】B 【解析】201620182111113,3)3
1(3)(31,31----++==⋅====a q a a a a a a n n n n n n n n 所以，所以常数所以因为 2．变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，
y －1≤0，
假设目的函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处获得最大
值，那么a 的取值范围 A ．)21(∞+， B ．)2
1[∞+， C ．]21,(-∞ D ．]2
1,0[ 【答案】A 【解析】画出x 、y 满足条件的可行域如下图，要使目的函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处获得
最大值，那么直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12
. 3．假设函数)3,2
1(123)(23在区间++-=x ax x x f 上有极值点，那么实数a 的取值范围为 A ．)2
5,2( B ．)25,2[ C ．)310,2( D ．]2
5,2[ 【答案】C 【解析】由题易知上有解在)3,2
1(01)('2=+-=ax x x f ，所以)3,21(,1∈+=x x x a ，易知 单调递增单调递减，在区间在区间)3,1()1,2
1(,1)(x x x g +=，故 3
10)3()(,310)3(,25)21(.2)1()(max min ======g x g g g g x g 故，所以)310,2(∈a
4. 求245sin )3lg()(x x x
x x f -++-=的定义域为 【答案】(0,3)[-1,0)0}x 5,x -1|{x ⋃=≠≤≤
【解析】⎪⎩
⎪⎨⎧≥-++≠>-0450sin 032x x πk x x ，故(0,3)[-1,0)0}x 5,x -1|{x ⋃=≠≤≤
5. 的夹角为则均为非零向量，且若b a b a b a b a b a ,,)2(,)2(,⊥-⊥-
【答案】3
π 【解析】由题知,0)2(,,0)2(=⋅-=⋅-b a b a b a 即,0cos ||||2||2||22=-=⋅-θb a a a b a
||||,||||,0cos ||||2||2||2222b a b a θb a b a b b ===-=⋅-即故，所以
02600,2
1cos ,0cos ||||2||=≤≤==-θπθθθa a a ，故因为故 6．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，那么AB ＋2BC 的最大值为________．
【答案】27
【解析】由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BC sin A
，∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A . 又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C )＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C )
＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)，其中tan α＝
32，α是第一象限角，
由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角，因此AB ＋2BC 有最大值27.
7．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4， 直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝t y ＝－1＋22t
(t 为参数)，直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P
是圆C 上不同于A ，B 的任意一点。

(1)求圆心的极坐标；
(2)求△PAB 面积的最大值。

8．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为2的菱形，60DAB ∠=，
90ADP ∠=，
面ADP ⊥面ABCD ，点F 为棱PD 的中点.
(I)在棱AB 上是否存在一点E ，使得//AF 面PCE ，并说明理由；
〔Ⅱ〕当二面角D FC B --的余弦值为14
时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角. 解：〔1〕在棱AB 上存在点E ，使得//AF 面PCE ，点E 为棱AB 的中点.
理由如下：取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，//FQ DC 且12
FQ CD =，//AE CD 且12
AE CD =， 故//AE FQ 且AE FQ =.所以，四边形AEQF 为平行四边形.
所以，//AF EQ ，又EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，所以，//AF 平面PEC . 〔2〕由题意知ABD ∆为正三角形，所以ED AB ⊥，亦即ED CD ⊥，又90ADP ∠=， 所以PD AD ⊥，且面ADP ⊥面ABCD ，面ADP 面ABCD AD =，
所以PD ⊥面ABCD ，故以D 为坐标原点建立如图空间坐标系，
设FD a =，那么由题意知(0,0,0)D ，(0,0,)F a ，(0,2,0)C ，(3,1,0)B ，
(0,2,)FC a =-，(3,1,0)CB =-，
设平面FBC 的法向量为(,,)m x y z =，那么由00m FC m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
得200y az y -=⎧⎪-=，
令1x =
，那么y =
z =
，所以取1,3,m ⎛= ⎝， 显然可取平面DFC 的法向量(1,0,0)n =， 由题意：1cos ,
4m n =<>=，所以1a =.
由于PD ⊥面ABCD ，所以PB 在平面ABCD 内的射影为BD ，
所以PBD ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，
易知在Rt PBD ∆中tan 1PD PBD BD
∠==，从而45PBD ∠=， 所以直线PB 与平面ABCD 所成的角为45.
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。