吉林省白城市第一中学高考数学压轴专题《平面向量及其应用》难题汇编百度文库

一、多选题
1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列
ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +>
B ．若a b >，则cos2cos2A B <
C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径
D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=
2．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，
2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）
A ．//P
B CQ B ．2133
BP BA BC =
+ C ．0PA PC ⋅<
D ．2S =
3．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =
B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22
()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足2
2
2
a b
a b +=+，则a 与b 垂直
D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是
2
π
4．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）
A ．()
a c
b
c a b c ⋅-⋅=-⋅ B ．()
()
b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直 C ．a b a b -<-
D ．(
)()
22
323294a b a b a b +⋅-=- 5．下列结论正确的是（ ）
A ．在ABC 中，若A
B >，则sin sin A B >
B ．在锐角三角形AB
C 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形
D ．在ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S = 6．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b
C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立
D ．在ABC 中，
sin sin sin +=+a b c
A B C
7．下列结论正确的是（ ）
A ．已知a 是非零向量，b c ≠，若a b a c ⋅=⋅，则a ⊥（-b c ）
B ．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a 在b 上的投影向量为
12
b C ．点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 是△ABC 的外心 D ．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形
8．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（ ）
A B ．61
C ．41
D ．9．设向量a ，b 满足1a b ==，且25b a -=，则以下结论正确的是（ ） A ．a b ⊥
B ．2a b +=
C ．2a b -=
D ．,60a b =︒
10．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．()10,0e =，()21,1=e B ．()11,2e =，()22,1e =-
C ．()13,4e =-，234,55⎛⎫=-
⎪⎝⎭
e D ．()12,6=e ，()21,3=--e
11．设a 为非零向量，下列有关向量
||
a
a 的描述正确的是（ ） A ．|
|1||
a a =
B ．
//||
a a a
C ．
||
a a a =
D ．
||||
a a a a ⋅=
12．（多选）若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ） A ．()12,e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量
B ．对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ有无数多对
C ．1λ，1μ，2λ，2μ均为实数，且向量1112e e λμ+与2212e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使()
11122122e e e e λμλλμ+=+
D ．若存在实数λ，μ，使120e e λμ+=，则0λμ==
13．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（ ）
A ．A
B D
C =
B ．AB D
C =
C ．AB DC >
D ．BC AD ∥
14．下列命题中正确的是( )
A ．对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-
B ．对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-
C ．若()ma mb m =∈R ,则有a b =
D ．若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =15．题目文件丢失！
二、平面向量及其应用选择题
16．已知20a b =≠，且关于x 的方程2
0x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的
取值范围是( )
A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
17．下列命题中正确的是（ ） A ．若a b ，则a 在b 上的投影为a B ．若(0)a c b c c ⋅=⋅≠，则a b =
C ．若,,,A B C
D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件 D ．若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角为锐角；若0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角 18．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若
lg lg lg sin lg 2a c B -==-，且0,2B π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则ABC 的形状是（ ）
A ．等边三角形
B ．锐角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
19．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()
20BC OB OC OA ⋅+-=，则
ABC 一定为（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．钝角三角形
20．下列说法中说法正确的有（ ）
①零向量与任一向量平行；②若//a b ，则()a b R λλ=∈；
③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅④||||||a b a b +≥+；⑤若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
A ．①④
B ．①②④
C ．①②⑤
D ．③⑥
21．设θ为两个非零向量,a b →→
的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →
→
-的最小值为1，则（ ）
A ．若θ确定，则||a →
唯一确定 B ．若θ确定，则||b →
唯一确定 C ．若||a →
确定，则θ唯一确定
D ．若||b →
确定，则θ唯一确定
22．已知,a b 是两个单位向量，则下列等式一定成立的是( ) A ．0a b -=
B ．1a b ⋅=
C ．a b =
D ．0a b ⋅=
23．ABC ∆内有一点O ，满足3450OA OB OC ++=，则OBC ∆与ABC ∆的面积之比为（ ） A ．1:4
B ．4:5
C ．2:3
D ．3:5
24．在ABC ∆中，已知2AB =，4AC =，若点G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则
()AG AW BC +⋅=（ ）
A ．4
B ．6
C ．10
D ．14
25．在ABC 中，若A B >，则下列结论错误的是（ ）
A ．sin sin A
B >
B ．cos cos A B <
C ．sin2sin2A B >
D ．cos2cos2A B <
26．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（ ）
A ．1233A
B A
C -
+ B ．
21
33
AB AC - C ．1233
AB AC -
D ．21
33
AB AC -
+ 27．在△ABC 中，M 为BC 上一点，60,2,||4ACB BM MC AM ∠=︒==，则△ABC
的面积的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．12
D ．
28．在ABC ∆中，601ABC A b S ∆∠=︒=，，则2sin 2sin sin a b c
A B C
-+-+的值等于
（ ）
A B C D ．29．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a CA b ==，，AB c =，则①AD ＝－b －
12a ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋1
2
b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
30．在ABC ∆中，下列命题正确的个数是（ ）
①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC ∆的内心，且
()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆为等腰三角形；④0AC AB ⋅>，则
ABC ∆为锐角三角形．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
31．在ABC ∆中，2,2,120,,AC AB BAC AE AB AF AC λμ==∠===，M 为线段EF 的中点，若1AM =，则λμ+的最大值为（ ） A ．
73
B ．
27
3
C ．2
D ．
21 32．已知1a b ==，1
2
a b ⋅=
，(),1c m m =-，(),1d n n =-(m ，n R ∈).存在a ，b ，对于任意实数m ，n ，不等式a c b d T -+-≥恒成立，则实数T 的取值范围为
（ ） A ．(
,32⎤-∞+⎦
B ．)
32,⎡++∞⎣
C ．(
,32⎤-∞-⎦
D ．)
32,⎡-+∞⎣
33．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2c A a C c +=且
a b =，则cos B 等于（ ）
A ．
15
4
B ．
14
C ．
3 D ．
3 34．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，
BC 3EC =，F 为AE 的中点，则BF ＝（ ）
A ．21
33AB AD - B ．
12
33AB AD - C ．21
33
AB AD -+ D ．12
33
AB AD -
+ 35．在ABC ∆中，设2
2
2AC AB AM BC -=⋅，则动点M 的轨迹必通过ABC ∆的（ ） A ．垂心
B ．内心
C ．重心
D ． 外心
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一、多选题
1．ABD 【分析】
对于A ，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【 解析：ABD 【分析】
对于A ，利用A B π+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由a b >，可得
sin sin A B >，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用in 1
2
s S ab C =和正弦定
理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】
对于A ，∵A B π+<，∴0A B ππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得
()cos cos cos A B B π>-=-，∴cos cos 0A B +>，故A 正确；
对于B ，若sin sin a b A B >⇔>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即
cos2cos2A B <，故B 正确；
对于C ，2
11sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22
S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅⋅=，故C 错
误；
对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan tan tan tan 1tan tan B C
A B C B C
+=-+=--⋅，则
tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．
2．BCD 【分析】
本题先确定B 是的中点，P 是的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确；
再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出，故选项D 正确. 【详解】 解：因为，，
所以B 是的中点，P 是的
解析：BCD
【分析】
本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】
解：因为20PA PC +=，2QA QB =，
所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；
因为()
121
333
BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+
-=+，故选项B 正确； 因为
11
2223132
APQ ABC
AB h
S S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.
3．CD 【分析】
对于A 由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题. 【详解
解析：CD 【分析】
对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出
()
()()
2
2
2
a b a b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题
是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2
π
，所以该命题是真命题. 【详解】
对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题；
对于B ，()(
)
2
2
2
2
2cos cos a b
a b a b α
α⋅==，而()()2
2
2
2
a b
a b ⋅=，
由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以(
)
()()
2
2
2
a b a b ⋅≠⋅，
所以该命题是假命题；
对于C ，若非零向量a 、b 满足2
2
2
a b
a b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以
0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；
对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2
π
，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.
4．ACD 【分析】
A ，由平面向量数量积的运算律可判断；
B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；
C ，由与不共线，可分两类考虑：①若，则显然成立；②若，由、、构成三角形的三边可进行判断；
D ，由平
解析：ACD 【分析】
A ，由平面向量数量积的运算律可判断；
B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；
C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；
D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】
选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确； 选项B ，
()()()()()()()()
0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦
， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误；
选项C ，∵a 与b 不共线，
∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；
若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：
由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；
选项D ，()()
22
223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD 【点睛】
本小题主要考查向量运算，属于中档题.
5．AB 【分析】
由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】
中，，由得，A 正确； 锐角三角形中，，∴，B 正确； 中，
解析：AB 【分析】
由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】
ABC 中，A B a b >⇔>，由
sin sin a b A B
=得sin sin A B >，A 正确； 锐角三角形ABC 中，222
cos 02b c a A bc
+-=>，∴2220b c a +->，B 正确；
ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错； ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积33S =11
sin 3sin 603322
S bc A c ==⨯︒=4c =，∴2222cos 13a b c bc A =+-=，
13a =，
∴2sin sin 603a R A =
==
︒，3
R =，D 错． 故选：AB ． 【点睛】
本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，三角形面积公式等，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．
6．ACD 【分析】
对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ，故该选项正确； 对于B ，由题得A ＝B 或2A+2B ＝π，即得a ＝b 或a2+b2＝c2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中
解析：ACD 【分析】
对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确； 对于B ，由题得A ＝B 或2A +2B ＝π，即得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确； 对于D ，由正弦定理可得右边＝2sin 2sin 2sin sin R B R C
R B C
+=+＝左边，故该选项正确.
【详解】
对于A ，由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===，可得a ：b ：c ＝2R sin A ：2R sin B ：2R sin C ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；
对于B ，由sin2A ＝sin2B ，可得A ＝B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B ＝2
π
，∴a ＝b 或a 2+b 2
＝c 2，故该选项错误；
对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；
对于D ，由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===，可得右边＝2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C
R B C B C ++==++＝左边，故该选项正确.
故选：ACD. 【点睛】
本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7．ABD 【分析】
利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分
析，即可容易判断选择.
【详解】
对：因为，又，故可得，
故，故选项正确；
对：因为||＝1，||＝2，与的夹角为
解析：ABD
【分析】
利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.
【详解】
对A ：因为()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅，又a b a c ⋅=⋅，故可得()0a b c ⋅-=， 故()a b c ⊥-，故A 选项正确；
对B ：因为|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，故可得1212
a b ⋅=⨯=. 故a 在b 上的投影向量为12a b b b b ⎛⎫⋅ ⎪= ⎪⎝⎭
，故B 选项正确； 对C ：点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 为三角形ABC 的重心，
故C 选项错误；
对D ：不妨设()()()()1,1,2,3,6,1,5,1A B C D -， 则()()()1,24,25,0AB AD AC +=+-==，故四边形ABCD 是平行四边形； 又()14220AB AD ⋅=⨯+⨯-=，则AB AD ⊥，故四边形ABCD 是矩形.
故D 选项正确；
综上所述，正确的有：ABD .
故选：ABD .
【点睛】
本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属综合中档题.
8．AB
【分析】
在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解.
【详解】
中，因为，，面积，
所以，
所以，解得或，
当时，由余弦定理得：，
解得，
当时，由余弦定理得：，
解得
所以或
解析：AB
【分析】
在ABC 中，根据4a =，5b =，由1sin 2
ABC S ab C ==60C =或120C =，然后分两种情况利用余弦定理求解.
【详解】
ABC 中，因为4a =，5b =，面积ABC S =
所以1sin 2
ABC S ab C ==
所以sin 2C =
，解得60C =或120C =， 当60C =时，由余弦定理得：2222cos 21c a b ab C =+-=，
解得c =
当120C =时，由余弦定理得：2222cos 61c a b ab C =+-=，
解得c =
所以c =c =故选：AB
【点睛】
本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 9．AC
【分析】
由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可.
【详解】
，且,平方得，即，可得，故A 正确；
，可得，故B 错误；
，可得，故C 正确；
由可得，故D 错误;
故选：AC
【点睛】
解析：AC
【分析】
由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可.
【详解】
1a b ==，且25b a -=,平方得22445b a a b +-⋅=，即0a b ⋅=，可得a b ⊥，故A 正确；
()
22222a b a b a b +=++⋅=，可得2a b +=，故B 错误； ()2
2222a b a b a b -=+-⋅=，可得2a b -=，故C 正确； 由0a b ⋅=可得,90a b =︒，故D 错误;
故选：AC
【点睛】 本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.
10．ACD
【分析】
依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】
A ，C ，D 中向量与共线，不能作为基底；
B 中，不共线，所以可作为一组基底．
【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属
解析：ACD
【分析】
依次判断各选项中的两向量是否共线即可.
【详解】
A ，C ，D 中向量1e 与2e 共线，不能作为基底；
B 中1e ，2e 不共线，所以可作为一组基底．
【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.
11．ABD
【分析】
首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项.
【详解】
表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB 正确，当不是单位向量时，不正确，
，所以D 正确.
故选：ABD
解析：ABD
【分析】
首先理解a a
表示与向量a 同方向的单位向量，然后分别判断选项. 【详解】 a a 表示与向量a 同方向的单位向量，所以1a a =正确，//a a a 正确，所以AB 正确，当a 不是单位向量时，a a a =不正确， cos 0a a a a a a a a a a
⋅==⨯=，所以D 正确. 故选：ABD
【点睛】
本题重点考查向量a a 的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解a a
表示与向量a 同方向的单位向量.
12．BC
【分析】
由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否.
【详解】
由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，
对于C ，当时，这样的有无数个，故C
解析：BC
【分析】
由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否.
【详解】
由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，
对于C ，当12120λλμμ====时，这样的λ有无数个，故C 说法不正确.
故选：BC
【点睛】
若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ存在且唯一.
13．BD
【分析】
根据向量的模及共线向量的定义解答即可；
【详解】
解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误；
与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确；
向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故
解析：BD
【分析】
根据向量的模及共线向量的定义解答即可；
【详解】
解：AB 与DC 显然方向不相同，故不是相等向量，故A 错误； AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC =，故B 正确；
向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C 错误；
等腰梯形的上底BC 与下底AD 平行，所以//BC AD ，故D 正确；
故选：BD .
【点睛】
本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题.
14．ABD
【详解】
解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．
对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确． 对于：若，当 时，无法得到，故不正确．
对
解析：ABD
【详解】
解：对于A ：对于实数m 和向量a 、b ，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：()m a b ma mb -=-，故A 正确．
对于B ：对于实数m ，n 和向量a ，根据向量的数乘运算律，恒有()m n a ma na -=-，故 B 正确．
对于C ：若()ma mb m =∈R ，当 0m =时，无法得到a b =，故C 不正确． 对于D ：若(,,0)ma na m n a =∈≠R ，则m n =成立，故D 正确．
故选：ABD ．
【点睛】
本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．
15．无
二、平面向量及其应用选择题
16．B
【分析】 根据方程有实根得到24cos 0a a b θ∆=-≥，利用向量模长关系可求得1cos 2θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果.
【详解】
关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根 2
40a a b ∴∆=-⋅≥ 设a 与b 的夹角为θ，则24cos 0a a b θ-≥
又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2θ∴≤ 又[]0,θπ∈ ,3πθπ⎡⎤∴∈⎢
⎥⎣⎦
本题正确选项：B
【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.
17．C
【分析】
根据平面向量的定义与性质，逐项判断，即可得到本题答案.
【详解】 因为a b //，所以,a b 的夹角为0或者π，则a 在b 上的投影为||cos ||a a θ=±，故A 不正确；设(1,0),(0,0),(0,2)c b a ===，则有(0)a c b c c ⋅=⋅≠，但a b ≠，故B 不正确； ,||||AB DC AB DC =∴=且//AB DC ，又,,,A B C D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则//AB DC 且
||||AB DC =，所以AB DC =，故C 正确；0a b ⋅>时，,a b 的夹角可能为0，故D 不正确.
故选：C
【点睛】
本题主要考查平面向量的定义、相关性质以及数量积.
18．C
【分析】
化简条件可得sin 2
a B c ==，由正弦定理化边为角，整理cos 0C =，即可求解.
【详解】
lg lg lg sin a c B -==-，
sin a B c ∴==0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 4
B π∴=.
由正弦定理，得
sin sin a A c C ==，
3
sin cos sin 422C A C C C π⎫⎛⎫∴==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
， 化简得cos 0C =.
()0,C π∈，
2
C π∴=， 则4A B C π
π=--=
， ∴ABC 是等腰直角三角形.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题.
19．C
【分析】 由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC +-=+，所以()0BC AB AC ⋅+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BC AD ⊥，进而可得AB AC =，即可得出答案.
【详解】
由题意，()()2OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+，
所以()
0BC AB AC ⋅+=， 取BC 的中点D ，连结AD ，并延长AD 到E ，使得AD DE =，连结BE ，EC ，则四边形ABEC 为平行四边形，所以AB AC AE +=.
所以0BC AE ⋅=，即BC AD ⊥，
故AB AC =，ABC 是等腰三角形.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
20．A
【分析】
直接利用向量的基础知识的应用求出结果.
【详解】
对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；
对于②：若//a b ，则()a b R λλ=∈，必须有0b ≠，故②错误；
对于③：()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，a 与c 不共线，故③错误； 对于④：a b a b +≥+，根据三角不等式的应用，故④正确；
对于⑤：若0AB BC CA ++=，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误.
综上：①④正确.
故选：A.
【点睛】
本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
21．B
【分析】 2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222
()2f t b a bt a t =-⋅+，易得2cos b a b t a a θ⋅==
时，222min 244()()14a b a b f t a -⋅==，即222||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】 2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，因为t R ∈，
所以当2cos b a b t a a
θ⋅==时，222min 244()()4a b a b f t a -⋅=，又||b t a →→-的最小值为1， 所以2||b ta -的最小值也为1，即222min 244()()14a b a b f t a
-⋅==，222||cos 1b b θ-=，
所以22||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ=
，故若θ确定，则||b →唯一确定. 故选：B
【点睛】
本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题.
22．C
【分析】
取,a b 夹角为
3π，计算排除ABD ，得到答案. 【详解】
取,a b 夹角为
3π，则0a b -≠，12
a b ⋅=，排除ABD ，易知1a b ==. 故选：C .
【点睛】
本题考查了单位向量，意在考查学生的推断能力.
23．A
【解析】
分析：由题意，在ABC ∆内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，利用三角形的奔驰定理，即可求解结论．
详解：由题意，在ABC ∆内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，
由奔驰定理可得::3:4:5BOC AOC BOA S S S ∆∆∆=，所以:3:121:4BOC ABC S S ∆∆==， 故选A ．
点睛：本题考查了向量的应用，对于向量的应用问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．
24．C
【解析】
【分析】
取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则0DW BC ⋅=， 再用AB 、AC 表示AW ，AG ，BC 再根据向量的数量积的运算律计算可得.
【详解】
解：如图，取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心
0DW BC ∴⋅= ()()22113323AG AD AB AC AB AC ∴==⨯+=+ ()12AW AD DW AB AC DW =+=++ ()()()
115326AW AG AB AC AB AC DW AB AC DW +=++++=++ ()()()
5566AB AC DW AB AG AW BC BC B W C BC AC D ⎡⎤∴+⋅=⋅=⋅⋅⎢++++⎥⎣⎦ ()56AB A BC C =
⋅+ ()()56C AC AB AB A =
⋅+- ()
()222242105566AC AB =-=-= 故选：C
【点睛】
本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于中档题．
25．C
【分析】
由正弦定理结合三角形中的大边对大角得sin sin A B >，由余弦函数性质判断B ，然后结合二倍角公式判断CD ．
【详解】
设ABC 三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，
由A B >，则,a b >∴sin sin 0A B >>，A 正确；
由余弦函数性质知cos cos A B <，B 正确；
sin 22sin cos A A A =，sin 22sin cos B B B =，
当A 为钝角时就有sin 2sin 2A B <，C 错误，；
2cos 212sin A A =-，2cos 212sin B B =-，∴cos2cos2A B <，D 正确． 故选：C ．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，考查正弦定理、余弦函数性质，考查正弦、余弦的二倍角公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．
26．A
【分析】
作出图形，利用AB 、AC 表示AO ，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出OC AC AO =-可得出结果.
【详解】
如下图所示：
D 为BC 的中点，则
()
1122AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-1122AB AC =+， 2AO OD =，211333
AO AD AB AC ∴==+， 11123333OC AC AO AC AB AC AB AC ⎛⎫∴=-=-+=-+ ⎪⎝⎭
， 故选：A.
【点睛】
本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.
27．A
【分析】
由已知条件，令||AC a =，||BC b =，则在△ACM 中结合余弦定理可知48ab ≤，根据三角形面积公式即可求最大值
【详解】
由题意，可得如下示意图
令||AC a =，||BC b =，又2BM MC =，即有1||||33
b CM CB == ∴由余弦定理知：222||||||2||||cos AM CA CM CA CM ACB =+-∠
2221216()332333
a a
b ab ab ab b =+-⨯≥-=，当且仅当3a b =时等号成立 ∴有48ab ≤ ∴113sin 4812322ABC S ab C ∆=
≤⨯=故选：A
【点睛】
本题考查了正余弦定理，利用向量的知识判断线段的长度及比例关系，再由余弦定理并应用基本不等式求三角形两边之积的范围，进而结合三角形面积公式求最值
28．A
【解析】
分析：先利用三角形的面积公式求得c 的值，进而利用余弦定理求得a ，再利用正弦定理求解即可.
详解：由题意，在ABC ∆中， 利用三角形的面积公式可得011sin 1sin 60322ABC S bc A c ∆=
=⨯⨯⨯=， 解得4c =， 又由余弦定理得22212cos 116214132
a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，解得13a =， 由正弦定理得213239sin 2sin sin sin 3
a b c a A B C A -+===-+，故选A. 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
29．D
【分析】
本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义、及零向量，我们根据已知中的图形，结合向量加减法的三角形法则，对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案．
【详解】
①如图可知AD＝AC＋CD＝AC＋1
2
CB＝－CA－
1
2
BC
＝－b－1
2
a，故①正确．
②BE＝BC＋CE＝BC＋1
2 CA
＝a＋1
2
b，故②正确．
③CF＝CA＋AE＝CA＋1
2
AB＝b＋
1
2
(－a－b)
＝－1
2
a＋
1
2
b，故③正确．
④AD＋BE＋CF＝－DA＋BE＋CF ＝－(DC＋CA)＋BE＋CF
＝－(1
2
a＋b)＋a＋
1
2
b－
1
2
a＋
1
2
b＝0，故④正确．
故选D.
【点睛】
本题考查的主要知识点是向量加减法及其几何意义，关键是要根据向量加减法及其几何意义，将未知的向量分解为已知向量．
30．B
【解析】
【分析】
利用向量的定义和运算法则逐一考查所给的命题是否正确即可得到正确命题的个数.
【详解】
逐一考查所给的命题：
①由向量的减法法则可知：AB AC CB
-=，题中的说法错误；
②由向量加法的三角形法则可得：0
AB BC CA
++=，题中的说法正确；
③因为()(2)0
OB OC OB OC OA
-⋅+-=，
即()0CB AB AC ⋅+=；
又因为AB AC CB -=，
所以()()0AB AC AB AC -⋅+=，
即||||AB AC =，
所以△ABC 是等腰三角形.题中的说法正确；
④若0AC AB ⋅>，则cos 0AC AB A ⨯⨯>，据此可知A ∠为锐角，无法确定ABC ∆为锐角三角形，题中的说法错误．
综上可得，正确的命题个数为2.
故选：B .
【点睛】
本题主要考查平面向量的加法法则、减法法则、平面向量数量积的应用，由平面向量确定三角形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 31．C
【分析】
化简得到22AM AB AC λμ=+，根据1AM =得到221λμλμ+-=，得到λμ+的最大
值.
【详解】 ()
1222AM AE AF AB AC λμ=+=+， 故2222224cos1201222AM AB AC λμλμλμλμλμ⎛⎫=+=++⨯︒=+-= ⎪⎝⎭ 故()()()222223134
λμλμλμλμλμλμ=+-=+-≥+-+，故2λμ+≤. 当1λμ==时等号成立.
故选：C . 【点睛】 本题考查了向量的运算，最值问题，意在考查学生的综合应用能力.
32．A 【分析】 不等式a c b d T -+-≥恒成立，即求a c b d -+-最小值，利用三角不等式放缩+=+()a c b d a c b d a b c d -+-≥---+，转化即求+()a b c d -+最小值，再转化为等边三角形OAB 的边AB 的中点M 和一条直线上动点N 的距离最小值. 当M N ，运动到MN CD ⊥时且,OM ON 反向时，MN 取得最小值得解.
【详解】
1a b ==，12a b ⋅=,易得,3a b π<>= 设,,,OA a OB b OC c OD d ====，AB 中点为M ，CD 中点为N
则,A B 在单位圆上运动，且三角形OAB 是等边三角形, (.1),(,1)1CD C m m D n n k ，CD 所在直线方程为10x y +-=
因为a c b d T -+-≥恒成立，
+=+()a c b d a c b d a b c d -+-≥---+,(当且仅当a c -与b d -共线同向，即a b +与c d +共线反向时等号成立)
即求+()a b c d -+最小值.
+()=()()a b c d OA OB OC OD -++-+=22=2OM ON NM -
三角形OAB 是等边三角形，,A B 在单位圆上运动，M 是AB 中点，
∴ M 的轨迹是以原点为圆心，半径为3的一个圆. 又N 在直线方程为10x y +-=上运动，
∴ 当M N ，运动到MN CD ⊥时且,OM ON 反向时，MN 取得最小值
此时M 到直线10x y +-=的距离3
2MN
232T NM
故选：A
【点睛】
本题考查平面向量与几何综合问题解决向量三角不等式恒成立.
平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
33．B
【分析】
利用正弦定理可得sin 2sin B C =，结合a b =和余弦定理，即可得答案；
【详解】
cos cos 2sin cos sin cos 2sin c A a C c C A A C C +=⇒+=，
∴sin()2sin sin 2sin A C C B C +=⇒=，
∴2b c =，又a b =， ∴2222
2114cos 12422
b a
c b B ac b ⋅+-===⋅⋅， 故选：B.
【点睛】 本题考查正、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，求解时注意进行等量代换求值. 34．C
【分析】
根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案.
【详解】 解：111222BF BA AF BA AE AB AD AB CE ⎛⎫=+=+=-+++ ⎪⎝⎭ 111223AB AD AB CB ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭ 111246AB AD AB CB =-+
++ ()111246AB AD AB CD DA AB =-+
++++ 11112462AB AD AB AB AD AB ⎛⎫=-+++--+ ⎪⎝⎭ 111124126
AB AD AB AB AD =-+++- 2133
AB AD =-+ 故选：C .
【点睛】
本题考查用基底表示向量，向量的线性运算，是中档题.
35．D
【分析】 根据已知条件可得()
222AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅=⋅，整理可得()
0BC MC MB ⋅+=，若E 为BC 中点，可知BC ME ⊥，从而可知M 在BC 中垂线上，可得轨迹必过三角形外心.。