高三二轮复习专题恒成立与存在性问题

校本资源作业
高三二轮复习专题——恒成立与存在性问题
在代数综合问题中常遇到恒成立与存在性问题．两类问题类似，均涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法．
教学目标：
1.知识与技能：理解并区别恒成立问题、存在性问题，学生能用最值和值域解决简单的恒
成立和存在性问题
2.过程与方法：从例题探讨恒成立、存在性问题，总结并分析数学中的恒成立和存在性问
题的区别和解题规律。

培养学生的观察、分析、转化的能力
3.情感态度与价值观：通过本节学习让学生体会化归转化的数学思想，享受数学中的灵动
与和谐之美
教学重点：对不同题型能熟练地转化为不同的最值和值域问题
教学难点：化归思想的灵活运用
教学过程：
知识点总结：
(1)恒成立问题
1. ∀x∈D,均有f(x)>A恒成立，则f(x)min>A；
2. ∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立，则f(x)ma x<A.
3. ∀x∈D,均有f(x) >g(x)恒成立，则F(x)=f(x)- g(x) >0，∴F(x)min >0
4. ∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立，则F(x)=f(x)- g(x) ﹤0，∴F(x) ma x﹤0
5. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立，则f(x)min> g(x)ma x
6. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) <g(x2)恒成立，则f(x) ma x < g(x) min
(2)存在性问题
1. ∃x0∈D,使得f(x0)>A成立，则f(x) ma x >A；
2. ∃x0∈D,使得f(x0)﹤A成立，则f(x) min <A
3. ∃x0∈D,使得f(x0) >g(x0)成立，设F(x)=f(x)- g(x)，∴F(x) ma x >0
4. ∃x0∈D,使得f(x0) <g(x0)成立，设F(x)=f(x)- g(x)，∴F(x) min <0
5. ∃x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立，则f(x) ma x > g(x) min
6. ∃x1∈D, ∃x2∈E,均使得f(x1) <g(x2)成立，则f(x) min < g(x) ma x
(3)相等问题
1. ∀x1∈D, ∃x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立，则{ f(x)}{g(x)}
(4)恒成立与存在性的综合性问题
1. ∀x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立，则f(x)m in>g(x)m in
2. ∀x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) <g(x2)成立，则f(x)max <g(x)max
(5)恰成立问题
1. 若不等式f(x)>A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)>A的解集为D；
2.若不等式f(x)<B在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)<B的解集为D.
► 探究点一 ∀x ∈D ，f (x )>g (x )的研究
例1、已知函数12)(2
+-=ax x x f ，x
a
x g =
)(，其中0>a ，0≠x ． 对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；
【思路分析】等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，通过分离变量，创设新函数求最值解决．
简解：（1）由12012232
++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足
12)(2
3++=x x
x x ϕ的最小值大于a 即可．对12)(23++=x x x x ϕ求导，0)12(12)(2
224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是
增函数，
32)1()(min =
=ϕϕx ，所以a 的取值范围是
320<
<a ．
► 探究点二 ∃x ∈D ，f (x )>g (x )的研究
对于∃x ∈D ，f (x )>g (x )的研究，先设h (x )＝f (x )－g (x )，再等价为∃x ∈D ，h (x )max >0，其中若g (x )＝c ，则等价为∃x ∈D ，f (x )max >c . 例 已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋10.
(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；
(2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x ，使得f (x )<0成立，求实数a 的取值范围． 【解答】 (1)当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ，f (2)＝14， 曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率k ＝f ′(2)＝8， 所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (x ))处的切线方程为 8x －y －2＝0.
(2)解法一：f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x
⎝⎛⎭
⎫x －23a (1≤x ≤2)， 当23a ≤1，即a ≤3
2时，f ′(x )≥0，f (x )在[1,2]上为增函数， 故f (x )m in ＝f (1)＝11－a ，所以11－a <0，a >11，这与a ≤3
2矛盾． 当1<23a <2，即3
2<a <3时，
当1≤x <23a ，f ′(x )<0；当2
3a <x ≤2，f ′(x )>0， 所以x ＝2
3a 时，f (x )取最小值，
因此有f ⎝⎛⎭⎫23a <0，即827a 3－49a 3＋10＝－427a 3＋10<0，解得a >3352，这与32<a <3矛盾；
当2
3a ≥2，即a ≥3时，f ′(x )≤0，f (x )在[1,2]上为减函数，所以f (x )m in ＝f (2)＝18－4a ，所以18－
4a <0，解得a >9
2，这符合a ≥3. 综上所述，a 的取值范围为a >9
2. 解法二：由已知得：a >x 3＋10x 2＝x ＋10
x 2， 设g (x )＝x ＋10x 2(1≤x ≤2)，g ′(x )＝1－20
x 3，
∵1≤x ≤2，∴g ′(x )<0，所以g (x )在[1,2]上是减函数． g (x )m in ＝g (2)，所以a >9
2.
【点评】 解法一在处理时，需要用分类讨论的方法，讨论的关键是极值点与区间[1,2]的关系；解法二是用的参数分离，由于ax 2>x 3＋10中x 2∈[1,4]，所以可以进行参数分离，而无需要分类讨论．
► 探究点三 ∀x 1∈D ，∀x 2∈D ，f (x 1)>g (x 2)的研究 例、设函数b x x a x h ++=
)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4
1
[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围．
思路分析：解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．
方法1：化归最值，10)(10)(max ≤⇔≤x h x h ；
方法2：变量分离，)(10x x a
b +-≤或x b x a )10(2-+-≤； 方法3：变更主元，0101)(≤-++⋅=b x a x a ϕ，]2,2
1
[∈a
简解：
方法1:对b x x a b x x g x h ++=
++=)()(求导，22)
)((1)(x
a x a x x a x h +-=-='， 由此可知，)(x h 在]1,41[上的最大值为)4
1
(h 与)1(h 中的较大者．
⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∴a b a b b a b a h h 944
39
1011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ，得b 的取值范围是47≤b ．
► 探究点四 ∀x 1∈D ，∃x 2∈D ，f (x 1)>g (x 2)的研究
对于∀x 1∈D ，∃x 2∈D ，f (x 1)>g (x 2)的研究，第一步先转化为∃x 2∈D ，f (x 1)m in >g (x 2)，再将该问题按照探究点一转化为f (x 1)m in >g (x 2)m in .
例、已知函数f (x )＝2|x －
m |和函数g (x )＝x |x －m |＋2m －8.
(1)若方程f (x )＝2|m |在[－4，＋∞)上恒有惟一解，求实数m 的取值范围； (2)若对任意x 1∈(－∞，4]，均存在x 2∈[4，＋∞)， 使得f (x 1)>g (x 2)成立，求实数m 的取值范围．
【解答】 (1)由f (x )＝2|m |在x ∈[－4，＋∞)上恒有惟一解， 得|x －m |＝|m |在x ∈[－4，＋∞)上恒有惟一解．
当x －m ＝m 时，得x ＝2m ，则2m ＝0或2m <－4， 即m <－2或m ＝0.
综上，m 的取值范围是m <－2或m ＝0.
(2)f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2
x －
m x ≥m ，2m －x
x <m ，
原命题等价为f (x 1)m in >g (x 2)m in .
①当4≤m ≤8时，f (x )在(－∞，4]上单调递减，故f (x )≥f (4)＝2m －
4，g (x )在[4，m ]上单调递减，[m ，
＋∞)上单调递增，故g (x )≥g (m )＝2m －8，所以2m －
4>2m －8，解得4<m <5或m >6. 所以4<m <5或6<m ≤8.
②当m >8时，f (x )在(－∞，4]上单调递减，故f (x )≥f (4)＝2m －4，g (x )在⎣⎡⎦⎤4，m 2单调递增，⎣⎡⎦
⎤m 2，m
上单调递减，[m ，＋∞)上单调递增，
g (4)＝6m －24>g (m )＝2m －8，
故g (x )≥g (m )＝2m －8，所以2m －
4>2m －8， 解得4<m <5或m >6.所以m >8.
③0<m <4时，f (x )在(－∞，m ]上单调递减，[m ,4]上单调递增， 故f (x )≥f (m )＝1.g (x )在[4，＋∞)上单调递增， 故g (x )≥g (4)＝8－2m ，所以8－2m <1，即7
2<m <4.
④m ≤0时，f (x )在(－∞，m ]上单调递减，[m ,4]上单调递增， 故f (x )≥f (m )＝1.g (x )在[4，＋∞)上单调递增，
故g (x )≥g (4)＝8－2m ，所以8－2m <1，即m >7
2(舍去)．
综上，m 的取值范围是⎝⎛⎭
⎫72，5∪(6，＋∞)． 【点评】 因为对于∀x ∈D ，f (x )>c ，可以转化为f (x )m in >c ；∃x ∈D ，c >g (x )，可以转化为c >g (x )m in ，
所以本问题类型可以分两步处理，转化为f (x )m in >g (x )m in .
► 探究点五 ∀x 1∈D ，∃x 2∈D ，f (x 1)＝g (x 2)的研究
对于∀x 1∈D ，∃x 2∈D ，f (x 1)＝g (x 2)的研究，若函数f (x )的值域为C 1，函数g (x )的值域为C 2，则该问题等价为C 1⊆C 2.
例、设函数f (x )＝－13x 3－13x 2＋5
3x －4.
(1)求f (x )的单调区间； (2)设a ≥1，函数g (x )＝x 3－3a 2x －2a .若对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 0∈[0,1]，使得f (x 1)＝g (x 0)成立，求a 的取值范围．
【解答】 (1)f ′(x )＝－x 2－23x ＋53，令f ′(x )>0，即x 2＋23x －5
3<0，
解得－53<x <1，∴f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－53，1；单调减区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－53和(1，＋∞)．
(2)由(1)可知：当x ∈[0,1]时，f (x )单调递增，
∴当x ∈[0,1]时，f (x )∈[f (0)，f (1)]，即f (x )∈[－4，－3]．
又g ′(x )＝3x 2－3a 2，且a ≥1，∴当x ∈[0,1]时，g ′(x )≤0，g (x )单调递减，∴当x ∈[0,1]时，
g (x )∈[g (1)，g (0)]，即g (x )∈[－3a 2－2a ＋1，－2a ]，
又对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 0∈[0,1]，使得f (x 1)＝g (x 0)成立
⇔[－4，－3]⊆[－3a 2－2a ＋1，－2a ]，即⎩
⎪⎨⎪⎧
－3a 2－2a ＋1≤－4，
－3≤－2a ，
解得1≤a ≤3
2.
恒成立与存在有解的区别：
恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。

①不等式()f x M <对x I ∈时恒成立max ()f x M•⇔<，x I ∈。

即()f x 的上界小于或等于M ； ②不等式()f x M <对x I ∈时有解min ()f x M•⇔<，x I ∈。

或()f x 的下界小于或等于M ； ③不等式()f x M >对x I ∈时恒成立min ()f x M•⇔>，x I ∈。

即()f x 的下界大于或等于M ； ④不等式
()f x M
>对x I ∈时有解max ()f x M ⇔>，x I ∈.。

或()
f x 的上界大于或等于M ；
方法总结：
1．对于恒成立问题或存在性问题常见基本类型为∀x ∈D ，f (x )>c ，可以转化为f (x )m in >c ；∃x
∈D ，c >g (x )，可以转化为c >g (x )m in ；∃x ∈D ，c ＝g (x )，可以转化为c ∈{y |y ＝g (x )}，对于由这些含有量词的命题组合而成的含有两个量词命题的问题，可以采取分步转化的方法来处理． 2．对于含有参数的恒成立问题或存在性问题，常用的处理方法有分类讨论或参数分离，并借助于函数图象来解决问题．
练习:
`1.已知两函数()2728f x x x c =--，()32
2440g x x x x =+-。

（1）对任意[]3,3x ∈-，都有()()f x g x ≤成立，求实数c 的取值范围； （2）存在[]3,3x ∈-，使()()f x g x ≤成立，求实数c 的取值范围； （3）对任意[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，求实数c 的取值范围； （4）存在[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，求实数c 的取值范围； 2.设函数3
221()23(01,)3
f x x ax a x b a b R =-
+-+<<∈. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；
（2）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤成立，求a 的取值范围。

3.已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，向量OA →，OB →，OC →
满足：()[]()01x ln 1f 2y =⋅++⋅'+-.
（1）求函数y ＝f (x )的表达式；
（2）若x ＞0，证明：f (x )＞2x
x ＋2； （3）若不等式
32)(2
1222
--+≤bm m x f x 时，x ∈[-1,1]及b ∈[-1,1]都恒成立，求实数
m的取值范围．。