第七单元植树问题(单元复习讲义)教师版—2024-2025学年五年级上册(人教版)
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2024-2025学年五年级数学上册单元复习讲义(人教版)
第七单元植树问题
(思维架构+知识精讲+习题精练+知识拓展)
知识点1:直线上的植树问题
1.解决两端都要栽的植树问题的解题思路:
间隔数=路长÷间隔长
棵数=间隔数+1
2.解决两端都不栽的植树问题的解题思路:
间隔数=总路长÷植株间距
植树棵数=间隔数-1
3.解决只栽一端的植树问题的解题思路:
植树棵数=间隔数=总路长÷植株间距
知识点02:环形跑道上的植树问题
在一条首尾相接的封闭曲线上植树,所需棵数与间隔数“一一对应”,相当于线段上一端栽一端不栽的情况。
1
【例1】一游客以等速在一条小路上散步,路边相邻两棵树的距离都相等,他从第一棵树走到第10棵树用了11分钟,如果这个游客走22分钟,应走到第几棵树?
【答案】19棵
【分析】此题属于植树问题中的两端都要栽的问题:1
植树棵数间隔数,所以
=+
从第一棵树走到第10棵树一共有9个间隔,11分钟走9个间隔,那么22分钟走了多少个间隔?根据除法的意义可得22分钟有几个11,就有几个9;最后再加1即可得到走到第几棵树。
【详解】22111011
÷⨯-+
()
=⨯+
291
=(棵)
19
答:应走到第19棵树。
【趁热打铁】某市的3路公交车每隔1.5千米设置一个站点,从3路公交车的起始站到终点站,一共设置了22个站点。
3路公交车运行的路线长多少千米?
【答案】31.5千米
【分析】从3路公交车的起始站到终点站,一共有22个站点,这相当于两端都栽的22棵树,因此间隔数等于站点数减1,先求出间隔数;每隔1.5千米设置一个站点,再用间隔数乘间隔的长度,即可求出3路公交车运行的路线长多少
千米,据此解答。
【详解】(22-1)×1.5
=21×1.5
=31.5(千米)
答:3路公交车运行的路线长31.5千米。
2
【例2】一根钢材在18分钟内被锯成4段,用同样的速度锯成5段,需要多少分钟?
【答案】24分钟
【分析】锯的次数=段数-1,用的时间÷相应次数=锯1次需要的时间,锯1
次需要的时间×(相应段数-1)=相应段数需要的时间,据此列式解答。
【详解】18÷(4-1)
=18÷3
=6(分)
6×(5-1)
=6×4
=24(分)
答:需要24分钟。
【趁热打铁】世家小区的车位不足,在小区道路的一边每2.5米安置一个车位,用“⊥”标志隔开,在一段长100米的路边最多可以停放多少辆车?要画几个“⊥”?
【答案】40辆;39个
【分析】看图可知,相当于植树问题的两端都不植,棵数=段数-1;车位数相当于段数,“⊥”相当于棵数,总长度÷间距=段数,段数-1=棵数,据此列式解答。
【详解】100÷2.5=40(辆)
40-1=39(个)
答:在一段长100米的路边最多可以停放40辆车,要画39个“⊥”
考点3:一端栽一端不栽
【例3】某人到楼高28层大厦的15层办事,不巧停电。
如果从第1层走到第3层需要36秒,那么以同样的速度从第1层走到第15层,需要多少秒才能到达?
【答案】252秒
【分析】从第1层走到第3层,中间经过了(3-1)层楼梯,总共用时36秒,用总时间除以经过的楼梯层数,求出平均走一层楼梯需要的时间;从第1层到第15层,中间经过了(15-1)层楼梯,用平均走一层楼梯所需的时间乘经过的楼梯层数,即可求出以同样的速度从第1层走到第15层,需要多少秒才能到达,据此解答。
【详解】36÷(3-1)
=36÷2
=18(秒)
18×(15-1)
=18×14
=252(秒)
答:以同样的速度从第1层走到第15层,需要252秒才能到达。
【趁热打铁】体育老师在正方形的场地四周共放了32个排球,己知四个顶点都各放了1个排球,且每边上的排球个数相同。
求这个场地每边放排球的个数?
【答案】9个
【分析】此题可以看作是植树问题,因为四个顶点都各放了1个排球,属于一端栽一端不栽的情况,则每边放排球的个数=排球的总个数÷边数+1,据此进行计算即可。
【详解】32÷4+1
=8+1
=9(个)
答:这个场地每边放排球9个。
4
【例4】学校“六一”举行游艺活动,四年级学生出场方阵(正方形)中,最外层每边站了10人,最外层一共站了()人。
A.100 B.36 C.40 D.不确定
【答案】.B
【分析】最外层每边有10人,4条边就是(10×4)人,但是每个角上的人被重
复算了1次,共有4个角,所以还要减去4,据此列式解答即可。
【详解】10×4-4
=40-4
=36(人)
即最外层一共站了36人。
故答案为:B
【趁热打铁】某部队在大操场上进行操练表演,战士们排成一个空心的方阵,最外层有156人,最内层有28人。
参加操练的战士共有多少人?
【答案】1564人
【分析】根据题意,最外层每边有(156÷4+1)人,最内层每边有(28÷4+1)人,用最内层每边的人数减2即可求出空心部分最外层每边可以容纳的人数,从大实心方阵可以容纳的人数中减去中间空心部分可以容纳的人数,就是这个中空的方阵实际容纳的人数。
【详解】方阵最外层每边人数:156÷4+1=39+1=40(人)
方阵最内层每边人数:28÷4+1=7+1=8(人)
空心部分最外层每边可以容纳的人数:8-2=6(人)
空心方阵人数:40×40-6×6=1600-36=1564(人)
答:参加操练的战士共有1564人。
一、选择题
1.一块圆形草坪的周长是36m,每隔3m摆1盆花,一共需要摆()盆花。
A.10B.11C.12D.13
2.中央公园有一块边长为30米的正方形草坪,现要在草坪四周种树,四个角都要种,每相邻两棵树间隔5米,一共要种()棵树。
A.22B.23C.24D.25
3.有36名同学在操场上做游戏。
大家围成一个正方形,每边人数相等,四个顶点都有人。
每边各有()名同学。
A.8B.9C.10
4.要在五边形的水池边上摆上花盆,使每一边都有4盆花,最少需要()盆花。
A.20B.15C.16D.25
二、填空题
5.有42名同学在操场上围成一个圆圈做游戏,每相邻两名同学之间的距离是2m,围成的这个圆圈的周长是( )m。
6.一条水晶项链长60厘米,每隔3厘米有一颗珍珠。
这条项链上一共有( )颗珍珠。
7.在一个边长为60米的正方形鱼塘四周植树,每隔3米栽一棵树苗,而且四个角都要各栽一棵。
一共需要( )棵树苗。
8.在圆形水池的一周每隔6米栽一棵树,一共栽了60棵树,求这个水池的周长是
( )米。
三、解答题
9.某小学的学生排成一个实心方阵还多7人,如果横、竖各增加一排成为一个大一点儿的实心方阵,那么又差24人。
该校有学生多少人?
10.学校开展植树活动,如果排成实心方阵,那么树苗将多出27棵,如果每行每列多种1棵,那么树苗将多出8棵。
树苗共有多少棵?
参考答案:
1.C
【分析】此题可以看作在封闭图形中植树,树的棵数=间隔数,据此解答即可。
【详解】36÷3=12(盆)
则一共需要摆12盆花。
故答案为:C
2.C
【分析】根据封闭图形植树问题可知“间隔数=棵数”,先求出正方形草坪的周长,然后用周长除以相邻两棵树的间隔距离,就能得到种树的数量。
【详解】30×4=120(米)
120÷5=24(棵)
即一共要种24棵树。
故答案为:C
3.C
【分析】因为正方形每个顶点共属于2条边,总人数除以4只包含1个顶点的人数,因此总人数÷4+1=每边人数,据此列式计算。
【详解】36÷4+1
=9+1
=10(名)
每边各有10名同学。
故答案为:C
4.B
【分析】要想使花的盆数最少,每个顶点都放一盆,去掉顶点处重复的一盆,每边有4盆花,每边盆数×边数=花的总盆数,据此列式计算。
【详解】(4-1)×5
=3×5
=15(盆)
最少需要15盆花。
故答案为:B
5.84
【分析】根据题意,42名同学在操场上围成一个圆圈做游戏,因为圆形是封闭图形,那么间隔数=棵数,即42名同学就有42个间隔,再乘每相邻两名同学之间的距离,即是围成圆圈的周长。
【详解】42×2=84(m)
围成的这个圆圈的周长是84m。
6.20
【分析】一条水晶项链是一个封闭的图形,所以本题属于封闭的植树问题,据此可知,间隔数=珍珠颗数,总长度÷间隔距离=间隔数,代入数据解答即可。
【详解】60÷3=20(颗)
这条项链上一共有20颗珍珠。
7.80
【分析】先根据正方形的周长公式:周长=边长×4,计算出正方形鱼塘的周长;再根据:间隔数=总长÷间距,在封闭图形上面植树,棵数=间隔数,据此解答。
【详解】60×4÷3
=240÷3
=80(棵)
则四个角上各栽一棵,一共需要80棵树苗。
8.360
【分析】在圆形上,植树的棵数等于间隔数,通过已知的间隔长度和间隔数,两者相乘就能得出周长,据此解答。
【详解】间隔数:60个
每个间隔长度:6米
周长计算:60×6=360(米)
这个水池的周长是360米。
9.232人
【分析】根据题意,排成一个实心方阵还多7人,横、竖各增加一排后又差24人,如下图所示:
说明横竖各增加一排需要31人;然后,从31人中减去1人,再除以2,计算出每一行或每一列的人数;最后,用每一行(或每一列)的人乘行数(或列数)求出全校的总人数即可。
+=(人)
【详解】24731
原方阵中每排人数:3112
()
-÷
=
302
÷
=(人)
15
⨯+
15157
=+
2257
=(人)
232
答:该校有学生232人。
10.108棵
【分析】排成一个实心方阵还多27棵,每行每列多种1棵还多8棵,说明把27棵树苗补充到横竖各增加一排,还剩下8棵,也就是说横竖各增加一排需要19棵;然后,从19棵中减去1棵,再除以2,计算出每一行或每一列的棵数;最后,用每一行(或每一列)的棵数乘行数(或列数)求出树苗的总数即可。
-=(棵)
【详解】27819
原方阵中每排棵数:1912
()
-÷
=÷
182
=(棵)
9
⨯+
树苗总棵树:9927
8127
=+
=(棵)
108
社区准备装饰居民活动中心的舞台,舞台四周每隔3.5米装一盏夜灯,四个角都要装,一共装了40盏夜灯。
那么舞台的面积是多少平方米?
【答案】1176平方米
【分析】此题是考查封闭路线植树问题的类型题,封闭路线植树:棵数=段数。
根据是在长方形舞台四周装路灯,那么有多少盏路灯就有多少个两路灯之间的间隔;根据每两盏路灯间隔是3.5米,舞台的长就是12个3.5米的长度,舞台的宽就是8个3.5米的长度,根据长方形的面积公式:S=ab,将数据代人即可解答。
【详解】40-4=36(盏)
宽中间有夜灯:9-2=7(盏)
长中间有夜灯:(36-7×2)÷2=11(盏)
宽:3.5×(7+1)=28(米)
长:3.5×(11+1)=42(米)
面积:28×42=1176(平方米)
答:舞台的面积是1176 平方米。