湖南省岳阳市湘阴县玉华中学2019年高三数学理联考试题含解析

湖南省岳阳市湘阴县玉华中学2019年高三数学理联考
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 集合= ( ）
A． B．{1} C．{0,1,2} D．{-1,0,1,2}
参考答案：
C
2. 已知向量，，若与共线.则等于（）
A． B． C．D．4
参考答案：
A
略
3. 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，
给出下列四个命题：
①m⊥α，n∥α，则m⊥n；
②若αγ=m，βγ=n，m∥n ，则α∥β；
③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．
其中正确命题的序号是（）
A．①和③ B．②和③ C．③和④ D．①和④
参考答案：
A
略
4. 设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=﹣x0，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f（x）=ax2﹣
3x﹣a+在区间[1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，0）B．（0，）C．[，+∞）D．（﹣∞，]
参考答案：
D
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据“f（x）在区间D上有次不动点”当且仅当“F（x）=f（x）+x在区间D上
有零点”，依题意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+=0，讨论将a分离出来，利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围即可求出a的范围．
【解答】解：依题意，存在x∈[1，4]，
使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+=0，
当x=1时，使F（1）=≠0；
当x≠1时，解得a=，
∴a′==0，
得x=2或x=，（＜1，舍去），
∴当x=2时，a最大==，
所以常数a的取值范围是（﹣∞，]，
故选：D．
5. 已知中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c，若的面积为S，且等于
A. B. C. D.
参考答案：
6. 已知向量的模为2，=（1，﹣2），条件p：向量的坐标为（4，2），条件q：⊥，则p是q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
参考答案：
A
7. 函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是
参考答案：
B
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性．B9 B12
解析：观察图象可知，该函数在（2，3）上为连续可导的增函
数，且增长的越来越慢．所以各点处的导数在（2，3）上处处为正，且导数的值逐渐减
小，所以故f′（2）＞f′（3），而f（3）-f（2）=，表示的连接点（2，f（2））与点（3，f（3））割线的斜率，根据导数的几何意义，一定可以在（2，3）之间找到一点，该点处的切线与割线平行，则割线的斜率就是该点处的切线的斜率，即该点
处的导数，则必有：0＜f′(3)＜＜f′(2)．故选：B．
【思路点拨】观察图象及导数的几何意义得，即函数在（2，3）上增长得越来越慢，所以导数值为正，且绝对值越来越小，故f′（2）＞f′（3），同时根据割线的性质，一定可以在（2，3）之间找到一点其切线的斜率等于割线斜率，即其导数值等于割线的斜率，由此可得结论．
8. 某班一天上午有4节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从A，B，C，D，E，F等6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A、B两人中安排一人，第四节课只能从A、C两人中安排一人，则不同的安排方案共有（）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
参考答案：
B
9. 若实数x，y满足不等式组则3x+4y的最小值是
A．13 B．15 C．20 D．28
参考答案：
A
题主要考查了简单的线性规划问题以及目标函数的最值等，难度中等。

作出不等式
组的可行域，如图中的阴影部分所示，根据图形结合目标函数
z=3x+4y可知当取点A（3，1），z的最小值为3×3+4×1=13，故选A；
10. 已知sin（+α）=，则cos（﹣2α）=（）
A．B．C．﹣D．
参考答案：
C
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用诱导公式，求得cos（﹣α）的值，再利用二倍角的余弦公式，求得cos （﹣2α）的值．
【解答】解：∵sin（+α）==cos（﹣α），则cos（﹣2α）=2﹣1=
﹣1=﹣，
故选：C．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若的面积为，，则边长AB的长度等于 .参考答案：
2
略
12. 将某班的60名学生编号为：采用系统抽样方法抽取一个容量为5的
样本，且随机抽得的一个号码为，则剩下的四个号码依次是
参考答案：
16,28,40,52
略
13. 已知为等差数列，为其前项和.若，，则
；= .
参考答案：
1，
，所以，。

14. 已知正方形ABCD,M是DC的中点，由确定的值，计算定积分
__________.
参考答案：
1
15. 在平面直角坐标系中，准线方程为y=4的抛物线标准的方程为．
参考答案：
x2=﹣16y
略
16. 内接于以为圆心，半径为的圆，且，则的边
的长度为 .
参考答案：
略
17. 已知圆C：x2+y2+2x+4y+4=0，直线l：sinθx+cosθy- 4=0，则直线，与圆C的位置关
系为。

参考答案：
相离
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分）（选修4-5不等式选讲）
设函数．
求证：（1）当时，不等式成立．
（2）关于的不等式在R上恒成立，求实数的最大值．
参考答案：
(1)略（2）
【知识点】选修4-5 不等式选讲N4
(1) 证明：由
得函数的最小值为3，从而，所以成立.
(2) 由绝对值的性质得，
所以最小值为，从而，解得，因此的最大值为.
【思路点拨】利用分段函数最值证明结论，根据绝对值的意义求出a的最大值。

19. 如图，菱形ABCD与正所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，BC=2，
.
（1）证明：EF∥平面ABCD；
（2）若，求直线EF与平面AFB所成角的正弦值.
参考答案：
(1)证明过程详见解析（2）
【分析】
（1）过点作于，由面面垂直的性质可知平面，又平面，可得，即四边形为平行四边形，得到线线平行，从而得到线面平行；
（2）分别以，，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式进行计算即可得到答案.
【详解】解：（1）如图，过点作于，连接EH，∴.
∵平面平面，平面，
平面平面于∴平面.
又∵平面，.∴，
∴四边形为平行四边形. ∴，
∵平面，平面，
∴平面.
（2）连接.由（1）得为中点，又，为等边三角形，
∴.分别以，，为轴建立
如图所示的空间直角坐标系.
则，，，.
，，，
设平面的法向量为.
由，得
令，得.
，
直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题考查线面平行的判定定理和利用空间向量求线面角，利用空间向量解题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
20. 设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若?x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．
参考答案：
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）不等式f（x）＞0，即|2x﹣1|＞|x+2|，平方后解一元二次不等式求得它的解集．
（Ⅱ）根据f（x）的解析式，求出f（x）的最小值为f（），再根据f（）+2m2＜4m，求得m的范围．
【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＞0，即|2x﹣1|＞|x+2|，即 4x2﹣4x+1＞x2+4x+4，
即 3x2﹣8x+3＞0，求得它的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．
（Ⅱ）f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，故f（x）的最小值为f（）=
﹣，
根据?x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，可得4m﹣2m2＞﹣，即4m2﹣8m﹣5＜0，
求得﹣＜m＜．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对会的函数，函数的能成立问题，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．
21. 已知是一个公差小于0的等差数列，且满足
(I)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设数列的前n项和为，在由所有前n项和组成的数列中，哪一项最大，最大项是多少？
参考答案：
解：（1）设等差数列的首项为，公差为.由题可知，
又
故是方程的两个根
解得
所以，
所以
(2)由（1）可知，
所以当或时，取得最大值，最大值为
故在由所有前n项和组成的数列中，第5项或者第6项最大，最大项是
或者
略
22.
（14分）
已知某椭圆的焦点是，过点并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且。

椭圆上不同的两点满足条件：成等差数列。

（1）求该椭圆的方程；
（2）求弦AC中点的横坐标；
（3）设弦AC的垂直平分线的方程为，求m的取值范围。

参考答案：
解析：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力。

（1）解：由椭圆定义及条件知，得，又
所以，故椭圆方程为（4分）
（2）解：由点B（4，）在椭圆上，得
因为椭圆右准线方程为，离心率为
根据椭圆定义，有
由成等差数列，得
由此得出，设弦AC的中点为P（）
则（9分）
（3）解：由在椭圆上，得①
②
①－②得
即
将代入上式，得
由上式得（当时也成立）（11分）
由点P（4，）在弦AC的垂直平分线上，得
所以
由P（4，）在线段BB′（B′与B关于x轴对称）的内部，得，
所以（14分）。