陕西省武功县重点名校2022年中考数学押题卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．不等式组
12
342
x
x
+>
⎧
⎨
-≤
⎩
的解集表示在数轴上正确的是（）
A．B．C．D．
2．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）
A．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球
B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数
C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9
3．等腰三角形的一个外角是100°，则它的顶角的度数为（）
A．80°B．80°或50°C．20°D．80°或20°
4．下列计算正确的是（）
A．a4+a5=a9B．（2a2b3）2=4a4b6
C．﹣2a（a+3）=﹣2a2+6a D．（2a﹣b）2=4a2﹣b2
5．某种商品每件的标价是270元，按标价的八折销售时，仍可获利20%，则这种商品每件的进价为（）A．180元B．200元C．225元D．259.2元
6．如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O直径BE上，连结AE，若∠E=36°，则∠ADC 的度数是（）
A．44°B．53°C．72°D．54°
7．用6个相同的小正方体搭成一个几何体，若它的俯视图如图所示，则它的主视图不可能是（）
A．B．C．D．
8．下图是某几何体的三视图，则这个几何体是（）
A．棱柱B．圆柱C．棱锥D．圆锥
9．如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝1．M是BD的中点，则CM的长为（）
A．3
2
B．2 C．
5
2
D．3
10．从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）。

那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（）
A ．()222a b a b -=-
B ．()2
222a b a ab b +=++ C ．()2222a b a ab b -=-+ D ．()()22a b a b a b -=+- 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．将点P （﹣1，3）绕原点顺时针旋转180°后坐标变为_____．
12．从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小、形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是__________．
13．已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于_______.
14．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC ＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD 的周长是30，则这个风车的外围周长是_____．
15．如图，已知点A 是一次函数y ＝23
x(x≥0)图象上一点，过点A 作x 轴的垂线l ，B 是l 上一点(B 在A 上方)，在AB 的右侧以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象过点B ，C ，若△OAB 的面积为5，则△ABC 的面积是________．
16．已知一个正数的平方根是3x －2和5x －6，则这个数是_____．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）已知抛物线2
3y ax bx =++的开口向上顶点为P
（1）若P 点坐标为（4，一1），求抛物线的解析式；
（2）若此抛物线经过（4，一1），当－1≤x≤2时，求y的取值范围（用含a的代数式表示）
（3）若a＝1，且当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为6，求b的值
18．（8分）如图，用细线悬挂一个小球，小球在竖直平面内的A、C两点间来回摆动，A点与地面距离AN=14cm，小球在最低点B时，与地面距离BM=5cm，∠AOB=66°，求细线OB的长度．（参考数据：sin66°≈0.91，cos66°≈0.40，tan66°≈2.25）
19．（8分）解不等式组：
2(2)3
{31
2
2
x x
x
+>
-
≥-
，并将它的解集在数轴上表示出来.
20．（8分）许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分．某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A，B两点之间的距离他沿着与直线AB平行的道路EF行走，走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前走300米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为200米，求A，B两点之间的距离（结果保留一位小数）
21．（8分）某天，甲、乙、丙三人一起乘坐公交车，他们上车时发现公交车上还有A，B，W三个空座位，且只有A，B两个座位相邻，若三人随机选择座位，试解决以下问题：
（1）甲选择座位W的概率是多少；
（2）试用列表或画树状图的方法求甲、乙选择相邻座位A，B的概率．
22．（10分）已知二次函数y=x2-4x-5，与y轴的交点为P，与x轴交于A、B两点．（点B在点A的右侧）
（1）当y=0时，求x的值．
（2）点M（6，m）在二次函数y=x2-4x-5的图像上，设直线MP与x轴交于点C，求cot∠MCB的值．
23．（12分）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN2，ND2，DH2之间的数量关系，并说明理由．在图①中，若EG=4，GF=6，求正方形ABCD的边长．
24．计算：﹣22+2cos60°+（π﹣3.14）0+（﹣1）2018
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、C
【解析】
根据题意先解出
12
342
x
x
+>
⎧
⎨
-≤
⎩
的解集是，
把此解集表示在数轴上要注意表示时要注意起始标记为空心圆圈，方向向右；
表示时要注意方向向左，起始的标记为实心圆点，
综上所述C的表示符合这些条件.
故应选C.
2、D
【解析】
根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．【详解】
解: 根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，
A、袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为3
5
，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为1
2
，不符合题意；
C、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为1
4
，不符合题意；
D、先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9的概率为1
3
，符合题意，
故选D．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3、D
【解析】
根据邻补角的定义求出与外角相邻的内角，再根据等腰三角形的性质分情况解答．
【详解】
∵等腰三角形的一个外角是100°，
∴与这个外角相邻的内角为180°−100°=80°，
当80°为底角时，顶角为180°-160°=20°，
∴该等腰三角形的顶角是80°或20°.
故答案选：D.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质.
4、B
【解析】分析：根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式进行计算．
详解：A、a4与a5不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、（2a2b3）2=4a4b6，故本选项正确；
C、-2a（a+3）=-2a2-6a，故本选项错误；
D、（2a-b）2=4a2-4ab+b2，故本选项错误；
故选：B．
点睛：本题主要考查了合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5、A
【解析】
设这种商品每件进价为x元，根据题中的等量关系列方程求解.
【详解】
设这种商品每件进价为x元，则根据题意可列方程270×0.8－x＝0.2x，解得x＝180.故选A.
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是确定未知数，根据题中的等量关系列出正确的方程.
6、D
【解析】
根据直径所对的圆周角为直角可得∠BAE=90°，再根据直角三角形的性质和平行四边形的性质可得解.
【详解】
根据直径所对的圆周角为直角可得∠BAE=90°，
根据∠E=36°可得∠B=54°，
根据平行四边形的性质可得∠ADC=∠B=54°.
故选D
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、圆的基本性质.
7、D
【解析】
分析：根据主视图和俯视图之间的关系可以得出答案．
详解：∵主视图和俯视图的长要相等，∴只有D选项中的长和俯视图不相等，故选D．
点睛：本题主要考查的就是三视图的画法，属于基础题型．三视图的画法为：主视图和俯视图的长要相等；主视图和左视图的高要相等；左视图和俯视图的宽要相等．
8、D
【解析】
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【详解】
由俯视图易得几何体的底面为圆，还有表示锥顶的圆心，符合题意的只有圆锥．
故选D．
【点睛】
本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力以及对立体图形的认识．
9、C
【解析】
延长BC到E使BE＝AD，利用中点的性质得到CM＝1
2
DE＝
1
2
AB，再利用勾股定理进行计算即可解答.
解：延长BC到E使BE＝AD，∵BC//AD，∴四边形ACED是平行四边形，∴DE=AB，∵BC＝3，AD＝1，
∴C是BE的中点，
∵M是BD的中点，
∴CM＝1
2
DE＝
1
2
AB，
∵AC⊥BC，
∴AB＝22
AC BC
＝22
4+3=5，
∴CM＝5
2
，
故选：C．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，勾股定理，解题关键在于作辅助线.
10、D
【解析】
分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式．
【详解】
阴影部分的面积相等，即甲的面积=a2﹣b2，乙的面积=（a+b）（a﹣b）．
即：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
所以验证成立的公式为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
故选：D．
【点睛】
考点：等腰梯形的性质；平方差公式的几何背景；平行四边形的性质．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、（1，﹣3）
【解析】
画出平面直角坐标系，然后作出点P绕原点O顺时针旋转180°的点P′的位置，再根据平面直角坐标系写出坐标即可．
如图所示：
点P（-1，3）绕原点O顺时针旋转180°后的对应点P′的坐标为（1，-3）．
故答案是：（1，-3）．
【点睛】
考查了坐标与图形变化-旋转，作出图形，利用数形结合的思想求解更简便，形象直观．
12、
【解析】
根据概率的公式进行计算即可.
【详解】
从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是.
故答案为：.
【点睛】
考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.
13、16或1
【解析】
题目给出等腰三角形有两条边长为5和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】
（1）当三角形的三边是5，5，6时，则周长是16；
故它的周长是16或1．
故答案为：16或1．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
14、71
【解析】
分析：由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
详解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC=y，则
x2=4y2+52，
∵△BCD的周长是30，
∴x+2y+5=30
则x=13，y=1．
∴这个风车的外围周长是：4（x+y）=4×19=71．
故答案是：71．
点睛：本题考查了勾股定理在实际情况中的应用，注意隐含的已知条件来解答此类题．
15、5 3
【解析】
如图，过C作CD⊥y轴于D，交AB于E．设AB=2a，则BE=AE=CE=a，再设A（x，2
3
x），则B（x，
2
3
x+2a）、
C（x+a，2
3
x+a），再由B、C在反比例函数的图象上可得x（
2
3
x+2a）=（x+a）（
2
3
x+a），解得x=3a，由△OAB的
面积为5求得ax=5，即可得a2=5
3
，根据S△ABC=
1
2
AB•CE即可求解.
【详解】
如图，过C作CD⊥y轴于D，交AB于E．
∵AB ⊥x 轴，
∴CD ⊥AB ，
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴BE=AE=CE ，
设AB=2a ，则BE=AE=CE=a ，
设A （x ，23x ），则B （x ，23x+2a ），C （x+a ，23
x+a ）， ∵B 、C 在反比例函数的图象上，
∴x （23x+2a ）=（x+a ）（23
x+a ）， 解得x=3a ，
∵S △OAB =
12AB•DE=12
•2a•x=5， ∴ax=5，
∴3a 2=5， ∴a 2=
53
， ∴S △ABC =12AB•CE=12
•2a•a=a 2=53． 故答案为：53． 【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．
16、1
【解析】
试题解析:根据题意，得：32560,x x -+-=
解得：1,x =
321,56 1.x x ∴-=-=-
()21 1.±=
故答案为1
【点睛】
：一个正数有2个平方根，它们互为相反数.
三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）21234y x x =
-+；（2）1－4a≤y≤4＋5a ；（3）b ＝2或－10. 【解析】
（1）将P （4，-1）代入，可求出解析式
（2）将（4，-1）代入求得：b=-4a-1，再代入对称轴直线2b x a =-
中，可判断22b x a =->，且开口向上，所以y 随x 的增大而减小，再把x=-1，x=2代入即可求得．
（3）观察图象可得，当0≤x≤1时，抛物线上的点到x 轴距离的最大值为6，这些点可能为x=0，x=1，2b x =-三种情况，再根据对称轴2b x =-
在不同位置进行讨论即可． 【详解】
解：（1）由此抛物线顶点为P （4，-1），
所以y ＝a （x-4）2-1＝ax 2－8ax ＋16a －1，即16a －1＝3，解得a=
14， b=-8a=-2 所以抛物线解析式为：21234
y x x =-+； （2）由此抛物线经过点C （4，－1），
所以 一1＝16a ＋4b ＋3，即b ＝－4a －1．
因为抛物线2(41)3=-++y ax a x 的开口向上，则有0a > 其对称轴为直线412+=
a x a ，而4112222a +==+>a x a 所以当－1≤x≤2时，y 随着x 的增大而减小
当x ＝－1时，y=a+(4a+1)+3=4+5a
当x ＝2时，y=4a-2(4a+1)+3=1-4a
所以当－1≤x≤2时，1－4a≤y≤4＋5a ；
（3）当a ＝1时，抛物线的解析式为y ＝x 2＋bx ＋3 ∴抛物线的对称轴为直线2
b x =-
由抛物线图象可知，仅当x ＝0，x ＝1或x ＝－2b 时，抛物线上的点可能离x 轴最远 分别代入可得，当x ＝0时，y=3
当x=1时，y ＝b ＋4 当x=-2b 时,y=-2
4
b +3 ①当一2
b ＜0，即b ＞0时，3≤y≤b+4， 由b ＋4＝6解得b ＝2 ②当0≤-
2b ≤1时，即一2≤b≤0时，△＝b 2－12＜0，抛物线与x 轴无公共点 由b ＋4＝6解得b ＝2(舍去)；
③当b 12
-> ，即b ＜－2时，b ＋4≤y≤3， 由b ＋4＝－6解得b ＝－10
综上，b ＝2或－10
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，以及最值问题，关键是对称轴在不同的范围内，抛物线上的点到x 轴距离的最大值的点不同．
18、15cm
【解析】
试题分析：设细线OB 的长度为xcm ，作AD ⊥OB 于D ，证出四边形ANMD 是矩形，得出AN=DM=14cm ，求出OD=x-9，在Rt △AOD 中，由三角函数得出方程，解方程即可．
试题解析：设细线OB 的长度为xcm ，作AD ⊥OB 于D ，如图所示：
∴∠ADM=90°，
∵∠ANM=∠DMN=90°，
∴四边形ANMD 是矩形，
∴AN=DM=14cm ，
∴DB=14﹣5=9cm ，
∴OD=x ﹣9，
在Rt △AOD 中，cos ∠AOD=OD AO ， ∴cos66°=9x x
-=0.40， 解得：x=15，
∴OB=15cm ．
19、-1≤x<4,在数轴上表示见解析.
【解析】
试题分析: 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
试题解析:
()223{3x 122
x x +>-≥-①
②， 由①得，x<4；
由②得，x ⩾−1.
故不等式组的解集为：−1⩽x<4.
在数轴上表示为：
20、215.6米．
【解析】
过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点，
根据Rt △ACM 和三角函数tan BDF ∠求出CM 、DN ，然后根据MN MD DN AB =+=即可求出A 、B 两点间的距离.
【详解】
解：过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点
在Rt △ACM 中，∵45ACF ∠=︒，
∴AM=CM=200米，
又∵CD=300米，所以100MD CD CM =-=米，
在Rt △BDN 中，∠BDF=60°，BN=200米
∴115.6tan 60
BN DN =≈米，
∴215.6MN MD DN AB =+=≈米
即A ，B 两点之间的距离约为215.6米．
【点睛】
本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键.
21、（1）13；（2）13
【解析】
（1）根据概率公式计算可得；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合要求的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】
解：（1）由于共有A 、B 、W 三个座位，
∴甲选择座位W 的概率为
13， 故答案为：13
； （2）画树状图如下：
由图可知，共有6种等可能结果，其中甲、乙选择相邻的座位有两种，
所以P （甲乙相邻）=
26=13． 【点睛】
此题考查了树状图法求概率．注意树状图法适合两步或两步以上完成的事件，树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22、（1）15=x ，21x =-；（2）1cot 2
MCB ∠=
【解析】
（1）当y=0，则x 2-4x-5=0，解方程即可得到x 的值.
(2) 由题意易求M ，P 点坐标，再求出MP 的直线方程，可得cot ∠MCB.
【详解】
（1）把0y =代入函数解析式得2450x x --=，
即()()510x x -+=，
解得：15x =，21x =-.
（2）把()6,M m 代入2
45y x x =--得7m =，即得()6,7M ， ∵二次函数245y x x =--，与y 轴的交点为P ，∴P 点坐标为()0,5P -.
设直线MP 的解析式为y kx b =+，代入()0,5P -，()6,7M 得576b k b -=⎧⎨=+⎩解得=5=2b k -⎧⎨⎩
， ∴25y x =-，
∴点C 坐标为5,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 在Rt POC ∆中1cot 2OC OCP OP ∠=
=,又∵OCP MCB ∠=∠ ∴1cot 2
MCB ∠=
. 【点睛】 本题考查的知识点是抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质.
23、 (1) 45°．(1) MN 1=ND 1+DH 1．理由见解析；（3）11.
【解析】
（1）先根据AG ⊥EF 得出△ABE 和△AGE 是直角三角形，再根据HL 定理得出△ABE ≌△AGE ，故可得出∠BAE=∠GAE ，同理可得出∠GAF=∠DAF ，由此可得出结论；
（1）由旋转的性质得出∠BAM=∠DAH ，再根据SAS 定理得出△AMN ≌△AHN ，故可得出MN=HN ．再由∠BAD=90°，AB=AD 可知∠ABD=∠ADB=45°，根据勾股定理即可得出结论；（3）设正方形ABCD 的边长为x ，则CE=x-4，CF=x-2，再根据勾股定理即可得出x 的值．
【详解】
解：（1）在正方形ABCD 中，∠B=∠D=90°，
∵AG ⊥EF ，
∴△ABE 和△AGE 是直角三角形．
在Rt △ABE 和Rt △AGE 中，
AB AG AE AE =⎧⎨=⎩
， ∴△ABE ≌△AGE （HL ），
∴∠BAE=∠GAE ．
同理，∠GAF=∠DAF ．
∴∠EAF=∠EAG+∠FAG=
12
∠BAD=45°． （1）MN 1=ND 1+DH 1．
由旋转可知：∠BAM=∠DAH ，
∵∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．
∴∠HAN=∠MAN ．
在△AMN 与△AHN 中， AM AH HAN MAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AMN ≌△AHN （SAS ），
∴MN=HN ．
∵∠BAD=90°，AB=AD ，
∴∠ABD=∠ADB=45°．
∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°．
∴NH 1=ND 1+DH 1．
∴MN 1=ND 1+DH 1．
（3）由（1）知，BE=EG=4，DF=FG=2．
设正方形ABCD 的边长为x ，则CE=x-4，CF=x-2．
∵CE 1+CF 1=EF 1，
∴（x-4）1+（x-2）1=101．
解这个方程，得x 1=11，x 1=-1（不合题意，舍去）．
∴正方形ABCD 的边长为11．
【点睛】
本题考查的是几何变换综合题，涉及到三角形全等的判定与性质、勾股定理、正方形的性质等知识，难度适中． 24、-1
【解析】
原式利用乘方的意义，特殊角的三角函数值，零指数幂法则计算即可求出值．
【详解】
解：原式＝﹣4+1+1+1＝﹣1．
【点睛】
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。