圆锥曲线中焦点三角形的应用

浅谈圆锥曲线中焦点三角形两个性质的应用
无锡市北高级中学 计 巍 214044
在近几年的教学以及高考试题中，发现圆锥曲线中焦点三角形的应用比较多，于是对焦点三角形的一些特征进行一点探究和归纳。

圆锥曲线上一点P 和两个焦点1F ，2F 构成的21PF F ∆称为“焦点三角形”。

1、 关于焦点三角形的两个性质
性质⑴：焦点三角形的面积公式
若1F 、2F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且θ=∠21PF F ，则2
tan 221θb S PF F =∆。

解：设m PF =1，n PF =2，由余弦定理得
222
1224cos 2c F F mn n m ==-+θ①
由椭圆定义得 a n m 2=+② 由①得：θ
θcos 12cos 1)(22
22+=+-=b c a mn ∴2
tan cos 1sin sin 212221θθθθb b mn S PF F =+==∆（Ⅰ）
由此类比双曲线还可得到：
已知1F 、2F 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的两个焦点，P 是双曲线上一点，且θ=∠21PF F ，则
2
c ot 221θb S PF F =∆。

（Ⅱ） 以上两个公式对于焦点在y 轴上的椭圆和双曲线
同样成立。

性质⑵：焦点三角形中的最大顶角
已知1F 、2F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且θ=∠21PF F ，则当点P 为短轴端点B 时角θ最大。

解：设m PF =1，n PF =2
由余弦定理得2221224cos 2c F F mn n m ==-+θ①
由椭圆定义得 a n m 2=+②
12242)(cos 2
22-=--+=∴mn
b mn
c mn n m θ 而n m a +=2≥mn 2，mn ∴≤21a
θcos ∴≥1222
-a
b （Ⅲ），由余弦函数在()π,0上单调递减 当且仅当n m =)(21PF PF =，θcos 取值最小，即点
P 为段轴端点时角θ最大。

当我们比较“清楚地了解”焦点三角形的面积公式，我们的思路就又多了一条。

运用焦点三角形的性质⑴，证明如下：
证：设121θ=∠BF F ，则21PF F ∆、21BF F ∆都是焦点三角形， 故2tan 1221θb S BF F =∆，2tan 221θb S PF F =∆，且)2,0(221π
θθ　、∈ B BF F y c S ⨯⨯=
∆22121≥P PF F y c S ⨯⨯=∆22121 ∴2tan 1
2θb ≥2tan 2θb ，即2
tan 1θ≥2
tan θ )2,0(221πθθ　、∈ ，21θ∴≥2θ即1θ≥θ，当点P 为短轴端点B 时角θ最大。

2、应用举例
例：已知1F 、2F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。

思路一：由题条件可以理解为以焦距21F F 为直径的圆与该椭圆有交点，从解方程角度出发。

（过程略）
思路二：利用焦点三角形性质⑴，从面积角度考虑
不妨设短轴一端点为B
则2245tan 21b b S PF F =︒=∆≤bc b c S BF F =⨯⨯=
∆22
121 b ⇒≤c 2b ⇒≤2c 22c a -⇒≤2c 22
2a
c e =⇒≥21 故 2
2≤e ＜1 思路三：由焦点三角形性质⑵顶角21BF F ∠≥︒=∠9021PF F 12cos 22
21-=∠a
b BF F ≤0cos 21=∠PF F ⇒ 2
2≤e ＜1 例：（2001年全国卷理科第14题）双曲线116
92
2=-y x 的两个焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线上，若21PF PF ⊥，则点P 到x 轴的距离为_________。

思路一：设m PF =1，n PF =2，
由定义62==+a n m ①，
由21PF PF ⊥，21PF F Rt ∆中，则1004222==+c n m ②
②－①２得：32=mn
作x PA ⊥轴于A ，在21PF F Rt ∆中，5
162==c mn PA
思路二：设),(00y x P ，由于点P 在以21F F 为直径的
圆上，要求点P 到x 轴距离，可通过交轨法求
0y 。

由点P 在以21F F 为直径的圆上，252020=+y x ①
由点P 在双曲线上，1449162020=-y x ②
消20x 得2525620=y ，即5
160=y 。

思路三：由焦点三角形性质⑴，利用面积公式
1645cot 162cot
21221=︒=∠=∆PF F b S PF F 又P P PF F y y c S 522121=⨯⨯=∆，5
16=∴P y 小结：发现焦点三角形的解法更简洁明了。

变式：若将问题改换为“当21PF F ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是______”，则可以先求出使21PF PF ⊥时的点P 横坐标，
数形结合即可得到所求问题的解。

2000年高考理科卷中也曾出现类似问题。

练习：
1、若椭圆13
42
2=+y x 的两个焦点1F 、2F ，试问：椭圆上是否存在点P ，使︒=∠9021PF F ？存在，求出点P 坐标；否则说明理由。

2、双曲线14
2
2=-y x 的两个焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线上，若21PF PF ⊥，则点P 到x 轴的距离为_________。

答案：1、不存在；2、554。