2013数学建模 第一二问

5.1问题一模型的建立
5.1.1问题一模型的准备
道路通行能力是道路能够疏导或处理交通流的能力。

我国定义为，道路通行能力是指道路上某一车道或某一断面处，单位时间内可能通过的最大交通量(车辆或行人)数，用/h
辆，车辆多指小汽车，当有其它车辆混入时，均采用等效通行能力的当量小客车为单位()
pcu。

通行能力是指所分析的道路、设施没有任何变化，并假定其具有良好的气候条件和路面条件下的通过能力，如条件有任何变化都会引起通行能力的变化。

由于交通事故路段红绿灯的时间周期为1分钟，故本文以1分钟为时间周期，分析交通事故从发生到撤离期间，事故所处横断面的实际通行能力变化过程。

首先，我们采用图像分割与采集方法，将图像数字化，结合matlab软件将车辆行走在公路上的视频1分帧，截取每分钟的视频作为分析对象，截取局部图片，对图片像素进行分析，就其像素矩阵与无车通过时截取的图像像素矩阵进行对比，观察其变化；其次，对背景图像进行分析，将像素矩阵与无车通过道路时截取的图像对比，观察其变化值，得出矩阵差值目标函数和新的行矩阵，对数值进行分析并观察其变化从而判断车流量。

由于本文只考虑四轮及以上机动车、电瓶车的交通流量，且换算成标准车当量数。

通过查找资料可知，车辆的换算系数如表1-1所示。

量，并根据表1-1车辆换算系数得到视频1交通流量当量数总数。

由于时间段16:55:56-16:56:56、16:56:56-16:57:56、16:57:56-16:58:56的数据缺失，我们根据缺失数据处理方法采用数据的相邻若干点的均数作为缺失数据值。

得到的视频1交通流量统计表如表1-2所示。

5.1.2问题一模型的建立
从视频1我们可以看到事故发生处在道路距离上游路口240M处的车道二、车道三，所以从上游路口和小区路口处的车辆要到达下游路口只能通过事故处横断面一条车道。

视频1中发生在车道二、车道三的交通事故从16:42:32开始，到16:59:56时即将撤离。

我们将这接近18分钟的总到达车数（从红绿灯处和小区路口处）、从事故横断面离开的车数和停留在上游路口和事故横断面之间的车辆数以一个红绿灯周期为单位作出折线图。

折线图显示从事故发生后的半分钟内，事故横断面和上游路口之间就已经有超过20标准车当量的汽车，而此时横断面处的通行量不到10标准车，所以事故一发生之时便引起了长达120米的交通堵塞。

从事故发生后到16:47:56，横断面的车辆离开速度增加，道路内的剩余车辆稍微减少，交通堵塞有所缓解。

从16:47:56开始从小区路口和红绿灯出到达的车辆也开始增加，而横断面处的车辆车流量趋于稳定，这导致了横断面
图1-1 横断面总到达车数、总离开车数、剩余车数的变化图从图1-1可以看到，因为横断面到上游路口一直保持着一定数量的车辆、横断面处的车流量一直处于饱和状态，所以事故所处横断面的单位车流量就是事故发生时该处的实际通行能力。

接下来我们将视频1事故所处横断面的实际通行能力转化为标准单位（pcu/h），得到标准单位下该横断面的实际通行能力，见附表1。

作出标准单位下实际通行能力折线图，如图1-2
图1-2 事故所处横断面的实际通行能力折线图
根据图1-2，结合视频1，我们可以发现，事故刚发生时横断面处的实际通行能力为1350pcu/h，随后逐渐开始降低，到16:44:56时降低到870pcu/h，这一趋势主要是因为事故刚发生时原来正常行驶的车辆要突然作出改变，交通系统还没完全适应所以车流量在一开始这段时间会有所下降。

从16:44:56到16:49:56这段时间横断面处的实际通行
能力波动很大，整个事故过程中的最大实际通行能力1380pcu/h和最小实际通行能力720pcu/h都出现在这个时间段。

这主要是因为此时交通系统已经逐渐适应现金的状况，堵塞在横断面到上游路面之间的车辆还未达到饱和状况，车辆的一个变道，一个急停都会加重事故横断面处的堵塞程度，造成实际通行能力急剧降级，如果车辆排列状态好，则车辆通行速度也会加快，实际通行能力也随着增高。

从16:49:56时开始，因为从红绿灯和小区路口处到达的车辆增多，事故所处横断面处经常发生长达120米的交通堵塞，即事故发生出一定范围内的空间已经处于饱和状态，这时候每辆车都只能遵循一定的规则通过事故发生处，所以这时实际通行能力在一定范围内稳定。

事故撤离后的17:01:21到17:02:09这38秒时间中从原事故横断面处通过的车辆就达到了40标准车当量，即事故发生后同一路段的实际通行能力大于3789pcu/h。

可见交通事故的发生对道路的通行能力影响是极大的。

根据附件四上游路口交通组织方案图和附件五上游路口信号配时方案图，我们可以
图1-3 交通事故发生路段车流方向图
由于向右转驶入交通事故发生路段的车流不受交叉路口信号灯变化的影响，因此，交通事故发生路段交通流量主要受直行车道车流的影响。

为了进一步分析视频1事故所处横断面实际通行能力的变化，我们结合图1-2发现视频1事故所处横断面实际通行能力随着事故持续的时间呈现出周期性变化，且变化表现出余弦规律。

因此，我们建立该横断面实际通行能力与时间的余弦函数模型。

将从事故发生时间到第一个绿灯闪的时间段记为时刻T=0，每隔一分钟，T增加1，事故期间最后一个绿灯闪到撤离的时间记为时刻T=17。

利用matlab软件得到余弦函数如下（程序见附录程序1）：
1088x
y-
=1-1
38
)
cos(
78
.
利用matlab绘制视频1事故所处横断面实际通行能力散点图和用余弦函数得到的拟
根据图1-4，余弦函数曲线的变化趋势与事故实际通行能力的变化趋势是基本相同的，而且实际通行能力数值在余弦函数曲线上下波动的幅度较小，说明建立的余弦函数模型是可以描述实际通行能力的变化过程。

因此，我们可以知道，视频1交通事故所处横断面通行能力随着事故持续时间呈余弦变动，其变化周期为6。

5.2问题二模型
5.2.1问题二模型的准备
通过matlab图像分割与采集方法，我们得到视频2中交通事故发生至撤离期间车流量，并根据表1-1车辆换算系数得到视频2交通流量当量数总数。

得到的视频2交通流量统计表如表2-1所示。

由视频2我们能看到，事故发生地点与视频1的事故发生地点在同一横断面，而所处车道不同。

视频2中发生在车道一、车道二的事故从17:34:17开始，到18:03:30结束共接近30分钟时间，我们选择17:34:17到18:02:56时28分钟的数据来分析事故发生到撤离期间道路的通行能力变化。

同视频1，事故刚发生时在横断面处到上游路口之间的车辆数达到21.5标准车当量最多，但是横断面处的车流量只有12标准车当量。

与视频1不同的是在17:34:56-17:35:56横断面处的车流量就上升到了28标准车当量，很快就消化掉道路中的剩余车辆，从而不会发生与视频一中一开始的交通堵塞。

从
17:34:56到17:45:56道路中的总到达车数和总离开车数在一定范围内交替增加减少相对稳定，道路中的剩余车辆基本不会超过10辆。

其中一个意外发生在17:41:45秒，因为小区路口处的一辆车变换车道导致横断面处离开的车辆数在长达两分钟的时间内小于进入道路的车辆数，道路内的车辆最高达到12标准车当量导致发生了长达120M 的交通堵塞。

从17:45:56开始从小区路口和上游路口处到达横断面处的车辆数有很大的波动，而横断面处离开的车辆数仍保持之前的稳定性，导致到达的车辆大于离开的车辆，道路中的剩余车辆持续升高。

到事故撤离为止，这段时间发生了若干次长达120M 甚至大于120M
图2-1 横断面总到达车数、总离开车数、剩余车数的变化图
从图2-1可以看到，从事故发生开始到17:45:56为止事故横断面处的车流量没有能够达到饱和状态。

从17:45:56时开始，道路已经积累了一定数量的车辆，并且一个红绿灯周期时间的横断面车流量不能消化掉上一个红绿灯周期从上游路口和小区路口进入道路的车辆，所以这个时候事故所处横断面的车流量就是此处的实际通行能力。

接下来 我们将视频2事故所处横断面的实际通行能力转化为标准单位（pcu/h ），得到标准单位下该横断面的实际通行能力，见附表2。

利用matlab 作出标准单位下实际通行能力图，如图2-3。

140014501500视频2事故所处横断面的实际通行能力变化
从图1-3可以发现，视频2事故所处横断面实际通行能力随着事故持续的时间没有呈现出周期性变化。

为了进一步分析视频2事故所处横断面实际通行能力的变化，我们建立该横断面实际通行能力与时间的多项式函数。

将从事故发生时间到第一个绿灯闪的时间段记为时刻T=0，每隔一分钟，T 增加1，事故期间最后一个绿灯闪到撤离的时间记为时刻T=17。

利用matlab 软件得到5次多项式函数如下（程序见附录程序2）： 54320.0250.89510.99855.247111.8991163.498y x x x x x =-+-++ 2-1 利用matlab 绘制视频2事故所处横断面实际通行能力散点图和用余弦函数得到的拟合实际通行能力的变化曲线图，如图2-4所示。

根据图2-4可知，5次多项式函数曲线的变化趋势与事故实际通行能力的变化趋势是基本相同的，而且实际通行能力数值在5次多项式函数曲线上下波动的幅度较小，说明建立的5次多项式函数曲线模型是可以描述实际通行能力的变化过程。

因此，我们可以知道，视频2交通事故所处横断面通行能力随着事故持续时间呈5次多项式变化。

利用matlab软件，绘制出视频1建立的余弦函数曲线模型和视频2建立的5次多项
从图2-5我们可以看到视频二发生第一第二车道的事故处横断面的实际通行能力在较长的时间段内比起视频一中发生在第二第三车道的事故横断面处的实际通行能力更加稳定，并且总体视频一中的实际通行能力大于视频二的实际通行能力。

我们通过SAS软件计算两次事故的实际通行能力进行描述性统计量比较分析（程序见附录程序4）。

从表2-2和表2-3的结果可以看到视频二发生事故处横断面的实际通行能力均值为1251，标准差为113。

视频一事故发生处横断面的实际通行能力均值为1087，标准差为177。

可见在车道二和车道三的事故导致的实际通行能力变化的大小和稳定性都不如在车道一车道二处发生事故导致的实际通行能力变化。

再对两次事故横断面处的实际通行能力进行均值显著性检验（程序见附录程序5）。

通行能力存在显著性差异。

仔细观察视频，可以发现通过事故所处横断面处的车辆更多来源于上游路面的直行车，少部分来源于小区路口和上游路面的右转行车。

而上游路面的直行车都是位于车道二、车道三。

附件四中的数据也显示车道二、车道三占了整条道路车辆通行79%的流量比例。

一旦这两条车道发生堵塞，上游路由的直行车则必须减速变换车道才能通过事故所处横断面，车辆从一个车道转入另一车道时，会影响另一车道的通行能力。

因此，靠近中线的车道，通行能力最大，右侧同向车道通行能力将依次有所折减，最右侧车道的通行能力最小。

当道路上车辆增多，车辆密度加大时，车辆就被迫降低车速。

借用物理学的概念，将交通流近似看作一辆辆汽车组成的连续的流体，可以用流量、速度、密度这三个参数描述交通流的基本特征：
流量()/q pcu h 指某时刻单位时间内通过道路指定断面的车辆数； 速度()/v km h 指某时刻通过道路指定断面的车辆速度；
密度()/k pcu km 指某时刻通过道路指定断面单位长度内的车辆数。

根据物理学的基本知识，流量q 、速度v 、密度k 显然满足：q vk =。

视频1和视频2发生的事故是在同一道路，所以道路畅通时候的车速是相同的。

而视频一中事故所处横断面的最大实际通行能力1380/pcu h 小于视频二中事故所处横断面的最大实际通行能力1580/pcu h 。

所以我们可以作出下面的速度-流量，速度-密度，流量-
图2-6 交通流的流量、速度、密度关系图。