高考数学 黄金100题系列 第14题 二次函数 理

第14题二次函数
I ．题源探究·黄金母题
【例1】已知函数)(x f =x x 22-，)(x g =x x 22-（]4,2[∈x ）．
（1）求)(x f ，)(x g 的单调区间； （2）求)(x f ，)(x g 的最小值．
【解析】（1）由题知，)(x f '=)1(2-x ，)(x g '=)1(2-x ，当x ＜1时，)(x f '＜0，当x ＞1时，)(x f '＞0， 当42<<x 时，)(x g '＞0，
∴)(x f 的单调减区间为)1,(-∞，单调增区间为（1，+∞）；
)(x g 的单调增区间为[2，4]．
（2）由（1）知，当1=x 时，)(min x f =)1(f =-1； 当x =2时，)(min x g =)2(g =0． 精彩解读
【试题来源】人教版A 版必修1第39页B 组第1题
【母题评析】本题主要考查利用二次函数的图象研究二次函数的单调性和最值．高考中的许多最值问题最值都可以转化为二次函数在某个区间上的最值问题，故本题是一个典型的二次函数问题．
【思路方法】二次函数问题，常常借助其图象研究函数的单调性、对称性、在某个区间上的值域，借助图象解对应的一元二次不等式和根的分布问题．
II ．考场精彩·真题回放
【例1】【2017高考山东理10】已知当[]0,1x ∈时，函数
()2
1y mx =-
的图象与y m =的图象有且只有一个交
点，则正实数m 的取值范围是 A ．(]
)
0,123,⎡+∞⎣
B ．(][)0,13,+∞
C
．(
)
23,⎡+∞
⎣
D ．(
[)3,+∞
【答案】B
【解析】当01m <≤时，11m ≥，2
(1)y mx =-单调递减，
且2
2
(1)[(1),1]y mx m =-
∈-，y
m =
单调递增，且
[,1]y m m m =∈+，此时有且仅有一个交点；当1m >时，101m <<，2
(1)y mx =-在1[,1]m 上单调递增，∴要有
且仅有一个交点，需2
(1)13m m m -≥+⇒≥，故选B ． 【例2】【2017浙江卷】若函数f (x )=x 2
+ ax +b 在区间[0，
【命题意图】本类题通常主要考查以二次函数为载体考查函数图象、对称性、单调性及最值．．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，往
往与函数的定义域、值域、单调性、最值、方程解或函数零点的个数、解不等式性质
等数学知识结合，难度为容易题题、中档题、也有有难题．
【难点中心】若题目为关于某个函数的二次函数单调性、值域、最值或零点个数问题或可化为关某个函数的方程解得个数问
题，通常用换元法，转化为一元二次函数
或一元二次方程在某个范围上的问题，利用一元二次函数的图象与性质求解，注意新变量的取值范围，对含参数的一元二次函数的最值问题，注意分类讨论结合图象
1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – m （） A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关 【答案】B 【解析】因为最值在
2
(0),(1)1,()24
a a f
b f a b f b ==++-=-中取，∴最值之
差一定与b 无关，选B ．
【例3】【2016高考新课标II 】已知函数f (x )（x ∈R ）满足
f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图象的交点为
（x 1，y 1），(x 2，y 2)，…，（x m ，y m ），则
1
=m
i i x =∑（）
(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 【答案】B
【解析】()2,23y f x y x x ==--都关于1x =对称，∴它们交点也关于1x =对称，当m 为偶数时，其和为22
m
m ⨯
=，当m 为奇数时，其和为1
212
m m -⨯
+=，故选B ． 处理．
III ．理论基础·解题原理 考点一二次函数的概念与表示
1．概念：形如：2
f(x)=ax +bx+c (0)a ≠函数叫二次函数； 2．表达形式有：
（1）一般式：2
f(x)=ax +bx+c (0)a ≠．
（2）顶点式：若(,)m n 为抛物线的顶点坐标．，2
()()f x a x m n =-+
（3）截距式：设12,x x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，则12()()()f x a x x x x =--．． 考点二二次函数图象与性质
考点三二次函数图象与性质的应用 1．一元二次方程的实根分布
1x ，2x 是一元二次方程2ax bx c ++=0的根，设()f x =2ax bx c ++．
充要条对一元二次方程根的分别问题，结合对应函数的图象，考虑对称轴、判别式、端点函数值．IV ．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，往往与分段函数、复合函、方程、不等式等数学知识结合考查函数的值域、零点个数或方程解得个数，难度为中档或中档以上．
【技能方法】
解决此类问题通过分类整合结合化为分段函数，结合函数图象与性质解题，转化化归思想、分类整合思想、数形结合思想是解题的法宝．
【易错指导】
（1）对二次项系数含参数的问题，要分二次项系数大于0小于0两类，结合对应图象处理； （2）对可化为含参数的二次函数在某个区间上的最值问题，要根据对称轴在区间左、中、右分类结合图象求解；
（3）在用换元法化为二次函数或二次方程问题时，注意新变量的取值范围．
（4）对一元二次方程根的分别问题，结合对应函数的图象，考虑对称轴、判别式、端点函数值． V ．举一反三·触类旁通 考向1二次函数概念与表示
【例1】【福建三明一中模拟】如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P 、Q 同时从点B 出发，点P 以1cm/秒的速度沿折线BE-ED-DC 运动到点C 时停止，点Q 以2cm/秒的速度沿BC 运动到点C 时停止．设P 、Q 同时出发t 秒时，△BPQ 的面积为ycm 2
．已知y 与t 的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG 为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），则下列结论:①5AD BE ==；②当05t <≤时，2
45
y t =；
③3cos 5ABE ∠=；④当292
t =秒时，ABE ∆∽QBP ∆；⑤当QBP ∆的面积为24cm 时，时间t 或
51
5
；其中正确的结论是（）
A ．①⑤
B ．②⑤
C ．②③
D ．②④ 【答案】D
【解析】根据图（2）可得，
当点P 到达点E 时点Q 到达点C ，
∵AD ∥BC ，∴∠EBQ =∠AEB ，∴4sin sin 5AB EBQ AEB BE ∠=∠==，∴PF =PBsin ∠EBQ =4
5
t ， ∴当0<t ⩽5时，2114
245225
y BQ PF t t t =
⨯=⨯⨯=，故①正确， 如图3，当t =6秒时，点P 在BE 上，点Q 静止于点C 处．
在△ABE 与△PQB 中，AE =BP ，∠EBQ =∠AEB ，BE =BC ，∴△ABE ≌△PQB (SAS )．故②正确； 如图4，当292T =
时，点P 在CD 上，∴29291104222
PD BE ED =--=--=， 115
822
PQ CD PD =-=-
=，
∴44,33AB BQ AE PQ ==，∴AB BQ AE PQ =，∵∠A =∠Q =90°，∴△ABE ∽△QBP ， 故④正确．
由②知，245y t =
，当y =4时，24
45
t =，从而t =，故⑤错误．故选D ． 【例2】【2017江西上饶一模】已知正方形
的面积为2，点在边
上，则的最小值为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】由面积为2，可知边长为，在正方形中建立坐标系，设
，
所以
，其中
，当
时取得最小值为，选B ．
点睛：平面几何中有关于向量的运算常用到的几何法和坐标法两种方法，几何法在应用时主要是借助于
向量的平行四边形法则与三角形法则实现向量的转化进而结合平面几何图形的性质求解，坐标法的应用首先要建立合适的坐标系，确定相关点的坐标，进而将所求的向量转化为数量问题求解，如本题中的向量的数量积转化为二次函数求最小值问题． 【跟踪练习】
1．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2
p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（） A ．3.50分钟 B ．3.75分钟 C ．4.00分钟 D ．4.25分钟
【答案】
B
2．【2018江苏省南通模拟】已知二次函数()f x 为偶函数且图象经过原点，其导函数()'f x 的图象过点
()12，
． （1）求函数()f x 的解析式；
（2）设函数()()()'g x f x f x m =+-，其中m 为常数，求函数()g x 的最小值． 【答案】（1）()2
f x x =；（2）1m -
【解析】试题分析：（1）利用待定系数法依题意可设()()2
0f x ax bx a =+≠，根据该函数为偶函数可得
0b =，根据导函数()'f x 的图象过点()12，，可得()2
f
x x =
；（2）由（1）可得：
()2222{ 22
m x x m x g x m x x m x -+<
=+-≥，，
，，
根据二次函数的性质分为12m
<-，112m -≤≤和12
m >三种情形判断其
单调性得其最值．
（2）据题意，()()()2'2g x f x f x m x x m =+-=+-
①若
12m <-，即2m <-，当2m x <时，()()22211g x x x m x m =-+=-+-，故()g x 在2m ⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭，上
单调递减；当2m x ≥
时，()()22211g x x x m x m =+-=+--，故()g x 在12m ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
上单调递减，在()1-+∞，
上单调递增，故()g x 的最小值为()11g m -=--． ②若112m -≤
≤，即22m -≤≤，当2m x <时，()()211g x x m =-+-，故()g x 在2m ⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭，上单调递
减；当2m x ≥
时，()()211g x x m =+--，故()g x 在2m ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，
上单调递增，故()g x 的最小值为2
24m m g ⎛⎫= ⎪⎝⎭
．
③若
12m >，即2m >，当2m x <时，()()2
2211g x x x m x m =-+=-+-，故()g x 在()1-∞，
上单调递减，在12m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，上单调递增；当2m x ≥
时，()()22
211g x x x m x m =+-=+--，故()g x 在2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，
上单调递增，故()g x 的最小值为()11g m =-．
综上所述，当2m <-时，()g x 的最小值为1m --；当22m -≤≤时，()g x 的最小值为2
4
m ；当2
m >时，()g x 的最小值为1m -．
考向2二次函数图象与性质（奇偶性、单调性、对称性等）
【例3】【2018山西45校第一次联考】函数x
y a = (0a >且1a ≠)与函数()2
12y a x x =--在同一坐
标系内的图象可能是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的指数函数、二次函数的图象与性质，属于中档题．这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循．解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及
0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除．
【例4】【2017河北武邑中学二模】已知函数，其中
．若函数
的最大值记为，则
的最小值为（） A ．
B ．1
C ．
D ．
【答案】D
【
解
析
】
，
设，
即
，对称轴
，
所以函数的最大值是，，，解得，当
时，当时，，所以当时函数取得最小值，所以最小值
是，故选D．
【例5】【2018江苏如皋联考】已知函数()21
f x x x
=++，[]
1,3
x∈-，则函数()
f x的最大值是__________．
【答案】13
【解析】由二次函数的对称轴方程为
1
2
x=-且图象开口向上知，当3
x=时函数有最大值()3=13
f，故填13．
【例6】【2017天津十二重点中学联考】若函数()()()
22
2
f x x x x ax b
=+-++是偶函数，则()
f x的最小值为（）
A．
9
4
B．
11
4
C．
9
4
- D．
11
4
-
【答案】C
【跟踪练习】
1．【2017山东日照二模】函数()()()
2
f x x ax b
=-+为偶函数，且在()
0,+∞单调递增，则()
20
f x
->
的解集为（）
A．{|22}
x x
-<< B．{2,2}
x x x<-
或C．{|04}
x x
<< D．{4,0}
x x x<
或
【答案】D
【解析】函数()()
222
f x ax b a x b
=+--为偶函数，则20
b a
-=，故()()()
2422
f x a x a a x x
=-=-+
，因为在()
0,+∞单调递增，所以0
a>．根据二次函数的性质可知，不等式()
20
f x
->的解集为{2222}{|04}
x x x x x x
--<-=
或或，故选D
2．已知)
(x
f是定义在R上的奇函数，当0
≥
x时，x
x
x
f3
)
(2-
=，则函数3
)
(
)
(+
-
=x
x
f
x
g的零点的集合为（）
A ．{1,3}
B ．{3,1,1,3}-- C
．{2,3} D
．{2,3}- 【答案】D
【解析】因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 3)(2
-=，
∴⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-=0,30,3)(22x x x x x x x f ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<+--≥+-=0
,340
,34)(2
2x x x x x x x f ，
由⎩⎨
⎧=+-≥0
3402
x x x 解得1=x 或3；由⎩⎨
⎧=+--<0
340
2
x x x 解得72--=x ，
∴函数3)()(+-=x x f x g
的零点的集合为{2,3}-，故选D ．
3．已知函数2
()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为．
【答案】(2
-
4．【2016高考浙江卷】已知函数f （x ）=x 2
+bx ，则“b <0”是“f （f （x ））的最小值与f （x ）的最小值相等”的（） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意知22
2()()24
=+=+-b b f x x bx x ，最小值为24-b ．
令2
=+t x bx ，则22
2
2(())()(),244
==+=+-
≥-b b b f f x f t t bt t t ， 当0<b 时，(())f f x 的最小值为2
4
-b ，∴“0<b ”能推出“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相
等”；
当0=b 时，4
(())=f f x x 的最小值为0，()f x 的最小值也为0，∴“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”不能推出“0<b ”．故选A ．
5．【2016高考山东卷】已知函数2||,
()24,x x m f x x mx m x m
≤⎧=⎨-+>⎩其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方
程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________． 【答案】()3,+∞
【解析】画出函数图象如下图所示：
由图所示，要()f x b =有三个不同的根，需要红色部分图象在深蓝色图象的下方，即
2224,30m m m m m m m >-⋅+->，解得3m >
考向3 与二次函数有关的零点及方程个数问题 【例7】【2017安徽合肥一模】已知函数，
．方程
有六个不同的实数解，则的取值范围是（） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【例8】【2017重庆巴蜀中学模拟】若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【例9】【2016高考天津卷】已知函数2(43)3,0
()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩
且在R 上单调递减，且
关于x 的方程|()|23
x
f x =-
恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_________． 【解析】由函数()f x 在R 上单调递减得43020131
a a a -⎧-≥⎪⎪<<⎨⎪≥⎪⎩
，解得1334a ≤≤，又方程|()|23x
f x =-恰有两个不
相等的实数解，∴121
32,1637
a a a <-≤⇒>≥，因此a 的取值范围是12[,)33
【跟踪练习】
1．【2017南京、盐城二模】若函数f (x )＝x 2
－m cos x ＋m 2
＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为_______． 【答案】
{2}
2．【2015高考天津卷】已知函数()()2
2,2,
2,2,
x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩函数()()2g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是( )
（A ）7,4⎛⎫+∞
⎪⎝⎭（B ）7,4⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭（C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】由()()22,2,2,2,
x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得2
22,0
(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， ∴222,0()(2)42,
0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪
=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩
， 即222,0()(2)2,
0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪
=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩
()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--，∴()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程
()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共
点，由图象可知7
24
b <<． 3．已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,2
20
,452x x x x x x f 若函数x a x f y -=)(恰有4个零点，则实数a 的取值范围为
_______ 【答案】(1,2) 【解析】
x
o
4．已知函数()23f x x x =+，x R Î．若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】()
()0,19,+∞．
【解析】方法一：在同一坐标系中画()23f x x x =+和()1g x a x =-的图象（如图），问题转化为()f x 与()g x 图象恰有四个交点．当()1y a x =-与2
3y x x =+（或()1y a x =--与2
3y x x =--）相切时，()f x 与()g x 图象恰有三个交点．把()1y a x =-代入2
3y x x =+，得()231x x a x +=-，即
()230x a x a +-+=，由0D =，得()2
340a a --=，解得1a =或9a =．又当0a =时，()f x 与()g x 仅两个交点，01a ∴<<或9a >．
考向4 二次函数零点（一元二次方程根）的分布问题
【例10】【2017河北衡水中学模拟】已知二次函数()2
f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和
()1,0-内，则()3f 的取值范围是（）
A ．()12,20
B ．()12,18
C ．()18,20
D ．()8,18 【答案】A
，而()393f b c =++，所以直线()393f b c =++过C 取最大值20，过B 点取最小
值12，()3f 的取值范围是()12,20，选A ．
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，【例11】【2018浙江“七彩阳光”联盟上学期期初联考】设关于x 的方程220x ax --=和
210x x a ---=得实根分别为12,x x 和34,x x ，若1324x x x x <<<，则a 的取值范围是__________．
【答案】11a -<<．
【解析】由220x ax --=得2
a x x
=-
，由210x x a ---=得21a x x =--．在同一个坐标系中画出2y x x =-和21y x x =--的图象．由22
1x x x x
-=--，化简得32220x x x --+=，此方程显然有根
2x =，所以()()()32221120x x x x x x --+=+--=，解得1x =-或1x =或2x =，当2x =，或1x =-时，1y =；当1x =时，1y =-，由题意可知，11a -<<．目标函数的最大或最小值会在可行
域的端点或边界上取得． 【跟踪练习】
1．若一元二次方程kx 2
＋3kx ＋k －3＝0的两根都是负数，则k 的取值范围为________． 【答案】(－∞，－12
5
]∪(3，＋∞)
2．一元二次方程kx 2
＋3kx ＋k －3＝0有一个正根和一个负根，则k 的取值范围为________． 【答案】(0，3)
【解析】依题意有k －3
k
<0⇒0<k<3．
3．已知方程x 2
－11x ＋m －2＝0的两实根都大于1，则m 的取值范围为________． 【答案】12<m ≤129
4
【解析】由题意得应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，
112>1，f （1）>0
即⎩⎪⎨⎪⎧112－4（m －2）≥0，
m －12>0
解得12<m ≤129
4
．
4．已知方程x 2
＋2mx ＋2m 2
－3＝0有一根大于2，另一根比2小，则m 的取值范围为________． 【答案】－1－
22<m<－1＋22
【解析】由题意得，应满足f （2）<0，即2m2＋4m ＋1<0，解得：－1－
22<m<－1＋2
2
． 5．若方程x 2
＋(k ＋2)x －k ＝0的两实根均在区间(－1，1)内，则k 的取值范围为________． 【答案】－4＋23≤k<－1
2
【解析】由题意得，应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，
－1<－k ＋22<1，
f （－1）>0，f （1）>0.
解得：－4＋2
3≤k<－1
2
．
6．若方程x 2
＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则k 的取值范围为________． 【答案】12<k<2
3
7．【2017浙江名校协作体】已知()()2
,,0f x ax bx c a b R a =++∈≠．
（1）当1,2a b ==时，若恰好存在两个实数()1212,x x x x ≠使得()()21,2i f x i ==，求实数c 的取值范围；
（2）若0a >，函数()f x 在[]
5,2--上不单调，且它的图象与x 轴相切，记()()22f b a λ=-，求实
数λ的取值范围．
【答案】（1）13c -<<；（2）[
)6,8
【解析】试题分析：（1）2
|2|2x x c ++=有两个解，由图象可知222x x c ++=有两个不等的根且
2
22x x c ++=-无根，所以总判别式120
{ 0
∆>∆<，解不等式可解．
（2）由题意可得0∆=，2
24b c a =，对称轴在5,2--（）内，解得
2
410{ 0
4b
a b c a <
<=>，由
()()
22f b a λ=-，得
22
2
42424244222b b b a b a b c a a a b b a b a a
λ++++++==
=---，令2b t a -=可求得范围． 试题解析：可得方程222x x c ++=有两个不等的根且222x x c ++=-无根，所以可得
()()124420{
134420
c c c ∆=-->∴-<<∆=-+<
（2）由0a >，函数()f x 在[]5,2--上不单调，且它的图象与x 轴相切，可得2
522400b a b ac a ⎧
-<-<-⎪⎪⎪∆=-=⎨⎪>⎪⎪⎩
即241004b a b c a ⎧<<⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩
，由()()22f b a λ=-得22
242424244222
b b b a b a b
c a a a b b a b a a λ++++++===---，令2,28b
t t a
-=∴<<，且()()[)2
211422239194436,84t t t t t t t t
λ+++
+++===++∈ 考向5 含参数的二次函数问题
【例12】【2018江西九江模拟】若x R ∀∈，函数()()2
2241f x mx m x =--+与()g x mx =的值至少
有一个为正数，则实数m 的取值范围为（） A ．（0，4] B ．（0，8） C ．（2，5） D ．
【答案】B
点睛：抓住最高次项的系数m ，m ＜0时，()g x 在y 轴右侧恒小于零，m ＞0时，()g x 在y 轴右侧恒大于零，从而把问题转化为二次函数值在y 轴一侧恒大于零或恒小于零的问题，充分借助二次函数的图象特征，问题将迎刃而解．
【例13】【2018
浙江名校协作体】y =[
)0,+∞，则a 的取值范围是（） A ．()2,+∞ B ．()(),12,-∞-⋃+∞ C ．[]1,2- D ．[]
0,2 【答案】D
【解析】由值域为[
)0,+∞，可知2t 241ax x a =++-取遍[
)0,+∞上的所有实数，当0a =时，41t x =-能取遍[
)0,+∞上的所有实数，只需定义域满足1
,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
，当0a ≠时，要保证t 能取遍[
)0,+∞上的所有
实数，只需()0
{
16810
a a a >∆=--≥，解得02a <≤，所以02a ≤≤，选D ．
【点睛】本题要注意定义域是R ，与值域是为[
)0,+∞的两个题型的区别， 值域为[
)0,+∞，可知2t 241ax x a =++-取遍[
)0,+∞上的所有实数， 定义域是R ，是2241ax x a ++-0≥恒成立．
【例14】【2018甘肃兰州西北师范大学附属中学高三调研】已知函数()2
4g x x bx =-+
（1）求()g x 在区间[]
1,2的最小值()g b 的表达式； （2）设()13
ln 144f x x x x
=-+-，任意()10,2x ∈，存在[]21,2x ∈，使()()12f x g x ≥，求实数b 的取值范围．
【答案】（1）()25,2
{4,24 482,4
b b b g b b b b -≤=-<≤->；
（2）b 的取值范围是17,4⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
试题解析：（1）当
1,b 22
b
≤≤即时，()()min g x 15g b ==- 当12,2b 42b <≤<≤即时，()2min g x 424b b g ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
当
2,b 42
b
>>即时，()()min g x 282g b ==- ()2
5,2
{4,24 4
82,4
b b b g b b b b -≤∴=-<≤->
（2）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()2231113
444x x f x x x x
--'=--=- 令()0f x '>，则13x <<
令()0f x '<，则01x <<或3x >，可知函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递增，所以对任意的()10,2x ∈，有()()1111
1l n 111442
f
x f ≥
=-+-
-=-，由条件知存在[]21,2x ∈，使()()12f x g x ≥，
所以()212g x ≤-，即存在[]21,2x ∈，使得()212
g x ≤- 分离参数即得到92b x x ≥+在[]1,2x ∈时有解，由于9
2t x x
=+（[]1,2x ∈）为减函数，故其最小值
为174
，
从而174b ≥
，所以实数b 的取值范围是17,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
． 【例15】【2017湖北沙市中学、恩施高中、郧阳中学高一下学期阶段性联考】若不等式
()
()2
234410a
a x a x -----<的解集为R ，则实数a 的取值范围是（）
A ．[]0,4
B ．()0,4
C ．[)0,4
D ．(]
0,4 【答案】D
【跟踪练习】
1．【2017浙江台州高三4月调研】已知
，若对任意的
，不等式
恒成立，则实数的取值范围是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
，
恒成立，
在
恒成立，只需满足，故选A ．
【点睛】本题考查了在给定区间二次函数恒成立的问题，结合二次函数的图象，列不等式组，得到结果，一般包含判别式大于0，对称轴的位置，以及端点值的范围这几个不等式，但可以根据实际情况，删减不等式．
2．【2018河南洛阳模拟】已知函数()2
f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数，求实数k 的取值范围为．
【答案】4k ≤或8k ≥．
3．【2015高考湖北卷】a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a ．当a =_________时，()g a 的值最小．
【答案】2-．
【解析】因为函数2()||f x x ax =-，∴分以下几种情况对其进行讨论：①当0a ≤时，函数
22()||f x x ax x ax =-=-在区间[0,1]上单调递增，∴max ()(a)1f x g a ==-；②当02a <<-时，此时
22()|()|2224a a a a f a =-⨯=，(1)1f a =-，而22(2)(1)2044
a a a +--=-<，∴max ()(a)1f x g a ==-；③当
21a ≤<时，22()||f x x ax x ax =-=-+在区间(0,)2a 上递增，在(,1)2a 上递减．当2
a
x =时，()f x 取
得最
大值2
()24
a a f =；④当2a ≥时，22()||f x x ax x ax =-=-+在区间[0,1]上递增，当1x =时，()f x 取得最
大值(1)1f a =-
，则21,2
()224
1,2a a a
g a a a a ⎧-<⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩
在(2)-∞
上递减，2,)+∞上递增，即当
2a =时，()g a
的值最小．故应填2．
4．【2018贵州思南中学模拟】已知函数()2
f x x kx =-+．
（1）若2k =，求函数()f x 在[]
0,3上的最小值；
（2）若函数()f x 在[]
0,3上是单调函数，求k 的取值范围． 【答案】（1）3-；（2）()[
),06,-∞⋃+∞．
【解析】试题分析：（1）()()[]2
22,211,0,3k f x x x x x ==-+=--+∈，对称轴为1x =，所以当3x =时，()f x 取得最小值3-；
（2）函数()f x 在[]
0,3上是单调函数，等价于对称轴在区间()0,3两侧，即02k ≤或32
k
≥，解得0k ≤或6k ≥． 试题解析： （1）
()()[]2
22,21 1.
0,3,k f x x x x x =∴=-+=--+∈∴由二次函数图象性质可知，当3x =时，
()f x 取得最小值3-．
（2）
函数()2
f x x kx =-+在区间[]
0,3上是单调函数，∴函数()2
f x x kx =-+的对称轴2
k
x =
不在区间()0,3内．即
02k ≤或3,02
k
k ≥∴≤或6k ≥，故k 的取值范围为(][),06,-∞⋃+∞． 考向6 与二次函数有关的复合函数问题 【例16
】函数2()log )f x x =的最小值为_________．
【答案】14
-
【例17】【2018浙江省名校协作体联考】已知函数()2
21f x ax x =++，若对任意(),0x R f f x ⎡⎤∈≥⎣⎦恒
成立，则实数a 的取值范围是___．
【答案】a ≥
【解析】当0a =时，f(x)=2x+1，f[f(x)]=4x+3不满足大于等于0恒成立，不符．
当0a <时，()2
11111f x a x a a a ⎛
⎫=++-≤- ⎪⎝⎭
，令()11t f x a =≤-所以()()f f x f t ⎡⎤=⎣⎦一定有负值，不满足大于等于0恒成立不符．
当0a >时，()2
11111f x a x a a a ⎛
⎫=++-≥- ⎪⎝⎭，令()11t f x a =≥-所以()()f f x f t ⎡⎤=⎣⎦对称轴为111t a a =-
<-，所以f(t)在11,t a ⎡⎫
∈-+∞⎪⎢⎣⎭单调递增，即()min 11110f t f a a a ⎛⎫=-=+-≥ ⎪⎝⎭即可，解
得a ≥
，填a ≥
【例18】【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学第一次调研】设函数
()()()2
2
2,4
f x x
g x f x ⎡⎤=--=-⎣
⎦ （1）求函数()g x 的解析式；
（2）求函数()g x 在区间[]
,2m m +上的最小值()h m ；
（3）若不等式()
()2422g a a g -+≤恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）424x x +；（2）()
()4
2
42242,2
{
0,20 4,0
m m m m m m m +++≤--<<+≥；（3）[]0,4．
试题解析：（1）()()
2
2
422
44g x x x x =---=+．
（2）
()()g x g x -=，()g x ∴为偶函数，()3'48g x x x =+，
故函数在(],0-∞单调递减，在[
)0+∞，单调递增，
①当20m +≤，即2m ≤-时，()g x 在区间[]
,2m m +单调递减，
()()()()42
2242h m g m m m ∴=+=+++．
②当0m ≥时，()g x 在区间[]
,2m m +单调递增，()()4
2
4h m g m m m ∴==+．
③当20m -<<时，()g x 在区间[],0m 单调递减，在区间[]
0,2m +单调递增， ()()00
h m g ∴==．综上：．
（3）()g x 为偶函数，在(],0-∞单调递减，在[
)0+∞，单调递增 ()
()()
()22422422g a a g g a a g ∴-+≤⇔-+≤． 2422a a ⇔-+≤，2242204a a a ⇔-≤-+≤⇔≤≤
所以不等式的解集为[]
0,4． 【跟踪练习】
1．已知函数2
()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值． （1）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；
（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值．
（2）由(,)2M a b ≤得|1||(1)|2a b f ++=≤，|1||(1)|2a b f -+=-≤，故||3a b +≤，||3a b -≤，由
||,0||||||,0
a b ab a b a b ab +≥⎧+=⎨
-<⎩，得||||3a b +≤，当2a =，1b =-时，||||3a b +=，且2
|21|x x +-在[1,1]-上的最大值为2，即(2,1)2M -=，∴||||a b +的最大值为3．．
2．【2017湖北浠水模拟】已知二次函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈对任意实数x ，都有
()()2
114
x f x x ≤≤
+恒成立． （Ⅰ）证明：()11f =；
（Ⅱ）若()10f -=，求()f x 的表达式； （Ⅲ）在题（Ⅱ）的条件下设()()[),0,2m g x f x x x =-∈+∞，若()g x 图象上的点都位于直线3
4
y =-的上方，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）()2111
424
f x x x =
++；
（Ⅲ）(),3m ∈-∞． 【解析】试题分析：（1）令1x =即可得解； （2）由()11f =，()10f -=求得11,22b a c =
+=，
即1
2
c a =-，再由二次不等式恒成立的条件为a >0，判别式非正，即可得到a ，c ，进而得到解析式； （3）由题意知()()21113
2422
44
m m g x f x x x x ⎛⎫
=-
=+-+>- ⎪⎝⎭在[
)0,+∞上恒成立，即
()22140x m x +-+>在
[)0,+∞上恒成立，结合二次函数判别式求解即可．
对任意实数x ，都有()f x x ≥，即为211
022
ax x a -
+-≥恒成立， 则有2
{
114022a a a >⎛⎫⎛⎫
∆=---≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2
{ 1202a a >⎛⎫-≤ ⎪
⎝
⎭， 所以111
,424
a c a =
=-=， 所以()2111
424
f x x x =++，经检验，符合题意．
（Ⅲ）由题意知()()21113
242244
m m g x f x x x x ⎛⎫
=-
=+-+>- ⎪⎝⎭
在[
)0,+∞上恒成立，即
()22140x m x +-+>在
[)0,+∞上恒成立，即()()2214h x x m x =+-+． （ⅰ）由0∆<，即()2
21440m ⎡⎤--⨯<⎣⎦，解得13m -<<；
（ⅱ）由()
()0
21{0 2
040
m h ∆≥--
≤=>，解得1m ≤-，综上可知，(),3m ∈-∞．
法2：由题意知()()21113242244m m g x f x x x x ⎛⎫
=-=+-+>- ⎪⎝⎭
在[)0,+∞上恒成立． （ⅰ）当0x =时，()13
044
g =
>-成立；
（ⅱ）当0x >时，()244
21x m x x x
+-<=+在()0,x ∈+∞上恒成立，又当0x >时，
44x x +≥=（当且仅当2x =时取得最小值），所以()214m -<，解得(),3m ∈-∞． 点集：解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围．一般地，f(x)≥a 恒成立，只需()min f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需
()max f x a ≤即可．
（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解．。