孝昌县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

孝昌县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 图
1是由哪个平面图形旋转得到的（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 2． 若，[]0,1b ∈，则不等式2
2
1a b +≤成立的概率为（ ）
A ．
16π B ．12π C ．8π D ．4
π 3． 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为底面ABCD 上的动点．若三棱锥B ﹣D 1EC 的表面积最大，则E 点位于（ ）
A ．点A 处
B ．线段AD 的中点处
C ．线段AB 的中点处
D ．点D 处
4． 函数y=2x 2﹣e |x|在[﹣2，2]的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是边AB 上的动点，记四面体FMC E -的体 积为1V ，多面体BCE ADF -的体积为2V ，则
=2
1
V V （ ）1111]
A ．
4
1 B ．31 C ．21
D ．不是定值，随点M 的变化而变化
6． 已知f （x ）=x 3
﹣3x+m ，在区间[0，2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f （a ），f （b ），f （c ）为边长的
三角形，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ＞2
B ．m ＞4
C ．m ＞6
D ．m ＞8
7． 函数y=
（x 2
﹣5x+6）的单调减区间为（ ）
A ．（，+∞）
B ．（3，+∞）
C ．（﹣∞，）
D ．（﹣∞，2）
8． 已知直线34110m x y +-=：与圆2
2
(2)4C x y -+=：交于A B 、两点，P 为直线3440n x y ++=：上任意
一点，则PAB ∆的面积为（ ）
A ． B. C. D.
9． 为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x 的图象（ ）
A ．向左平移个长度单位
B ．向右平移个长度单位
C ．向左平移
个长度单位
D ．向右平移个长度单位
10．有下列说法：
①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适．
②相关指数R 2来刻画回归的效果，R 2值越小，说明模型的拟合效果越好．
③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．
其中正确命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
11．等比数列{a n }中，a 3，a 9是方程3x 2﹣11x+9=0的两个根，则a 6=（ ）
A ．3
B ．
C ．±
D ．以上皆非
12．某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，如图是描述汽车价值变化的算法流程图，则当n=4吋，最后输出的S 的值为（ ）
A ．9.6
B ．7.68
C ．6.144
D ．4.9152
二、填空题
13．对于函数(),,y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”
的 ▲ 条件． （填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”） 14．函数f （x ）=a x +4的图象恒过定点P ，则P 点坐标是 ．
15．考察正三角形三边中点及3个顶点，从中任意选4个点，则这4个点顺次连成平行四边形的概率等于 ．
16．设MP 和OM 分别是角
的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：
①MP ＜OM ＜0；②OM ＜0＜MP ；③OM ＜MP ＜0；④MP ＜0＜OM ， 其中正确的是 （把所有正确的序号都填上）．
17．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{a n }为“斐波那契数列”．若把该数列{a n }的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n }，在数列{b n }中第2016项的值是 ． 18．定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，且f （2）=0，则不等式f （log 8x ）＞0的解集是 ．
三、解答题
19．函数f（x）=sin2x+sinxcosx．
（1）求函数f（x）的递增区间；
（2）当x∈[0，]时，求f（x）的值域．
20．已知数列{a n}满足a1=﹣1，a n+1=（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：数列{+}是等比数列；
（Ⅱ）令b n=，数列{b n}的前n项和为S n．
①证明：b n+1+b n+2+…+b2n＜
②证明：当n≥2时，S n2＞2（++…+）
21．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽100
（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，
（ⅰ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； （ⅱ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率．
22．（本小题满分12分）已知两点)0,1(1 F 及)0,1(2F ，点P 在以1F 、2F 为焦点的椭圆C 上，且1PF 、21F F 、 2PF 构成等差数列． （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）设经过2F 的直线m 与曲线C 交于P Q 、两点，若2
2
2
11PQ F P FQ =+，求直线m 的方程．
23．已知椭圆
的左焦点为F ，离心率为，过点M （0，1）且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为．
（I ）求椭圆G 的方程；
（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于
，求直线OP （O 是坐标原点）的斜率
的取值范围．
24．已知﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2，点P的坐标为（x，y）
（1）求当x，y∈Z时，点P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率；（2）求当x，y∈R时，点P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率．
孝昌县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得，根据旋转体的概念，可知该几何体是由A选项的平面图形旋转一周得到的几何体故选A.
考点：旋转体的概念.
2．【答案】D
【解析】
考点：几何概型．
3．【答案】A
【解析】解：如图，
E为底面ABCD上的动点，连接BE，CE，D1E，
对三棱锥B﹣D1EC，无论E在底面ABCD上的何位置，
面BCD1的面积为定值，
要使三棱锥B﹣D1EC的表面积最大，则侧面BCE、CAD1、BAD1的面积和最大，
而当E与A重合时，三侧面的面积均最大，
∴E点位于点A处时，三棱锥B﹣D1EC的表面积最大．
故选：A．
【点评】本题考查了空间几何体的表面积，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．
4．【答案】D
【解析】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，
∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，
故函数为偶函数，
当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；
当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，
∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，
故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，
故选：D
5．【答案】B
【解析】
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
6．【答案】C
【解析】解：由f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0得到x1=1，x2=﹣1（舍去）
∵函数的定义域为[0，2]
∴函数在（0，1）上f ′（x ）＜0，（1，2）上f ′（x ）＞0， ∴函数f （x ）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，
则f （x ）min =f （1）=m ﹣2，f （x ）max =f （2）=m+2，f （0）=m
由题意知，f （1）=m ﹣2＞0 ①； f （1）+f （1）＞f （2），即﹣4+2m ＞2+m ②
由①②得到m ＞6为所求．
故选C
【点评】本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值
7． 【答案】B
【解析】解：令t=x 2
﹣5x+6=（x ﹣2）（x ﹣3）＞0，可得 x ＜2，或 x ＞3，
故函数y=
（x 2
﹣5x+6）的定义域为（﹣∞，2）∪（3，+∞）．
本题即求函数t 在定义域（﹣∞，2）∪（3，+∞）上的增区间．
结合二次函数的性质可得，函数t 在（﹣∞，2）∪（3，+∞）上的增区间为 （3，+∞）， 故选B ．
8． 【答案】 C
【解析】解析：本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算.
圆心C 到直线m 的距离1d =，||AB ==m n 、之间的距离为3d '=，∴PAB ∆
的面积为
1
||2
AB d '⋅=，选C ． 9． 【答案】A
【解析】解：∵
，
只需将函数y=sin2x 的图象向左平移个单位得到函数
的图象．
故选A ．
【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．
10．【答案】C
【解析】解：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，正确．
②相关指数R 2来刻画回归的效果，R 2值越大，说明模型的拟合效果越好，因此②不正确．
③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确．
综上可知：其中正确命题的是①③． 故选：C ．
【点评】本题考查了“残差”的意义、相关指数的意义，考查了理解能力和推理能力，属于中档题．
11．【答案】C
【解析】解：∵a 3，a 9是方程3x 2
﹣11x+9=0的两个根， ∴a 3a 9=3，
又数列{a n }是等比数列，
则a
62
=a 3a 9=3，即a 6=±
．
故选C
12．【答案】C
【解析】解：由题意可知，设汽车x 年后的价值为S ，则S=15（1﹣20%）x
， 结合程序框图易得当n=4时，S=15（1﹣20%）4
=6.144．
故选：C ．
二、填空题
13．【答案】必要而不充分 【解析】
试题分析：充分性不成立，如2
y x =图象关于y 轴对称，但不是奇函数；必要性成立，()y f x =是奇函数，
|()||()||()|f x f x f x -=-=，所以|()|y f x =的图象关于y 轴对称.
考点：充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1.定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2.等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3.集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 14．【答案】 （0，5） ．
【解析】解：∵y=a x 的图象恒过定点（0，1），
而f（x）=a x+4的图象是把y=a x的图象向上平移4个单位得到的，
∴函数f（x）=a x+4的图象恒过定点P（0，5），
故答案为：（0，5）．
【点评】本题考查指数函数的性质，考查了函数图象的平移变换，是基础题．
15．【答案】．
【解析】解：从等边三角形的三个顶点及三边中点中随机的选择4个，共有=15种选法，
其中4个点构成平行四边形的选法有3个，
∴4个点构成平行四边形的概率P==．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，是基础题．确定基本事件的个数是关键．
16．【答案】
②
【解析】解：由MP，OM分别为角的正弦线、余弦线，如图，
∵，
∴OM＜0＜MP．
故答案为：②．
【点评】本题的考点是三角函数线，考查用作图的方法比较三角函数的大小，本题是直接比较三角函数线的大小，在大多数此种类型的题中都是用三角函数线比较三个函数值的大小．
17．【答案】0．
【解析】解：1，1，2，3，5，8，13，…除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，；1，1，2，3，1，0…，即新数列{b n}是周期为6的周期数列，
∴b2016=b336×6=b6=0，
故答案为：0．
【点评】本题主要考查数列的应用，考查数列为周期数性，属于中档题．
18．【答案】（0，）∪（64，+∞）．
【解析】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（log8x）＞0，等价为：f（|log8x|）＞f（2），
又f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴|log8x|＞2，∴log8x＞2或log8x＜﹣2，
∴x＞64或0＜x＜．
即不等式的解集为{x|x＞64或0＜x＜}
故答案为：（0，）∪（64，+∞）
【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，是函数性质综合考查题，熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系是解答的关键，根据偶函数的对称性将不等式进行转化是解决本题的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）…（2分）
令解得…
f（x）的递增区间为…（6分）
（2）∵，∴…（8分）
∴，∴…（10分）
∴f（x）的值域是…（12分）
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的最值，考查计算能力．
20．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵数列{a n}满足a1=﹣1，a n+1=（n∈N*），∴na n=3（n+1）a n+4n+6，
两边同除n（n+1）得，，
即，
也即，
又a1=﹣1，∴，
∴数列{+}是等比数列是以1为首项，3为公比的等比数列．
（Ⅱ）（ⅰ）证明：由（Ⅰ）得，=3n﹣1，∴，
∴，
原不等式即为：＜，
先用数学归纳法证明不等式：
当n≥2时，，
证明过程如下：
当n=2时，左边==＜，不等式成立
假设n=k时，不等式成立，即＜，
则n=k+1时，左边=
＜+
=＜，
∴当n=k+1时，不等式也成立．
因此，当n≥2时，，
当n≥2时，＜，
∴当n≥2时，，
又当n=1时，左边=，不等式成立
故b n+1+b n+2+…+b2n＜．
（ⅱ）证明：由（i）得，S n=1+，
当n≥2，=（1+）2﹣（1+）2
=
=2﹣，
，
…
=2•，
将上面式子累加得，﹣，
又＜
=1﹣
=1﹣，
∴，
即＞2（），
∴当n≥2时，S n2＞2（++…+）．
【点评】本题考查等比数列的证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法、累加法、裂项求和法、数学归纳法、放缩法的合理运用，综合性强，难度大，对数学思维能力的要求较高．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）元件A为正品的概率约为．
元件B为正品的概率约为．
（Ⅱ）（ⅰ）∵生产1件元件A 和1件元件B 可以分为以下四种情况：两件正品，A 次B 正，A 正B 次，A 次B 次．
∴随机变量X 的所有取值为90，45，30，﹣15．
∵P （X=90）==；P （X=45）=
=
；P （X=30）=
=；
P （X=﹣15）=
=
．
∴随机变量X 的分布列为：
EX=
．
（ⅱ）设生产的5件元件B 中正品有n 件，则次品有5﹣n 件．
依题意得 50n ﹣10（5﹣n ）≥140，解得
．
所以 n=4或n=5． 设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ，
则P （A ）==
．
22．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查椭圆标准方程和定义、等差数列、直线和椭圆的位置关系等基础知识，意在考查转化与化归的数学思想的运用和综合分析问题、解决问题的能力．
（II ）①若m 为直线1=x ，代入
1342
2=+y x 得2
3±=y ，即)23 , 1(P ，)23 , 1(-Q
直接计算知2
9PQ =，2
25||||2121=
+Q F P F ，22
2
11
PQ F P FQ ?，1=x 不符合题意 ； ②若直线m 的斜率为k ，直线m 的方程为(1)y k x =-
由⎪⎩
⎪⎨⎧-==+
)1(1342
2x k y y x 得0)124(8)43(2222=-+-+k x k x k 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2221438k k x x +=+，2
2214312
4k k x x +-=⋅
由222
11PQ F P FQ =+得，11
0F P FQ ? 即0)1)(1(2121=+++y y x x ，0)1()1()1)(1(2121=-⋅-+++x k x k x x
0)1())(1()1(2212212=+++-++k x x k x x k
代入得0438)1()143124)(1(2
22
222
=+⋅-+++-+k k k k k k ，即0972=-k 解得773±=k ，直线m 的方程为)1(7
7
3-±
=x y 23．【答案】
【解析】解：（I ）∵
椭圆
的左焦点为F
，离心率为
，
过点M （0，1）且与x 轴平行的直线被椭圆G
截得的线段长为．
∴
点
在椭圆G
上，又离心率为
，
∴
，解得
∴椭圆G
的方程为．
（II ）由（I ）可知，椭圆G
的方程为．∴点F 的坐标为（﹣1，0）．
设点P 的坐标为（x 0，y 0）（x 0≠﹣1，x 0≠0），直线FP 的斜率为k ，
则直线FP 的方程为y=k （x+1），
由方程组
消去y 0
，并整理得
．
又由已知，得，解得或﹣1＜x0＜0．
设直线OP的斜率为m，则直线OP的方程为y=mx．
由方程组消去y0，并整理得．
由﹣1＜x0＜0，得m2＞，
∵x0＜0，y0＞0，∴m＜0，∴m∈（﹣∞，﹣），
由﹣＜x0＜﹣1，得，
∵x0＜0，y0＞0，得m＜0，∴﹣＜m＜﹣．
∴直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆与直线的位置关系的合理运用．
24．【答案】
【解析】解：如图，点P所在的区域为长方形ABCD的内部（含边界），
满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的点的区域为以（2，2）为圆心，2为半径的圆面（含边界）．
（1）当x，y∈Z时，满足﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2的点有25个，
满足x，y∈Z，且（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的点有6个，
依次为（2，0）、（2，1）、（2，2）、（1，1）、（1，2）、（0，2）；
∴所求的概率P=．
（2）当x，y∈R时，
满足﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2的面积为：4×4=16，
满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4，且﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2的面积为：=π，
∴所求的概率P==．
【点评】本题考查的知识点是几何概型概率计算公式，计算出满足条件和所有基本事件对应的几何量，是解答的关键，难度中档．。