意大利数学家求解三、四次方程的思想方法

意大利数学家求解三、四次方程的思想方法
16世纪以前，数学家们一直未能找到三次方程的一般求根公式，但在这之前人们已经得出了一元一次和二次方程的求根公式。

在一部14世纪的意大利数学手稿中，作者类比一元二次方程的求根公式，给出了方程c bx ax +=3的错误求根公式。

15世纪意大利数学家帕西沃里（L.paccioli,1445—1509）在其《算术，几何，比例和比例性概率》中称，求解三，四次方程c bx ax =+3，c bx ax =+23和c bx ax =+34在当时和“画圆为方”问题一样是不可能的。

这种对以前失败的悲叹声，却成为16世纪
意大利数学家迎接挑战的号角。

以此为序曲引出了我们要讲述的关于三，四次方程求解的故事。

1. 费罗对三次方程的求解
在帕西沃里做出悲观结论不久，大约1500年左右，波仑大学的算术与几何学教授费罗（Ferro,1465—1562）用代数方法得到了n mx x =+3这样一类缺项三次方程的求解公式，据说他的工作是以更早的阿拉伯资料为基础的。

但他并没有马上发表自己的成果，这在现在我们看来是不太可能的，但在当时社会，一个人要想保住自己的大学职位，必须在与他人的学术论争中不落败。

因此一个重要的新发现就成了一件在论争中保持不败之地的有力武器。

直到费罗去世前才把三次方程的求法传给了他的学生菲奥。

费罗对缺项三次方程的求法并没有公布于世，但后来的数学家们并没有停止对三次方程根的探求。

2.塔塔利亚对三次方程的探求
2.1 塔塔利亚生平
塔塔利亚1499年出生于意大利的布雷西亚城，小时因头部受伤留下口吃的后遗症，14岁因交不起学费而辍学，但他很早就表现出惊人的数学才能。

1543年，他去了威尼斯，当上了数学教授。

图1塔塔利亚
2.2 塔塔利亚对三次方程的求解
1530年，科伊（T.da Coi ）向塔塔利亚请教了两个问题：
(1)一数的平方根加3，乘以该数，积为5，求该数；
(2)求三数，其中第二数比第一数大2，第三数又比第二数大2，三数乘积为1000。

用今天的代数符号可以表示成求解两个三次方程：
5323=+x x 10008623=++x x x
塔塔利亚说他知道求解三次方程q px x =+23的一般解法，对第二个问题，他承认不会解，但他认为一定是可解的。

当费奥知道塔塔利亚会解三次方程时，向塔塔利亚提出了挑战。

费奥是费罗的学生二十年前费罗成功解决了三次方程q px x =+3，并把解法传授给了费奥。

塔塔利亚全心投入三次方程的研究，终于发现了方程q px x +=3，q px x =+23和23px q x =+的解法。

并在威尼斯和费奥进行比赛。

费奥给塔塔利亚出的三次方程都是形如q px x =+3的方程，塔塔利亚不到两个小时就劝解出来了，而费奥却一个都没解出塔塔利亚提出的方程。

但塔塔利亚由于种种原因未能把自己关于对三次方程解法的研究发表出来。

科伊曾经多次向塔塔利亚请教三次方程的解法，但塔塔利亚都没有告诉他。

下面我们看看塔塔利亚对三次方程的求解：[1]
三次方程的一般形式为：023=+++u tx sx x ，但对任意一个三次方程可经过减根运算变换成缺项方程：q px x =+3，
在此令33n m x -=，即
()x mn n m n n m n m m x 3
13
23
13
13
23
333--=-+-=，
于是方程变为
()q px x mn n m +-=--3
13.
当q n m =-，()
p mn =3
13或27
3
p mn =时，可满足方程，故有 27
44,23
2
2
2
p mn q n mn m ==+-.
两式相加得
27
423
2
2
2
p q n mn m +=+-，
由此得
27
43
2
p q n m +=+， 又因为q n m =-，从而有27
42,27423
232p q q n p q q m +
+-=++=，于是 3323
3227
422742p q q p q q x ++--++=。

但塔塔利亚发现的三次方程后不仅没有告诉别人，也没有马上发表出来。

他想把
这个方法发表在筹划已久的著作《数量通论》中。

最后却被卡当先发表在了《大术》中，而这也成了塔塔利亚一生的遗憾。

后来卡当发现在解方程的过程出现了一个他难以理解的问题即：当
3
2321⎪⎭
⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛p q 时，就会出现负数开平方的问题。

例如他在解方程4153
+=x x 时，得到3312121212--+-+=x 这使卡当感到不解，形式迫使他不得不正视虚数。

我们就是在解决问题中发现新的问题，然后再去寻找解决新问题的方法。

善于观察，善于发现，善于思考，这样才能推动科学的进步，社会的发展。

2.3 卡当的背信弃义
当时研究三次方程求解的数学家还有卡当，卡当1501年出生于帕维亚，并在帕多瓦获得医学博士，但他又精通数学。

1534年在米兰当上了数学教师，同时继续行医，并且是一个颇受欢迎的医生。

除了是一个极好的医生外，他还是哲学家和数学家，同时是一个占星术家。

他行为有些怪异，性好赌博，人品看来也不太佳。

在他去世后一百年，伟大的莱布尼兹概括了他的一生：“卡当是一个有许多缺点的伟人；没有这些缺点，他将举世无双。

”但在我们故事中卡当却是一个将才能与人品不佳的角色。

当卡当听说塔塔利亚研究出了三次方程，就请求他交给自己解三次方程的方法，当遭到塔塔利亚的拒绝，但卡当并没有放弃，他想了各种方法使塔塔利亚说出方程的解法，并发誓不告诉别人也不会发表出去，并立下誓言。

最后卡当答应了，把解法编成了诗歌的形式抄录给了卡当：[2]
一、立方共诸物，和为已知数，另寻数一双，差同已知数；二、根据题之需，再定其乘积，物数三之一，立方算仔细；三、差积既了然，双数得不难，复算立方边，相减是答案；四、诸物加定数，立方独一边，君且莫急躁，别有好箴言；五、定数一拆二，物数三之一，两分相乘时，立方是其积；六、既知和与积，两分易得手。

复算立方边，相加是所求；七、立方加定数，诸物成单独。

定数化为负，依样画葫芦；八、一五三四年，水城勤钻研，诸物为我求，基础牢且坚。

”
正如现在咱们所知道的，三次的方程的求根公式又叫做卡当公式，因为得卡当的背信弃义，将方程的解法发表在了自己的著作《大法》中。

塔塔利亚非常愤怒，将卡当告上了法庭，卡当知道自己的行为有违道德，不敢出席，派他的学生费拉里出庭，塔塔利亚本来就有口吃的毛病，在法庭上被能言善辩的费拉里战胜。

塔塔利亚本来是受害者，最后却败诉。

卡当的行为在我们看来是可耻的，剽窃别人的研究成果，污染了纯净的学术研究领域。

在我们今天看来塔塔利亚是虽然是受害者，但他对自己的研究不公开的做法不利于数学的发展，如果没有卡当的背信弃义，数学家对三次方程的探索不知道还要经过多少时间。

只有大家相互交流，共同分享，才能推进科学研究的发展。

3. 费拉里与四次方程
3.1 费拉里的简介
费拉里(Ferrari L.,1522-1565)出身贫苦，15岁时做了卡当的家仆，卡当的数学研究引起了他对数学的热爱，并表现出了出众的数学才能，被卡当收做学生，曾代替卡当出庭，费拉里能言善辩，让本来是受害人的塔塔利亚败诉。

费拉里掌握了三次方程的求解后有研究出了四次方程的求解。

3.2 费拉里对四次方程的求解
1540年，意大利数学家科伊向卡当提出了可以导致四次方程求解的问题：
把10分成三个数，使它们成连比，且前两个数的乘积为6。

下面我们理解费拉里对四次方程的求解：
四次方程都可以转化成最高次项的系数是1的方程形如
2
3
4=
+
+
+
+e
dx
cx
bx
x (1)
移项可得
e
dx
cx
bx
x-
-
-
=
+2
3
4 (2)
两边同时加上
2
2
1
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
bx，可将(2)式左边配成完全平方，方程化为
e
dx
x
c
b
bx
x-
-
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
=
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+2
2
2
2
4
1
2
1
(3)
在(3)式两边同时加上2
2
4
1
2
1
y
y
bx
x+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+可得
e
y
x
d
by
x
y
c
b
y
bx
x
-
+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
-
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
2
2
2
2
2
4
1
2
1
4
1
2
1
2
1
(4)
(4)式中的y式一个参数。

当(4)式中的x为原方程的根时，不论y取什么值，（4）式都应成立。

特别，如果所取的y值使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，则对（4）对两边同时开方可以得到次数较低的方程。

为了使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，只需使它的判别式变成0，即
4
1
4
1
4
2
1
2
2
2
=
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
-
-
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-e
y
y
c
b
d
by (5)
这是关于y的一元三次方程，可以通过塔塔利亚公式来求出y应取的实数值。

把由（5）式求出的y值代入（4）式后，（4）式的两边都成为完全平方，两边开方，可以得到两个关于x的一元二次方程。

解这两个一元二次方程，就可以得出原方程的四个根。

费拉里对四次方程转化成已经发现求根公式的三次方程的方法来求解，就是我们现在所说的“化未知为已知”“化复杂为简单”。

我们要不断发现，只有发现问题才会想办法去解决它。

塔塔利亚的三次方程的解法和费拉里对四次方程的发现都收录在卡当的《大术》中，《大术》是卡当在1545年在德国纽伦堡出版的一部关于代数学的拉丁文巨著。

正是因为三次方程首次出现在《大术》中，人们把塔塔利亚对三次方程的解法称为卡当公式。

参考文献
[1] 朱家生.数学史[M].北京：高等教育出版社，2004.
[2] 汪晓勤郭学萍.三次方程求根公式的诞生
h ttp:///artdetail.asp?name=204。