2017届高三数学(文)二轮复习(通用版)教师用书：大题练规范(六)函数、导数与不等式专练含答案

（六）函数、导数与不等式专练
1．设函数f(x)＝错误!＋2ln x.
(1）讨论函数f（x）的单调性；
（2)如果对所有的x≥1，都有f(x）≤ax，求a的取值范围．解：（1)f（x)的定义域为（0，＋∞)，f′（x)＝错误!，
所以当0<x〈错误!时，f′(x）<0，当x>错误!时，f′(x)>0，故函数f（x)在错误!上单调递减，在错误!上单调递增．
(2)当x≥1时，f（x）≤ax⇔a≥错误!＋错误!,
令h（x）＝2ln x
x＋错误!（x≥1)，
则h′(x）＝错误!－错误!＝错误!,
令m(x）＝x－x ln x－1(x≥1），则m′（x）＝－ln x，
当x≥1时，m′(x）≤0，所以m（x）在［1,＋∞）上为减函数，所以m(x)≤m(1)＝0，因此h′（x)≤0，于是h（x）在［1，＋∞）上为减函数，
所以当x＝1时，h(x）有最大值h(1）＝1,故a≥1，
即a的取值范围是[1，＋∞）．
2．已知函数f(x）＝错误!
（1)求f(x）在区间(－∞，1）上的极小值和极大值点;
（2）求f（x)在区间［－1,e]（e为自然对数的底数）上的最大值．
解:（1)当x〈1时，f′(x）＝－3x2＋2x＝－x（3x－2），
令f′（x）＝0，解得x＝0或x＝错误!。

当x变化时，f′（x）,f(x)的变化情况如下表：
↘
值点为x＝错误!.
(2)①当－1≤x＜1时，由（1)知，函数f（x）在[－1，0）和错误!上单调递减，在错误!上单调递增．
因为f（－1）＝2，f错误!＝错误!，f(0)＝0，
所以f(x)在［－1,1)上的最大值为2。

②当1≤x≤e时，f（x)＝a ln x，
当a≤0时,f（x）≤0；
当a〉0时，f(x）在[1，e]上单调递增．
所以f(x)在［1，e]上的最大值为f(e）＝a.
所以当a≥2时，f（x)在［－1，e］上的最大值为a；当a<2时，f(x）在［－1,e]上的最大值为2。

3．已知函数f(x)＝a＋ln x
x的图象在点（1，f（1)）处的切线与x
轴平行．
(1）求实数a的值及f(x）的极值;
(2）若对任意x1，x2∈［e2,＋∞)，有错误!〉错误!，求实数k的取值范围．
解：(1）由题意得f′(x）＝错误!，f′(1）＝0，解得a＝1。

令f′(x）＝错误!＝0，解得x＝1，
即f（x）有极大值为f(1)＝1.
（2)由错误!>错误!，
可得错误!>k,
令g错误!＝f(x），则g(x)＝x－x ln x，其中x∈(0,e－2]，g′（x）＝－ln x，又x∈（0,e－2］，则g′(x）＝－ln x≥2，
即错误!〉2，
因此实数k的取值范围是(－∞，2]．
4．设函数f(x)＝ln x＋错误!，m∈R.
（1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x）的极小值；
(2）讨论函数g（x)＝f′(x)－错误!零点的个数．
解：（1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋错误!,则f′（x）＝错误!,∴当x∈(0，e）时，f′(x)<0，f(x）在(0，e)上单调递减，
当x∈(e,＋∞)时，f′(x）〉0，f(x）在(e,＋∞）上单调递增，
∴当x＝e时，f（x)取得极小值f（e)＝ln e＋错误!＝2，
∴f(x)的极小值为2.
（2)由题设g(x）＝f′（x)－错误!＝错误!－错误!－错误!（x〉0)，
令g（x）＝0，得m＝－错误!x3＋x（x〉0）．
设φ(x）＝－错误!x3＋x（x≥0），则φ′（x）＝－x2＋1＝－（x －1）(x＋1）,
当x∈（0，1）时,φ′（x）>0，φ(x）在（0，1）上单调递增；
当x∈（1，＋∞）时,φ′（x）<0,φ（x)在（1，＋∞)上单调递减．
∴x＝1是φ（x)的唯一极值点,且是极大值点,因此x＝1也是φ(x)的最大值点,
∴φ(x）的最大值为φ(1)＝错误!.
结合y＝φ(x）的图象（如图)，可知，
①当m>错误!时,函数g(x）无零点;
②当m＝错误!时，函数g（x）有且只有一个零点；
③当0<m<错误!时，函数g（x)有两个零点；
④当m≤0时,函数g（x）有且只有一个零点．
综上所述，当m>错误!时,函数g（x）无零点；当m＝错误!或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0〈m〈错误!时，函数g（x）有两个零点．。