三角比例练习题

三角比例练习题
练习题一：
已知在三角形ABC中，∠A=50°，∠B=70°，且AB=8 cm，BC=10 cm。

求边AC的长度。

解析：
根据三角形内角和定理，可得∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 50° - 70° = 60°。

由正弦定理，可得：
AC/sin∠C = AB/sin∠B
AC/sin60° = 8/sin70°
则AC = (8/sin70°) × sin60° ≈ 9.78 cm
练习题二：
在三角形ABC中，已知∠A=30°，∠B=40°，且边AC的长度为6 cm。

求边BC和∠C的度数。

解析：
由三角形内角和定理可得：∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 40°= 110°。

由正弦定理，可得：
BC/sin∠C = AC/sin∠A
BC/sin110° = 6/sin30°
则BC = (6/sin30°) × sin110° ≈ 11.75 cm
练习题三：
在三角形ABC中，已知∠A=60°，∠B=90°，且边BC的长度为5 cm。

求边AC和∠C的度数。

解析：
由三角形内角和定理可得：∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 60° - 90°= 30°。

由余弦定理，可得：
AC² = BC² + AB² - 2 × BC × AB × cos∠C
AC² = 5² + AB² - 2 × 5 × AB × cos30°
AC² = 25 + AB² - 5AB
由直角三角形的性质可知AB = AC × √3
将 AB 替换为AC × √3，得到：
AC² = 25 + (AC × √3)² - 5 × AC × √3
化简方程，得到：
AC² - 15AC + 25 = 0
解这个方程，可得两个解：AC = 5 和 AC = 10
但由题目中给出∠B = 90°，因此边AC不能等于5 cm。

所以边AC的长度为10 cm。

又由三角形内角和定理，可得∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 60° - 90° = 30°。

练习题四：
在三角形ABC中，已知∠A=45°，边AC的长度为7 cm，边BC的长度为5 cm。

求边AB和∠C的度数。

解析：
由三角形内角和定理可得：∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 45° -
∠B。

由余弦定理，可得：
cos∠C = (AB² + BC² - AC²)/(2 × AB × BC)
cos(180° - 45° - ∠B) = (AB² + 5² - 7²)/(2 × AB × 5)
化简方程，得到：
(cos45° × cos∠B + sin45° × sin∠B) = (AB² + 25 - 49)/(10AB)
化简方程，得到：
(1/√2 × cos∠B + 1/√2 × sin∠B) = (AB² - 24)/(10AB)
由三角函数的性质可知：1/√2 × cos∠B + 1/√2 × sin∠B = √2/2 × (cos∠B + sin∠B) = √2/2 × sin(45° + ∠B)。

将该式子替换为√2/2 × sin(45° + ∠B)，得到：
√2/2 × sin(45° + ∠B) = (AB² - 24)/(10AB)
通过代入多个角度值进行求解，可得∠B ≈ 64.71°。

利用∠B 的度数，可以通过三角形内角和定理求解∠C ≈ 70.29°。

由余弦定理，可得：
AB² = AC² + BC² - 2 × AC × BC × cos∠C
AB² = 7² + 5² - 2 × 7 × 5 × cos70.29°
化简方程，得到AB ≈ 9.29 cm
练习题五：
在直角三角形ABC中，已知AB=5 cm，BC=12 cm。

求∠A和∠C 的度数。

解析：
由勾股定理可得：AC² = AB² + BC² = 5² + 12² = 169
则AC = √169 = 13 cm
由正弦定理，可得：
sin∠A / AB = sin90° / AC
sin∠A / 5 = 1 / 13
sin∠A = 5 / 13
则∠A = arcsin(5 / 13) ≈ 23.58°
由直角三角形的性质可知∠C = 90° - ∠A = 90° - 23.58° ≈ 66.42°练习题六：
已知在三角形ABC中，∠B=90°，AC=6 cm，BC=8 cm。

求∠A和∠C的度数。

解析：
由直角三角形的性质可知∠C = 90° - ∠B = 90° - 90° = 0°
由正弦定理，可得：
sin∠C / BC = sin∠B / AC
sin0° / 8 = sin90° / 6
0 / 8 = 1 / 6
由此可得到不合理的结果，说明不存在符合条件的三角形。