江苏省灌南高级中学高三数学 双曲线(2)复习导学案

教学目的: 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．
2. 了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．
3. 理解数形结合的思想.
基础训练
1．(2012·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4
＝1的离心率为5，则m 的值为________． 2．(2012·徐州模拟)设F 1、F 2是双曲线x 2－y 29
＝1的左、右焦点，P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则△PF 1F 2的面积为________，|PF 1→＋PF 2→|的值为________．
3．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．
4．2013·南通调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 分别是双曲线x 2－y 2
3
＝1的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin A －sin B sin C 的值是________．
例题精讲
例1 如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3
，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．
例2 过双曲线x 23－y 2
6
＝1的右焦点F 2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A 、B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点．
(1)求|AB |；
(2)求△AOB 的面积；
(3)求证：|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|.
例3 已知定点A (－1,0)，F (2,0)，定直线l ：x ＝12
，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N .
(1)求E 的方程；
(2)试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由．
[变式探究] [2013·鞍山模考]已知双曲线C ：x 2
a
2－y 2＝1(a >0)与l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B ，l 与y 轴交于点P ，若PA →＝512
PB →，则a ＝________.
课后练习
1．已知定点A 、B ，且AB ＝4，动点P 满足PA －PB ＝3，则PA 的最小值是________．
2．已知点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P 满足PF 2－PF 1＝2，当点P 的纵坐标是12
时,点P 到坐标原点的距离是________．
3．已知双曲线9y 2－m 2x 2＝1(m ＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15
，则m ＝________.
3．(2010·连云港模拟)F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点，P 是C 上一点，且△F 1PF 2是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为________．
4.如图，从双曲线x 23－y 25
＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2
＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于________．
5．设双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，若点P 为双曲线右支上的一点，且直线PA 1，PA 2的斜率分别为12
，2，则双曲线的渐近线方程为________．
6．设双曲线x 29－y 2
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＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．
7．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件
的双曲线的标准方程为____________．
8．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率是2，则b 2＋13a
的最小值是________． 9．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 2
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＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则b 2＝________.
10．若F 1、F 2为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线左支上，M 在右准线上，且满足1F O PM =.
(1)求此双曲线的离心率的范围；
(2)若11OF OP
OP OM
OP OM OF OP ⋅⋅=，求此双曲线的离心率；
(3)在(2)的条件下，此双曲线又过点N (2，3)，求双曲线方程．
11．已知双曲线C ：x 22
－y 2
＝1，设过点A (－32，0)的直线l 的方向向量e ＝(1，k )． (1)当直线l 与双曲线C 的一条渐近线m 平行时，求直线l 的方程及l 与m 的距离；
(2)证明：当k ＞22
时，在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l 的距离为 6.。