2016年高中数学必修一课件 3.1.1 方程的根与函数的零点
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高一数学必修1课件 3.1.1方程的根与函数的零点(1)
2
D. 5, 4
2、判断正误 (1)、函数y x 2 2 x 3在( 0, 2 )内有零点（ × ） (2)、函数y x 2 2 x 3在(-2, 4)内有2个零点（
√
）
一、基础知识讲解
函数 y = x2- 2x - 3 图像
y
区间 (a,b)
思考：一定吗？ f(a)*f(b) 结论 有没 还有其他条件 零点 吗? 的符号 （+或-） f(a)f(b)<0 + 连续不断 则函数 在区间 (a,b)内 有零点
2
y x2 2 x 1
2 y ax bx c(a 0)也成立吗？ 图像 根的 x 1 , x2 3 x1 x2 1 无实数根 1 情况
交点
( 1, 0),(3, 0)
(1, 0)
无交点
一、基础知识讲解
方程的根判别式和函数图像与x轴交点的关系
判别式
0
由表和图可知,f ( 2) 0, f (3) 0, 则 f ( 2) f (3) 0,这说明函数f ( x )在区间( 2, 3)内 有零点.由于函数f ( x)在定义域(0, )内是 增函数,所以它仅有一个零点.
二、例题分析
思考：已知方程 ln x 2 x 6=0的零点个数为多少？
小结
C
)
三、巩固练习
3、在区间[3, 5]上有零点的函数是( A、f ( x ) 2 x ln( x 2) 3 B、f ( x ) x 3 x 5
3
C、f ( x ) 2 4 1 D、f ( x ) 2 x
x
A)
小结
五、课堂小结 1、一元二次方程的解与相应二次函数图象与 x轴的关 系、函数零点与方程的根的关系： 方程 f (x)=0 有实数根
D. 5, 4
2、判断正误 (1)、函数y x 2 2 x 3在( 0, 2 )内有零点（ × ） (2)、函数y x 2 2 x 3在(-2, 4)内有2个零点（
√
）
一、基础知识讲解
函数 y = x2- 2x - 3 图像
y
区间 (a,b)
思考：一定吗？ f(a)*f(b) 结论 有没 还有其他条件 零点 吗? 的符号 （+或-） f(a)f(b)<0 + 连续不断 则函数 在区间 (a,b)内 有零点
2
y x2 2 x 1
2 y ax bx c(a 0)也成立吗？ 图像 根的 x 1 , x2 3 x1 x2 1 无实数根 1 情况
交点
( 1, 0),(3, 0)
(1, 0)
无交点
一、基础知识讲解
方程的根判别式和函数图像与x轴交点的关系
判别式
0
由表和图可知,f ( 2) 0, f (3) 0, 则 f ( 2) f (3) 0,这说明函数f ( x )在区间( 2, 3)内 有零点.由于函数f ( x)在定义域(0, )内是 增函数,所以它仅有一个零点.
二、例题分析
思考：已知方程 ln x 2 x 6=0的零点个数为多少？
小结
C
)
三、巩固练习
3、在区间[3, 5]上有零点的函数是( A、f ( x ) 2 x ln( x 2) 3 B、f ( x ) x 3 x 5
3
C、f ( x ) 2 4 1 D、f ( x ) 2 x
x
A)
小结
五、课堂小结 1、一元二次方程的解与相应二次函数图象与 x轴的关 系、函数零点与方程的根的关系： 方程 f (x)=0 有实数根
高一数学3.1.1《方程的根与函数的零点》课件(人教版A版必修1)
例2：
1．函数 f (x) Inx 2 的零点所在的大致区间是（ ） x
A．1, 2
B． 2, 3
C．1,
1 e
和3,
4
D． e,
2.若方程 2ax2 x 1 0 在（0，1）内恰有一解， 求实数a的取值范围。
3. 方程在 x2 求k的取值范围.
的实数解的个数
象，如右图，我们发现函数 f (x) x2 2x 3在 4
3
区间 2,1上有零点。计算 f (2) 和 f (1) 的乘 2
1
积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x -1
2, 4上是否也具有这种特点呢？
-2
-3
-4
结 如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫 做函数y=f(x)的零点。
注意： 零点指的是一个实数；
方程f(x)=0有实数根
零点是一个点吗?
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
探究
观 察 二 次 函 数 f (x) x2 2x 3 的 图 y 5
练习：
1.二次函数 y ax2 bx c(a 0)， a c 0
则函数的零点个数是（ ）
2.求下列函数的零点个数
1 f (x) x3 x2 4x 4 2 f (x) 3x1 x2 2 3 f (x) log3 x 2x 4
论 并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，
即存在ca,b，使得 f (c) 0，这个c也就是方程 f (x) 0的根。
高中数学3.1.1 (第1课时)方程的根与函数的零点优秀课件
4 假设函数f(x)在区间(0 , 2)内有零点，那D么
( )． A．f(0)＞0，f(2)＜0 B．f(0)·f(2)＜0 C．在区间(0,2)内，存在x₁，x₂使f(x₁)·f(x₂)＜0
y D．以上说法都不正确
O
2x
5.以下各图象表示的函数中没有零点的是( D )
B
7. 函数f(x)在区间［a,b］上单调且图象连续，且
f(a)·f(b)<0，那么函数f(x)在区间(a,b)上( D )
A. 至少有三个零点
B. 可能有两个零点
C. 没有零点
D. 必有唯一零点
假设改成：函数f(x)在区间［a,b］上图象连续
8 方程2x+x=0在以下哪个区间内有实数根( D )
A. (－2 ,－1)
B. (0 , 1)
C. (1 , 2)
C. x＝1
D. 不存在
2. 函数f(x)＝x2－2x的零点个数是( C )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
3. 假设函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足
f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，那么以下说法正C确的选项
是( ) A. f(x)在区间(0 , 1)上一定有零点，在区间(1 , 2) 上一定没有零点 B. f(x)在区间(0 , 1)上一定没有零点，在区间(1 , 2) 上一定有零点 C. f(x)在区间(0 , 1)上一定有零点，在区间(1 , 2) 上可能有零点 D. f(x)在区间(0 , 1)上可能有零点，在区间(1 , 2) 上一定有零点
1 ， 2 x=1 ， x=2 0，－1 ， 1 1
3
y
O
﹣2﹣1 1 2 3 4 x
高中数学高一必修第三章《方程的根与函数的零点》教育教学课件
由图象知g(x)＝lg (x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点， 即f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2有且只有一个零点.
反思与感悟
判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来 确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数.(2)利用 函数图象交点的个数判定函数零点的个数.
反思与感悟
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的 图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点. 在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.
跟踪训练1 函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是____4____. 解析 f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1) ＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3). 可知零点为±1，－2,3，共4个.
4.下列各图象表示的函数中没有零点的是( D )
函数 ＝ － 的零点个数是 B
个
个
个
无数个
则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4
＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，
∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内.
反思与感悟
在函数图象连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有 零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内 无零点.
3.1.1 方程的根与函数的零点
主讲老师：
CONTENTS
1 • PART 01学习目标 2 • PART 02问题导学
3 • PART 03题型探究
反思与感悟
判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来 确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数.(2)利用 函数图象交点的个数判定函数零点的个数.
反思与感悟
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的 图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点. 在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.
跟踪训练1 函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是____4____. 解析 f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1) ＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3). 可知零点为±1，－2,3，共4个.
4.下列各图象表示的函数中没有零点的是( D )
函数 ＝ － 的零点个数是 B
个
个
个
无数个
则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4
＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，
∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内.
反思与感悟
在函数图象连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有 零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内 无零点.
3.1.1 方程的根与函数的零点
主讲老师：
CONTENTS
1 • PART 01学习目标 2 • PART 02问题导学
3 • PART 03题型探究
高中数学《方程的根与函数的零点》课件
27
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课 函数零点的应用
例 4 已知关于 x 的方程 x2－2ax＋4＝0，在下列条件
下，求实数 a 的取值范围．
(1)一个根大于 1，一个根小于 1；
(2)一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内．
解 (1)方程 x2－2ax＋4＝0 的一个根大于 1，一个根小
f0＝4>0， f1＝5－2a<0， 性定理得f6＝40－12a<0， f8＝68－16a>0，
解得130<a<147.
29
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
13
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修1
【跟踪训练 1】 若函数 f(x)＝x2＋x－a 的一个零点是 －3，求实数 a 的值，并求函数 f(x)其余的零点．
解 由题意知 f(－3)＝0， 即(－3)2－3－a＝0，a＝6， ∴f(x)＝x2＋x－6. 解方程 x2＋x－6＝0，得 x＝－3 或 2. ∴函数 f(x)其余的零点是 2.
(4)如果单调函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不 断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么函数 y＝f(x)在区间 (a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的 c∈(a，b)，使得 f(c) ＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．
10
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
于 1，设 f(x)＝x2－2ax＋4，结合二次函数的图象与性质及
零点的存在性定理得
f(1)＝5－2a<0，解得
5 a>2.
高中数学必修一：3.1.1 方程的根与函数的零点(课件)
答案 有零点，零点为0.
知识点二 函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的 实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的_交__点__ 的横坐标 ，即方程f(x)＝0的实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴的 交点的横坐标 ⇔函 数y＝f(x) 的零点 . 思考 函数f(x)＝ax2＋x－2有一个零点是1，这个函数还有其他零点吗？
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝2x－1－3的零点是_l_o_g_26__. 解析 解方程2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26. (2)若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，则函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是_－__1_和__0__.
解析 因为f(x)＝ax－b的零点是3，所以f(3)＝0，即3a－b＝0，即b＝3a. 所以g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)，所以方程g(x)＝0的两个根为－1和0， 即函数g(x)的零点为－1和0.
题型三 函数零点的个数
例3 已知0<a<1，则函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为
A.1
√B.2
C.3
D.4
解析 函数y＝a|x|－|logax|(0<a<1)的零点的个数即方程a|x|＝|logax|(0<a<1)的根的个数， 也就是函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象的交点的个数. 画出函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象，如图所示，观察可得函数f(x) ＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象的交点的个数为2，从而函数y＝a|x|－|logax| 的零点的个数为2.
知识点二 函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的 实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的_交__点__ 的横坐标 ，即方程f(x)＝0的实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴的 交点的横坐标 ⇔函 数y＝f(x) 的零点 . 思考 函数f(x)＝ax2＋x－2有一个零点是1，这个函数还有其他零点吗？
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝2x－1－3的零点是_l_o_g_26__. 解析 解方程2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26. (2)若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，则函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是_－__1_和__0__.
解析 因为f(x)＝ax－b的零点是3，所以f(3)＝0，即3a－b＝0，即b＝3a. 所以g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)，所以方程g(x)＝0的两个根为－1和0， 即函数g(x)的零点为－1和0.
题型三 函数零点的个数
例3 已知0<a<1，则函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为
A.1
√B.2
C.3
D.4
解析 函数y＝a|x|－|logax|(0<a<1)的零点的个数即方程a|x|＝|logax|(0<a<1)的根的个数， 也就是函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象的交点的个数. 画出函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象，如图所示，观察可得函数f(x) ＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象的交点的个数为2，从而函数y＝a|x|－|logax| 的零点的个数为2.
人教版高中数学必修1课件：3.1.1 方程的根与函数的零点 2
零点的综合性问题
1.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在 (0，+∞)内的零点有1004个，则f(x)的零 点个数为 2009个。
2. 函数
1 f ( x) e 5的零点的个数是
x
能力提升
一元二次方程根的分布
•
时： • (1)方程一根大于1，一根小于1； • (2)方程一个根在(－1,1)内，另一个根在(2,3)内； • (3)方程的两个根都大于零？ • 探究1.将方程问题转化为相应的函数问题，然后利用 函数的图象特征求解．
当a＝1时，原方程实数解的个数为3； 当0＜a＜1时，原方程实数解的个数为4； 当a＞1或a ＝ 0时，原方程实－x (x∈[－1,1])的零点个数为________．
2
[答案] 1
[解析] 令2－ 4－x2 ＝0，解得x＝0，所以函数仅有一个 零点，故填1. [总结] 当函数y＝f(x)的图象在闭区间[a，b]上是一条连
续不断的曲线，但是不满足f(a)· f(b)＜0时，函数y＝f(x)在区间 (a，b)内可能存在零点，也可能不存在零点．
函数y=f(x)有零点
零点存在性定理：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条 曲线，并且有f(a)〃f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间 (a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也 就是方程f(x)=0的根。
跟踪训练1：
• (1)指出下列函数的零点：g(x)＝lgx＋2零点为________． • (2)已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点，则f(1)＝ ________.
3.1.1 方程的根与函数的零点（二）
函数零点的定义： 对于函数y=f(x) 我们把使f(x)=0的 实数x叫做函数y=f(x)的零点。
人教A版高中数学必修一课件3.1.1方程的根与函数的零点(共15张ppt)
(2)图象法：画出y= f(x)的图象，其图象 与x轴交点的横坐标。 (3)定理法：函数零点存在性定理。
练习1:下列函数在区间[1，2]上有零点
的是( D )
(A) f(x)=3x2-4x+5 (B) f(x)=x³-5x-5 (C) f(x)=lnx-3x+6 (D) f(x)=ex+3x-6 练习2:f(x)=x3+x-1在下列哪个区间上有
思考:零点是不是点？零点指的是一个实数.
函数y f (x)的零点
方程f (x) 0的实数根
函数y f (x)图象与x轴交点的横坐标
练习：
1、求下列函数的零点
y x3 x
0，-1，1
y x 1 x
1，-1
2、求下列函数的零点
1 f (x) x2 4x 3 2 f (x) 2x 4 3 f (x) log2 x 8
这个c也就是方程 f(x)=0 的根。
a
a
b
b
例1:方程ln x 2x 6 0在下列哪个区间
上有零点( C )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
解法一: f 1 4 f 2 ln 2 2 0 f 3 ln 3 0 f 4 ln 4 2 0 f 2• f 3 0
ax2+bx+c=0 的根
函数的图象与 x 轴的交点
两个不相等的 实数根x1 、x2
(x1,0) , (x2,0)
0
y
0 x1 x
有两个相等的 实数根x1 = x2
b ,0 2a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ<0
y
0
x
没有实数根
没有交点
一、函数零点的定义：
练习1:下列函数在区间[1，2]上有零点
的是( D )
(A) f(x)=3x2-4x+5 (B) f(x)=x³-5x-5 (C) f(x)=lnx-3x+6 (D) f(x)=ex+3x-6 练习2:f(x)=x3+x-1在下列哪个区间上有
思考:零点是不是点？零点指的是一个实数.
函数y f (x)的零点
方程f (x) 0的实数根
函数y f (x)图象与x轴交点的横坐标
练习：
1、求下列函数的零点
y x3 x
0，-1，1
y x 1 x
1，-1
2、求下列函数的零点
1 f (x) x2 4x 3 2 f (x) 2x 4 3 f (x) log2 x 8
这个c也就是方程 f(x)=0 的根。
a
a
b
b
例1:方程ln x 2x 6 0在下列哪个区间
上有零点( C )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
解法一: f 1 4 f 2 ln 2 2 0 f 3 ln 3 0 f 4 ln 4 2 0 f 2• f 3 0
ax2+bx+c=0 的根
函数的图象与 x 轴的交点
两个不相等的 实数根x1 、x2
(x1,0) , (x2,0)
0
y
0 x1 x
有两个相等的 实数根x1 = x2
b ,0 2a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ<0
y
0
x
没有实数根
没有交点
一、函数零点的定义：
数学人教A版必修一：3.1.1《方程的根与函数的零点》课件1
-10
-6
y=x2-2x+1
-5
2
-8
(1,0)
1
-10
x2-2x+3=0
-25 -20
-2
-12
无实数根
-15 -10
y=x2-2x+3
-5
-14
4
没有交点
1
-4 2
-16
-6
-18
结 论:1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数。
-20
-2
-8 -4
2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。
思考3:如果函数y=f(x)在区间[1,2]上的 图象是连续不断的一条曲线，那么在下 列那种情况下，函数y=f(x)在区间(1,2) 内一定有零点？ (1)f(1)＞0,f(2)＞0; (2)f(1)＞0,f(2)＜0; (3)f(1)＜0,f(2)＜0; (4)f(1)＜ 0,f(2)＞0.
思考4:一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上 的图象是连续不断的一条曲线，那么在什么条件 下，函数y=f(x)在区间（a,b）内一定有零点？
思考6:如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是 连续不断的一条曲线，那么当 f(a)·f(b)>0时， 函数y=f(x)在区间（a，b）内一定没有零点吗？
思考7:如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是 连续不断的一条曲线，那么当 f(a)·f(b)<0时， 函数y=f(x)在区间（a，b）有多少个零点呢？
y 2 log 3 x . y 2 8 ; （2 ） （1 ）
x
知识探究（二）：函数零点存在性原理
思考1:函数f(x)=2x-1的零点是什么？ 函数f(x)=2x-1的图象在零点两侧如何分 布？
-6
y=x2-2x+1
-5
2
-8
(1,0)
1
-10
x2-2x+3=0
-25 -20
-2
-12
无实数根
-15 -10
y=x2-2x+3
-5
-14
4
没有交点
1
-4 2
-16
-6
-18
结 论:1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数。
-20
-2
-8 -4
2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。
思考3:如果函数y=f(x)在区间[1,2]上的 图象是连续不断的一条曲线，那么在下 列那种情况下，函数y=f(x)在区间(1,2) 内一定有零点？ (1)f(1)＞0,f(2)＞0; (2)f(1)＞0,f(2)＜0; (3)f(1)＜0,f(2)＜0; (4)f(1)＜ 0,f(2)＞0.
思考4:一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上 的图象是连续不断的一条曲线，那么在什么条件 下，函数y=f(x)在区间（a,b）内一定有零点？
思考6:如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是 连续不断的一条曲线，那么当 f(a)·f(b)>0时， 函数y=f(x)在区间（a，b）内一定没有零点吗？
思考7:如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是 连续不断的一条曲线，那么当 f(a)·f(b)<0时， 函数y=f(x)在区间（a，b）有多少个零点呢？
y 2 log 3 x . y 2 8 ; （2 ） （1 ）
x
知识探究（二）：函数零点存在性原理
思考1:函数f(x)=2x-1的零点是什么？ 函数f(x)=2x-1的图象在零点两侧如何分 布？
高一数学课件：必修一 3.1.1方程的根与函数的零点
2.存在但不一定唯一
3.如果加入条件函数在区间 a, b 上单调， 则存在零点，且只有一个 4.若 f (a) f (b) 0 ，则函数零点可能存在， 也可能不存在
例1求函数 f ( x) ln x 2 x 6 的零点的个数。
解:用计算器作出x,f(x)的对应值表:
x 1 2 -1.3069 3 1.0986 4 3.3869 ... ... f(x) -4
请同学们回顾本节课所学知识内容有 哪些，所涉及到的主要数学思想又有哪些； 能与同学交流一下吗？
P92 习题 3、1 第1、2题的
小结
1.知识和要求：掌握函数零点的概念；了解 函数零点与方程根的关系；学会某区间上图 象连续的函数存在零点的判定方法。
2.数学思想方法：由特殊到一般的归纳思想， 数形结合的思想，函数与方程的思想。
2
2
(3)方程x 2x 3 0
2
f x x 2 x 3
2
对于一般的二次函数 y ax2 bx c(a 0)和二次方程 ax2 bx c＝ 0(a 0)？
y
y ax bx c y
2
y ax bx c
2
y y ax2 bx c
1 2.函数 y log2 x的零点是：_____ 0个 3.函数 y x 2 x 1 的零点个数是：_____ 1个 4.函数 y 2 1的零点个数是：_____
x
观察函数y x2 2 x 3的图象：
有 （有/ 无）零点； 2,1上 _____ (1)在区间
a
0
b
c
d
x
3
实数解的存在性，并说 明理由。
方程x 2x 3 0与函数y x 2 x 3
3.如果加入条件函数在区间 a, b 上单调， 则存在零点，且只有一个 4.若 f (a) f (b) 0 ，则函数零点可能存在， 也可能不存在
例1求函数 f ( x) ln x 2 x 6 的零点的个数。
解:用计算器作出x,f(x)的对应值表:
x 1 2 -1.3069 3 1.0986 4 3.3869 ... ... f(x) -4
请同学们回顾本节课所学知识内容有 哪些，所涉及到的主要数学思想又有哪些； 能与同学交流一下吗？
P92 习题 3、1 第1、2题的
小结
1.知识和要求：掌握函数零点的概念；了解 函数零点与方程根的关系；学会某区间上图 象连续的函数存在零点的判定方法。
2.数学思想方法：由特殊到一般的归纳思想， 数形结合的思想，函数与方程的思想。
2
2
(3)方程x 2x 3 0
2
f x x 2 x 3
2
对于一般的二次函数 y ax2 bx c(a 0)和二次方程 ax2 bx c＝ 0(a 0)？
y
y ax bx c y
2
y ax bx c
2
y y ax2 bx c
1 2.函数 y log2 x的零点是：_____ 0个 3.函数 y x 2 x 1 的零点个数是：_____ 1个 4.函数 y 2 1的零点个数是：_____
x
观察函数y x2 2 x 3的图象：
有 （有/ 无）零点； 2,1上 _____ (1)在区间
a
0
b
c
d
x
3
实数解的存在性，并说 明理由。
方程x 2x 3 0与函数y x 2 x 3
人教版高一数学必修13.1.1方程的根和函数的零点课件
►Living without an aim is like sailing without a compass. 生活没有目标，犹如航海没有罗盘。
►A man is not old as long as he is seeking something. A man is not old until regrets take the place of dreams. 只要一个人还有追求，他就没有老。直到后悔取代了梦想，一个人才算老。
3.1.1方程的根与函数的零点
先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相 应的二次函数的图象：
一元二次方程 方程的根 二次函数 图象与x轴的 交点
x2-2x-3=0 x1 1 y=x2-2x- 1,0,3,0
x2 3 3
x2-2x+1=0 x1 x2=0
3. 方程在 x2 求k的取值范围.
3 2
x
k
0（-1，1）上有实根，
作业： P92 A组 2, 作业本A本P28 4.5
1.若函数 f(x)=ax+b有一个零点2,求函数
g(x)=bx2-ax的零点
2. 已知关于x的方程 3x 2 5x a 0 的一个根在
(-2,0)内，另一根在(1,3)内，求实数a的取值范 围.
3.已知a R，讨论关于x的方程 x2 6x 8 a
的实数解的个数
►If I had not been born Napoleon, I would have liked to have been born Alexander. 如果今天我不是拿破仑的话，我想成为亚历山大。
►Never underestimate your power to change yourself! 永远不要低估你改变自我的能力！
高中数学3.1.1《方程的根与函数的零点》课件
f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.
〔〕
〔2〕函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) >0，那么
f(x)在区间(a,b)内没有零点.
〔〕
〔3〕函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且在区间(a,b)内存在零
点，那么有 f (a) ·f(b) < 0
〔〕
〔4〕函数y=函f 数(x零)在点区存间在定[a理,b的] 满四个足注f 意(a点) ·：f(b) < 0，那么f(x)在
(2)
y 1 x
(3) y 2x (4) ylog2x2
归纳整理
求函数零点的步骤： (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点
注意：函数的零点是函数图象与x轴交点的 横坐标，是实数，而不是点。
假假设设所将画x轴曲看线成能一表条示河为流函，数我，要设渡A点河横从坐A点 标到为B点a,。B点请横大坐家标用为连b续，不问断：的如曲何线用画代出数可形能式的 表路示径函。数的零点一定在区间(a,b)内？
x123456
f(x) 2 3.2 -1 11 -2 -7
函数在区间[1,6]上的零点至少有 个
2.函数 f(x)ex4x的零点所在的大致区间是〔 〕
A、(1,2) C、〔-1，0〕
B、(2,3) D、(0,1)
思考：函数 f(x)的e零x点4x有几个？
归纳总结
本节课你收获了什么？
归纳总结
一个关系：函数零点与方程根的关系:
阿拉伯数学家花拉子米 (约780～约850)给出了一次 方程和二次方程的一般解法。
挪威数学家阿贝尔(1802～1829 证明了五次以上一般方程没有 求根公式。
高中数学3.1.1方程的根与函数的零点优秀课件
1 2x+2=0
x 1
2x22x3=0 32x 2=0
x11,x23
x 1
4lgx1=0 x 2
lnx+2x6=0
方程的根与函数的零点
探究1：方程与函数的联系
方程
x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0
判别式Δ
Δ＞0
Δ=0
Δ＜0
方程的实数根 x1=－1,x2=3
x1=x2=1
一 不定一存定假在存设函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断 的零 在一点零点条曲线，请画出以下三种情况下经过A、B两点的可 能的函数图象。
A
A
Ba
bx
a
bx a
bx
A
B
猜测： B
函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上连f(a续) f，(b如)<0果
有
，那么函数在区间(a,b)上
有零点.
论 ②一元二次方程的实数根是对应二次函数图象和x轴
交点的横坐标。
上述结论对于其他的方程与其对应的函数是否也成立？
(1)2x+2=0与y 2x+2； y
2 2x 2 0与y 2x 2 y
2
1
(-1,0)
－1 O
－1
12x
2
3 lg x 1 0 与 y lg x 1
y
1 (1,0)
－1 O
则 函 数 在 区 间 [1 ,6 ]上 的 零 点 至 少 有 (C )个
A .2 B .3 C .4 D .5
(2)函数f(x)=x3+x-1在以下哪个区间有零点〔B 〕
A.(-1，0) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3)
x 1
2x22x3=0 32x 2=0
x11,x23
x 1
4lgx1=0 x 2
lnx+2x6=0
方程的根与函数的零点
探究1：方程与函数的联系
方程
x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0
判别式Δ
Δ＞0
Δ=0
Δ＜0
方程的实数根 x1=－1,x2=3
x1=x2=1
一 不定一存定假在存设函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断 的零 在一点零点条曲线，请画出以下三种情况下经过A、B两点的可 能的函数图象。
A
A
Ba
bx
a
bx a
bx
A
B
猜测： B
函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上连f(a续) f，(b如)<0果
有
，那么函数在区间(a,b)上
有零点.
论 ②一元二次方程的实数根是对应二次函数图象和x轴
交点的横坐标。
上述结论对于其他的方程与其对应的函数是否也成立？
(1)2x+2=0与y 2x+2； y
2 2x 2 0与y 2x 2 y
2
1
(-1,0)
－1 O
－1
12x
2
3 lg x 1 0 与 y lg x 1
y
1 (1,0)
－1 O
则 函 数 在 区 间 [1 ,6 ]上 的 零 点 至 少 有 (C )个
A .2 B .3 C .4 D .5
(2)函数f(x)=x3+x-1在以下哪个区间有零点〔B 〕
A.(-1，0) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3)
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求函数的零点
[例1] 求出． x＋ 3 (1)f(x)＝ x ；(2)f(x)＝x2＋2x＋4； (3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－log3x. (1)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请
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[解]
x＋3 x＋3 (1)令 x ＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝ x 的
零点是x＝－3. (2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0， 所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根， 所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点． (3)令2x－3＝0，解得x＝log23. 所以函数f(x)＝2x－3的零点是x＝log23. (4)令1－log3x＝0，解得x＝3， 所以函数f(x)＝1－log3x的零点是x＝3.
3.1
1 理解教 材新知
知识点一 知识点二 题型一 题型二 题型三
第 三 章
3.1.1
方程 的根 与函 数的 零点
2 突破常 考题型 3 跨越高 分障碍
4 应用落 实体验
随堂即时演练 课时达标检测
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3.1
函数与方程
3．1.1
方程的根与函数的零点
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函数的零点 [提出问题]
如图为函数f(x)在[－4,4]上的图象：
f(b)<0 .那么，函数y＝f(x)在区间(a，b) 条曲线，并且有 f(a)·
内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是 方程f(x)＝0的根．
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[化解疑难] 对函数零点存在性的探究 1 (1)并不是所有的函数都有零点，如函数y＝x. (2)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在[a，b]上是连 续曲线；②f(a)· f(b)<0.则可判定函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少 有一个零点，但是不能明确说明有几个． (3)当函数y＝f(x)的图象在[a，b]上是连续的曲线，但是不 满足f(a)· f(b)<0时，函数y＝f(x)在区间(a，b)内可能存在零点， 也可能不存在零点．
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问题1：根据函数的图象，你能否得出方程f(x)＝0的根的个 数？
提示：方程 f(x) ＝0的根即为函数 f(x) 的图象与 x轴交点的横
坐标，由图可知，方程有3个根，即x＝－3，－1,2.
问题2：你认为方程的根与对应函数的图象有什么关系？
提示： 方程的根是使函数值等于零的自变量值，也就是函
数图象与x轴交点的横坐标．
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判断函数零点所在的区间
[例2] 下表： x y －3 6 －2 m －1 －4 0 1 2 3 n 4 6 (1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如
－6 －6 －4
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区 间是 ( )
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A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1) C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞) 9 (2)函数f(x)＝lg x－x的零点所在的大致区间是 A．(6,7) C．(8,9) B．(7,8) D．(9,10) ( )
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[导入新知] 1．函数的零点 对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x) 的零点． 2．方程、函数、图象之间的关系 方程f(x)＝0 有实根 ⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 ⇔函数y＝f(x) 有零点 ．
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[化解疑难] 函数零点的本质 (1)函数的零点的本质是方程f(x)＝0的实数根，因此，函 数的零点不是点，而是一个实数．例如函数f(x)＝x＋1，当 f(x)＝x＋1＝0时，仅有一个实数根x＝－1，所以函数f(x)＝ x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个 实数－1，而不是一个点． (2)函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若 方程没有实数根，则函数没有零点．
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[类题通法] 函数零点的求法 求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程 f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函 数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点．
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[活学活用] 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝ ； x－3 (3)f(x)＝4x＋5； (4)f(x)＝log3(x＋1)．
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[解析]
(1)利用f(a)f(b)<0，则f(x)＝0在(a，b)内有根来判
定．∵f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，∴在(－3，－1)内必有根， 又由f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0， ∴在(2,4)内必有根．故选A. 9 3 9 (2)∵f(6)＝lg 6－6＝lg 6－2<0，f(7)＝lg 7－7<0， 9 9 f(8)＝lg 8－8<0，f(9)＝lg 9－1<0，f(10)＝lg 10－10>0， ∴f(9)· f(10)<0. 9 ∴f(x)＝lg x－x的零点的大致区间为(9,10)．
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函数零点的判断
函数f(x)＝x2－4x＋3图象如图．
问题1：函数的零点是什么？ 提示：1,3. 问题2：判断f(0)·f(2)与f(2)·f(4)的符号． 提示：∵f(0)＝3，f(2)＝－1，f(4)＝3， ∴f(0)·f(2)<0，f(2)·f(4)<0.
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[导入新知] 函数零点的存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 连续不断 的一
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解：(1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，所以函数的零点为 x＝－2. x－1x2－4x＋3 (2)令 ＝0，解得x＝1，所以函数的零点为 x－3 x＝1. (3)令4x＋5＝0，则4x＝－5<0，即方程4x＋5＝0无实数根， 所以函数不存在零点． (4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数的零点为x＝0.
[答案] (1)A
(2)D
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[类题通法] 确定函数零点所在区间的方法 确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用 零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的 符号是否相反．
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[活学活用]
1 1x 若x0是方程2 ＝x 3 的解，则x0属于区间
求函数的零点
[例1] 求出． x＋ 3 (1)f(x)＝ x ；(2)f(x)＝x2＋2x＋4； (3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－log3x. (1)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请
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[解]
x＋3 x＋3 (1)令 x ＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝ x 的
零点是x＝－3. (2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0， 所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根， 所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点． (3)令2x－3＝0，解得x＝log23. 所以函数f(x)＝2x－3的零点是x＝log23. (4)令1－log3x＝0，解得x＝3， 所以函数f(x)＝1－log3x的零点是x＝3.
3.1
1 理解教 材新知
知识点一 知识点二 题型一 题型二 题型三
第 三 章
3.1.1
方程 的根 与函 数的 零点
2 突破常 考题型 3 跨越高 分障碍
4 应用落 实体验
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3.1
函数与方程
3．1.1
方程的根与函数的零点
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函数的零点 [提出问题]
如图为函数f(x)在[－4,4]上的图象：
f(b)<0 .那么，函数y＝f(x)在区间(a，b) 条曲线，并且有 f(a)·
内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是 方程f(x)＝0的根．
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[化解疑难] 对函数零点存在性的探究 1 (1)并不是所有的函数都有零点，如函数y＝x. (2)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在[a，b]上是连 续曲线；②f(a)· f(b)<0.则可判定函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少 有一个零点，但是不能明确说明有几个． (3)当函数y＝f(x)的图象在[a，b]上是连续的曲线，但是不 满足f(a)· f(b)<0时，函数y＝f(x)在区间(a，b)内可能存在零点， 也可能不存在零点．
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问题1：根据函数的图象，你能否得出方程f(x)＝0的根的个 数？
提示：方程 f(x) ＝0的根即为函数 f(x) 的图象与 x轴交点的横
坐标，由图可知，方程有3个根，即x＝－3，－1,2.
问题2：你认为方程的根与对应函数的图象有什么关系？
提示： 方程的根是使函数值等于零的自变量值，也就是函
数图象与x轴交点的横坐标．
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判断函数零点所在的区间
[例2] 下表： x y －3 6 －2 m －1 －4 0 1 2 3 n 4 6 (1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如
－6 －6 －4
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区 间是 ( )
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A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1) C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞) 9 (2)函数f(x)＝lg x－x的零点所在的大致区间是 A．(6,7) C．(8,9) B．(7,8) D．(9,10) ( )
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[导入新知] 1．函数的零点 对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x) 的零点． 2．方程、函数、图象之间的关系 方程f(x)＝0 有实根 ⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 ⇔函数y＝f(x) 有零点 ．
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[化解疑难] 函数零点的本质 (1)函数的零点的本质是方程f(x)＝0的实数根，因此，函 数的零点不是点，而是一个实数．例如函数f(x)＝x＋1，当 f(x)＝x＋1＝0时，仅有一个实数根x＝－1，所以函数f(x)＝ x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个 实数－1，而不是一个点． (2)函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若 方程没有实数根，则函数没有零点．
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[类题通法] 函数零点的求法 求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程 f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函 数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点．
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[活学活用] 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝ ； x－3 (3)f(x)＝4x＋5； (4)f(x)＝log3(x＋1)．
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[解析]
(1)利用f(a)f(b)<0，则f(x)＝0在(a，b)内有根来判
定．∵f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，∴在(－3，－1)内必有根， 又由f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0， ∴在(2,4)内必有根．故选A. 9 3 9 (2)∵f(6)＝lg 6－6＝lg 6－2<0，f(7)＝lg 7－7<0， 9 9 f(8)＝lg 8－8<0，f(9)＝lg 9－1<0，f(10)＝lg 10－10>0， ∴f(9)· f(10)<0. 9 ∴f(x)＝lg x－x的零点的大致区间为(9,10)．
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函数零点的判断
函数f(x)＝x2－4x＋3图象如图．
问题1：函数的零点是什么？ 提示：1,3. 问题2：判断f(0)·f(2)与f(2)·f(4)的符号． 提示：∵f(0)＝3，f(2)＝－1，f(4)＝3， ∴f(0)·f(2)<0，f(2)·f(4)<0.
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[导入新知] 函数零点的存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 连续不断 的一
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解：(1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，所以函数的零点为 x＝－2. x－1x2－4x＋3 (2)令 ＝0，解得x＝1，所以函数的零点为 x－3 x＝1. (3)令4x＋5＝0，则4x＝－5<0，即方程4x＋5＝0无实数根， 所以函数不存在零点． (4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数的零点为x＝0.
[答案] (1)A
(2)D
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[类题通法] 确定函数零点所在区间的方法 确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用 零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的 符号是否相反．
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[活学活用]
1 1x 若x0是方程2 ＝x 3 的解，则x0属于区间