2019学年高一数学下学期期中试题 新人教-新版(1)

2019学年度第二学期高一期中考试
数学试题
本试卷满分150分 考试时间120分钟
一、选择题 (5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填在答题卡的相应位置上。

)
1.已知0tan ,0sin ><θθ，则θ2
sin
1-化简的结果为（ ）
A ．θcos B. θcos - C ．θcos ± D. 以上都不对
2.在边长为2的正三角形ABC 中，设c AB =,a BC =,b CA =，则a c c b b a ∙+∙+∙等于（ ）
A ．0
B ．1
C ．3
D ．－3
3.设α角属于第二象限，且2
cos
2
cos
α
α
-=，则
2
α
角属于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4．在A B C ∆中，c b a ,,分别为三个内角A 、B 、C 所对的边,设向量(),,m b c c a =-- (),n b c a =+，若向量⊥m n ，则角A 的大小为 （ ） A ．
6π B ．3π C ． 2π D ． 3
2π
5．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（ ）
A.y=sin2x
B.y=cos 2
x
C .y=sin2x+cos2x D. y=x x 22tan 1tan 1+-
6.如果1e ，2e 是平面α内所有向量的一组基底，那么下列选项正确的是（ ）
A ．若实数1λ，2λ，使11220e e λλ+=，则120λλ== ；
B ．空间任一向量a 可以表示为1122a e e λλ=+，这里1λ，2λ是实数 ；
C ．12,R λλ∈，1122e e λλ+不一定在平面α内 ；
D ．对平面α内任一向量a ，使1122a e e λλ=+的实数1λ，2λ有无数对。

7.函数)(sin log 2
1x y =的单调递增区间是（ ）
A.Z k k k ∈+-,22,22）（πππ
π B.Z k k k ∈++,2
32,22）（π
πππ C.Z k k k ∈++
,2,22）（ππππ D.Z k k k ∈+,2
2,2）（π
ππ 8.如图，在ABC △中，O 为BC 的中点，过O 的直线交AB 、AC
于M 、N ，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +=（ ）
A.2
B.
1
2
C.1
D.3 9．若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整
个图象沿x 轴向左平移
2π个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数y=x sin 2
1的图象则是y=f(x)是（ ） A ．y=
1)22sin(21++πx B.y=1)42sin(21++π
x C. y=
1)22sin(21+-πx D.y=1)42sin(21+-πx
10.在△ABC 中,2AC 1AB 90A ==︒=∠，，.设点P,Q 满足AB AP λ=，
R ∈-=λλ,1）（.若,2B -=∙则=λ（ ）
A.
31 B.32 C.3
4
D. 2 11. 平面上三个向量,,a b c ，两两夹角相等，|a |=1，|b |=3,|c |=7,则|a b c ++|等于 ( )
A ．11
B ．4
C ．11或4
D ．11或27 12. 定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[3,2]--上是减函数，,αβ是 钝角三角形的两个锐角，则(sin )f α与(cos )f β的大小关系是( ) A ．(sin )(cos )f f αβ< B ．(sin )(cos )f f αβ> C ．(sin )(cos )f f αβ≥ D ．(sin )(cos )f f αβ=
二、填空题（5×4=20分）
13. 已知扇形的圆心角为︒150，半径为3，则扇形的面积是 .
14. 关于函数()cos2cos f x x x x =-，下列命题：
①若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立； ②()f x 在区间,63ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上是单调递增； ③函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
成中心对称图像；
④将函数()f x 的图像向左平移
512
π
个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）
16.已知不等式()
222cos 54sin 0m m θθ+-+≥恒成立，则实数m 的取值范围是
17.（本题满分10分）已知sin
2cos 022
-=． （1）求tan x 的值； （2）求
cos 2)sin 4
x x x
π
+⋅的值．
18.（本题满分12分）如图，在ABC ∆中，,83
B AB π
∠=
=,点D 在边BC 上，
且
1
2,cos .7
CD ADC =∠=
（1）求sin BAD
∠； （2）求,BD AC 的长.
19.（本题满分12分）已知平面上三个向量,,
,其中）（2,1=, (1)52=,且∥,求的坐标； (2)2
5
=
,且)2()2(b a b a -⊥+,求a 与b 夹角的余弦值； (3)若),2(x =且与的夹角为锐角时，求x 的取值范围。

20.（本题满分12分） 已知向量)2cos ,2(),3),4
(
(sin 2
x x =-+=π
，函数x f ∙=)(.
（1）求()f x 的周期和单调递增区间；
（2）若关于x 的方程()2f x
m -=在[
,]42
x ππ
∈上有解，求实数m 的取值范围. 21.（本题满分12分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点．A （1，0）和点B （-1，0）1=，且x =∠A O C ，其中O 为坐标原点．
精 品
（1）若向量),cos 2sin ,cos 1(,x x x --==求∙的最小值． （2）若
4
3π
=
x ，设点D 为线段OA 上的动点，
求的最小值；
22 .（本题满分12分） 已知向量33cos
,sin ,cos ,sin 2222x x a x x b ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
. （1）求a b ⋅及a b +
； （2）若()2f x a b a b λ=⋅-+的最小值为3
2
-，求正实数λ的值.
精 品
平遥中学2017-2018学年度第二学期高一期中考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题（60分）
1-5 BDCBD 6-10 ACACB 11-12 DA
二、填空题（20分） 13.
415π
14. ①③ 15. -7 16. 40≥≤m m 或
三、解答题（70分）
17.（10分）
（1）
sin
2cos 022x x -=，则cos 02x ≠，
tan 22x
∴= ·
·······2分 222tan
2242tan 1231tan 2
x x x ⨯∴===--- ·············5分 （2
）原式22= ·············7分
(cos sin )(cos sin )cos sin (cos sin )sin sin x x x x x x
x x x x
-++=
=- ········ 8分
411tan 134tan 43
x x -
+==
=- ·················10分
18.（12分）错误! 错误! 错误!
精 品
19. （12分）
（3）由题意：若与的夹角为锐角，则0>∙b a 且与不共线，
即：⎩
⎨⎧≠->+040
22x x 解得：41≠->x x 且
{}41|≠->∴x x x x 且的取值范围是········12分
20. （12分）
·········4分
·········8分
精 品
解： (1)f(x)＝2sin2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋x －3cos 2x ＝1－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋2x －3cos 2x ＝1＋sin 2x －3cos 2x
＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，·················3分
周期T ＝π；
由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2
，
解得f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)．·····6分
(2)x ∈⎣⎢
⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π6，2π3，
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， 所以f(x)的值域为[2,3]．···············10分
而f(x)＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]．···········12分 21.（12分）
（1）由题意得C （cosx ，sinx ），
则
=1-sin （2x+）．................3分
取得最大值1，
此时取得最小值，
所以
的最小值为
． ..........................6分
（2）若，设D （t ，0）（0≤t ≤1），可得，
所以，，
所以 ·············9分
精 品
=，
所以当时，取得最小值为，故最小值为．......12分
22.（12分） 解：（1）33cos
cos sin sin cos 22222x x
a b x x x ⋅=-=·········2分
∵33cos
cos ,sin sin 2222x x a b x x ⎛
⎫+=++ ⎪⎝⎭
， ∴2
2
2
33cos cos sin sin 2222x x a b x x ⎛
⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
3322cos cos sin sin 2222x x x x ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭222cos 24cos x x =+=.
∵0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，∴2
cos 0x ≥，因此2cos a b x +=.···········4分 （2）由（1）知()2=cos24cos 2cos 4cos 1f x x x x x λλ-=--， ∴()()[]2
2=2cos 12,cos 0,1f x x x λλ---∈，·········8分 ①当01λ<<时，当cos x λ=时，
()f x 有最小值23122λ--=-，解得1
2
λ=.
②当1λ≥时，当cos 1x =时，()f x 有最小值3
142
λ-=-
， 58λ=（舍去），综上可得12
λ=.·················12分。