漳浦一中届高三上学期模拟练习数学试题及答案(理)

福建省漳浦一中2014-2015学年高三上学期模拟练习 (理)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若函数y ＝2cosx （0≤x≤2π）的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为（ ）
A ．4
B ．8
C ．2π
D ．4π 2．当1
02
x <≤
时，4log x a x <，则a 的取值范围是（ ）
A ．2
B ．
C ．,1)2
D ． 3．等差数列{}n a 中的1a ，4027a 是函数3
21()41213
f x x x x =-++的极值点，则22014lo
g a =（ ）
A ．3
B ．2
C ．4
D ．5
4．设向量()()ββααsin ,cos ,sin ,cos ==b a ，其中0αβπ<<<，若2-=则βα-等于（ ） A ．2
π
-
B ．
2π C ．4
π
D ．4π-
5．下列函数中，既是奇函数又在定义域内单调递减的函数为（ ）
A ．1
y x = B ．lg y x = C ．sin y x = D ． e e 2
x x y --=
6．已知21()sin()42
f x x x π
=
++，'()f x 为()f x 的导函数，则'()f x 的图象是（ ）
7．已知数列{n a }的首项11a =，()131n n a S n +=≥，则下列结论正确的是（ ） A.数列{n a }是等比数列 B.数列23,,,n a a a ⋅⋅⋅是等比数列 C.数列{n a }是等差数列 D.数列23,,,n a a a ⋅⋅⋅是等差数列
8．已知等比数列{n a }中，2854,a a a ⋅=
等差数列{}n b 中，465b b a +=，则数列{}n b 的前
9项和9s 等于（ ）
A ．9
B ．18
C ．36
D ．72
9．设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率是（ ） A ．4 B ．14-
C ．2
D ．12
- 10．已知函数c x x y +-=33的图像与x 轴恰有两个公共点，则c =（ ） A ．3-或1 B ．9-或3 C ．1-或1 D ．2-或2
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置)． 11．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边长分别是,,a b c ，若()()a b c a b c ab +++-=，则角C 的大小为 .
12．一辆汽车在行驶中由于遇到紧急情况而刹车，以速度5
()731t t t
υ=-+
+（t 的单位：s ，υ的单位：m/s ）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是 ．
13．幂函数()y f x =的图象经过点1(4,)2，则1()4
f =
14．已知()y f x =在定义域(1,1)-上是减函数，且(1)(21)f a f a -<-，则a 的取值范围是 .
15．当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
时,14ax y ≤+≤恒成立,则实数a 的取值范围是 .
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．（12分）已知函数32()f x x bx cx =++在1x =处的切线方程为6210x y --=，'()f x 为()f x 的导函数，()e x g x a =⋅（,,R a b c ∈，e 为自然对数的底） （1）求,b c 的值；
（2）若(]0,2x ∃∈，使()'()g x f x =成立，求a 的取值范围.
17．（12分）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒，已知山高100BC =m ，求山高MN .
18．（12分）已知等差数列{}n a 满足14563,45a a a a =++= （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11n n a a +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
19．(12分)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)，又当x 2>x 1>0时，f(x 2)>f(x 1)．
(1)求f(1)、f(4)、f(8)的值；
(2)若有f(x)＋f(x －2)≤3成立，求x 的取值范围．
20．（本小题满分12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3
a
y x x =
+--，其中63<<x ，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。

（1）求a 的值；
（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大
参考答案
一、选择题
1．【解析】如图所示．
由图可知，S 1＝S 2，S 3＝S 4，因此函数y ＝2cos x （0≤x ≤2π）的图象与直线y ＝2所围成的图形面积即为矩形OABC 的面积．
∵|OA|＝2，|OC|＝2π，∴S 矩形＝2×2π＝4π.
2．【解析】当2
1
0≤
<x 时，函数x y 4=的图象如下图所示：
若不等式x x 2log 4<恒成立，则x y a log =的图象恒在x y 4=的 图象的上方（如图中虚线所示）
x y a log =的图象与x y 4=的图象交于⎪⎭
⎫
⎝⎛2,21点时，22=a 故虚线所示的x y a log =的图象对应的底数a 应满足12
2
<<a ，故答案为C. 考点：函数恒成立的问题.
3．【解析】由于1a ，4027a 是函数3
21()41213
f x x x x =
-++的极值点，()01282=+-='x x x f 的两个根是40271,a a ，由根与系数的关系得840271=+a a ，由等差
数列的性质，得2014201440271a a a a +=+，42014=∴a 。

24log 2014log 22==∴，故答案为B.
考点：1、极值点的应用；2、等差数列的性质.
4．1sin cos 22
=+=αα，1sin cos 22=+=ββ，由2=，
两边平方得
03832
2
=-⋅+，12
2== ，0
=⋅∴，即
0s i n s i n c o s c o s =+βαβα，()0cos =-βα，πβα<<<0 ，παβ<-<∴0，
()0cos =-αβ ，2
π
αβ=
-∴，故答案为B. 考点：1、平面向量模的运算；2、两角差
的余弦公式. 5．【解析】函数x
y 1
=
是奇函数，在()0,∞-，()+∞,0上单调递减，不在整个定义域内单调递减，x y lg =定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，x y sin =是奇函数，但在定义域
内有增，有减，()2
x
x e e x f -=-，
()()x f e e x f x x -=-=--2，定义域是R ，故()2x x e e x f -=-是奇函数，由于x
x e e ⎪⎭⎫
⎝⎛=-1是
减函数，x
e -在R 上也是减函数，因此()2
x
x e e x f -=-在定义域内单调递减，故答案为D.
考点：函数的性质.
6．【解析】由诱导公式得
()x x x f cos 412+=
，()x x x f sin 2
1
-='，()()()x x x f ---=
-'sin 2
1
()x f x x '-=⎪⎭
⎫
⎝⎛--=sin 21，()x f '∴是奇函数，图象关于原点对称，
0142sin 2
212<-=-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛'πππ
πf ，故答案为B.考点：函数图象的判断.
7．【解析】当2≥n 时，13-=n n S a ①，n n S a 31=+②，两式相减得()113-+-=-n n n n S S a a ，即
n n n a a a 31=-+，即
()241
≥=+n a a n
n ，故数列从第2项起是等比数列，故答案为B. 考点：等比数列的判断.
8．【解析】由等比数列的性质，得555824a a a a a =⋅=⋅，得45=a ，由等差数列的性质，得
464=+b b ，由等差数列的前n 项和公式，得()()182
929
64919=+=+=
b b b b S ，故答案为B.
考点：1、等差、等比数列的性质；2、等差数列的前n 项和公式.
9．【解析】由导数的几何意义，得()21='g ，求导函数得()()x x g x f 2+'='，
()()4211=+'='=g f k ，故答案为A.考点：导数的几何意义.
10．【解析】求导函数可得()()113-+='x x y ，令0>'y ，可得1>x 或1-<x ；令0<'y ，可得11<<-x ；
函数在()1,-∞-，()+∞,1上单调递增，在()1,1-上单调递减，∴函数在1-=x 处取得极大值，在1=x 处取得极小值， 函数c x x y +-=33的图象与x 轴恰有两个公共点，∴极大值等于零或极小值等于零，031=+-∴c 或031=++-c ，2=∴c 或2-=c ，故答案为D.
考点：1、利用导数研究函数极值；2、函数的零点与方程根的关系. 二、填空题
11．【解析】由()()ab c b a c b a =-+++，得ab c b a -=-+2
22，
2
122cos 222-=-=-+=∴ab ab ab c b a C ，=∴C 32π.考点：余弦定理的应用.
12．【解析】令()0125
37=++
-=t
t t v ，化为032432=--t t ，又0>t ，解得4=t ， 所以由刹车行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离
()5ln 254|1ln 2523712537404
02+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛
++-=⎰t t t dt t t S ，故答案为5ln 254+. 考点：定积分的应用.
13．【解析】设幂函数α
x y =，由于过点⎪⎭
⎫ ⎝⎛21,4，α
421=，得21-=α，21
-=x y ，
22
41412122
1==⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-⨯--
f ，故答案为2.考点：幂函数的应用.
14．【解析】因为()y f x =在定义域(1,1)-上是减函数，且(1)(21)f a f a -<-，所以
⎪⎩⎪
⎨⎧->-<-<-<-<-12111211
11a a a a ,即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
<
<<<<321020a a a ,解得320<<a ,即a 的取值范围是)32,0(.考点：
抽象不等式的解法.
15．【解析】由约束条件作出可行域，再由1≤ax+y≤4恒成立，结合可行域内特殊点A ，B ，C 的坐标满足不等式列不等式组，求解不等式组得实数a 的取值范围． 由约束条件作可行域如图，
联立13,1,2402x C x y =⎧
⎛⎫
∴⎨
⎪+-=⎝⎭⎩．联立()11,2,1240x y B x y --=⎧∴⎨+-=⎩．
在x ﹣y ﹣1=0中取y=0得A （1，0）．要使1ax y 4≤+≤恒成立，
则10
3103,12
240
2140
a a a a a -≥⎧⎪⎪+-≥⎪≤≤⎨⎪-≤⎪+-≤⎪⎩， ∴实数a 的取值范围是31,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦． 故答案为：31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．考点：简单线性规划．
三、解答题
16．【解析】（1）（1）2'()32f x x bx c =++，∴'(1)233f b c =++=
又(1)1f b c =++，(1,(1))f 在直线6210x y --=上，∴62(1)10b c -++-=， 解得3
,32
b c =-
= （2）∵()'()g x f x =，∴2
e 333x
a x x =-+， ∴2333
e
x
x x a -+= 令(]2333
(),0,2x
x x h x x e -+=
∈， 则222(63)e (333)e 3(32)
'()e e
x x x x
x x x x x h x ---+--+== 当x 变化时，()h x 与'()h x 的变化如表所示
∴()h x 有极小值(1)e h =，有极大值2(2)e
h = ∵29(0)3e h =>
， ∴()h x 的值域为3,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭， ∴a 的取值范围为3,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
. 考点：1、导数的几何意义；2、利用导数求函数的最值.
17．【解析】解：在Rt ABC ∆中，45CAB ∠=︒，100BC =m ，所以AC =m 在AMC ∆中，75MAC ∠=︒，60MCA ∠=︒，从而45AMC ∠=︒，
由正弦定理得，sin 45sin 60AC AM =︒︒
，因此AM =
在Rt MNA ∆中，AM =，60MAN ∠=︒，由sin 60MN
AM
=︒
得150MN ==m. 考点：正弦定理在实际中应用.
18．【解析】（1）由等差数列的性质得，4535654==++a a a a ，155=∴a ，3=∴d ，由
等差数列的通项公式得()()n n d n a a n 313311=-+=-+=
()()193331+=+⋅=⋅+n n n n a a n n ，
()⎪⎭⎫
⎝⎛+-=+=⋅∴+1119119111n n n n a a n n ，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬
⎩⎭
前n 项和
1
4332211
111+⋅++⋅+⋅+⋅=
n n n a a a a a a a a T ++⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 41319131219121191 ()
1911191111413131212119111191+=
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n
n n n n n . 考点：1、求等差数列的通项公式；2、裂项法求数列的和.
19．【解析】（1）证明： 令1==y x ，得)1()1()11(f f f +=⨯，即0)1(=f ； 令2==y x ，得2)2()2()4(=+=f f f ；令4,2==y x ，得3)4()2()8(=+=f f f （2）解： 不等式化为f （x ）>f （x －2）+3
∵f （8）=3,∴f （x ）>f （x －2）+f （8）=f （8x －16）
∵f （x ）是（0，+∞）上的增函数,∴
⎩⎨
⎧->>-)
2(80
)2(8x x x 解得7
162<
<x . 考点：1.赋值法；2.抽象不等式的解法.
20.【解析】（1）解：（1）因为5=x 时，11=y ，所以1011, 2.2
a
a +== 由（1）可知，该商品每日的销售量()2
6103
2-+-=
x x y ， 所以商场每日销售该商品所获得的利润
()()()()()6363102610_3232
2<<--+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-++-=x x x x x x x f
从而，()()()()[]
()()64306326102
--=--+-='x x x x x x f
于是，当x 变化时，()x f '，()x f 的变化情况如下表：
由表可得，4=x 是函数()x f 在区间()6,3内的极大值点，也是最大值点； 所以，当4=x 时，函数()x f 取得最大值，且最大值等于42
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 考点：导数在生活中的优化问题.。