专题3.6 压轴题高分策略之函数的模型与应用-奇招制胜2017年高考数学文热点+题型全突破 含解析 精品

【考点剖析】
1.最新考试说明：
（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长等不同函数的类型增长的含义.
(2)了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.
2.命题方向预测：
（1）将实际问题会抽象成数学模型. （2）用函数思想解决数学问题. （3）熟练掌握几种常见的函数模型（一次函数，二次函数，指数函数，对数函数，幂函数，分段函数）．（4）考查解决函数应用问题的能力，阅读能力、建立函数模型的能力，求解函数模型的能力.
【知识梳理】
1、使用函数模型解决实际问题
（1）题目特点：叙述中体现两个变量之间的关系（涉及的量也许有多个，但均能够用两个核心变量进行表示）。

以其中一个为自变量，则另一个变量可视为自变量的函数，进而搭建出函数模型，再根据导数，均值不等式等工具求出最值
（2）需用到的数学工具与知识点：
①分段函数：当自变量的不同取值导致解析式不同时，可通过建立分段函数来体现两个变量之间的关系，在题目中若有多种情况，且不同的情况对应不同的计算方式，则通常要用分段函数进行表示。

②导数：在求最值的过程中，若函数解析式不是常见的函数（二次函数，对勾函数等），则可利用导数分析其单调性，进而求得最值
③均值不等式：在部分解析式中（可构造和为定值或积为定值）可通过均值不等式迅速的找到最值。

④分式函数的值域问题：可通过分离常数对分式进行变形，并利用换元将其转化为熟悉的函数求解
（3）常见的数量关系：
①面积问题：可通过寻底找高进行求解，例如：
平行四边形面积=底⨯高梯形面积=1
2
⨯（上底+下底）⨯高
三角形面积=1
2
⨯底⨯高
②商业问题：
总价=单价⨯数量利润=营业额-成本=货物单价⨯数量-成本
③利息问题：
利息=本金⨯利率本息总和=本金+利息=本金⨯利率+本金
（4）在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符，例如：涉及到个数时，变量应取正整数。

涉及到钱，速度等问题，变量的取值应该为正数。

2、使用线性规划模型解决实际问题
（1）题目特点：叙述中也有两个核心变量，但条件多为涉及两核心变量的不等关系，且所求是关于两个核心变量的表达式，这类问题通常使用线性规划模型来解决问题
（2）与函数模型的不同之处
①函数模型：体现两核心变量之间的等量关系，根据一个变量的范围求另一个变量的范围（或最值）
②线性规划模型：体现关于两变量的不等关系，从而可列出不等式组，要解决的是含两个变量的表达式的最值。

（3）解题步骤：根据题目叙述确定未知变量（通常选择两个核心变量，其余变量用这两个进行表示），并列出约束条件和目标函数，然后利用数形结合的方式进行解决
（4）注意事项：在实际问题中，变量的取值有可能为整数，若最优解不是整数，则可在最优解附近寻找几对整点，代入到目标函数中并比较大小
【典例1】【2016高考四川文科】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)
(A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年
【答案】B
得结论．
【典例2】【2015高考四川，文8】某食品的保鲜时间错误！未找到引用源。

(单位：小时)与储藏温度错误！未找到引用源。

(单位：℃)满足函数关系错误！未找到引用源。

(错误！未找到引用源。

为自然对数的底数，错误！未找到引用源。

为常数).若该食品在错误！未找到引用源。

℃的保鲜时间是错误！未找到引用源。

小时，在错误！未找到引用源。

℃的保鲜时间是错误！未找到引用源。

小时，则该食品在错误！未找到引用源。

℃的保鲜时间是( )
(A)16小时 (B)20小时 (C)24小时 (D)21小时
【答案】C
【典例3】【2014高考北京文第8题】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率错误！未找到引用源。

与加工时间错误！未找到引用源。

（单位：分钟）满足的函数关系错误！未找到引用源。

（错误！未找
到引用源。

、错误！未找到引用源。

、错误！未找到引用源。

是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A.错误！未找到引用源。

分钟
B.错误！未找到引用源。

分钟
C.错
误！未找到引用源。

分钟 D.错误！未找到引用源。

分钟
【答案】B
【解析】由图形可知，三点错误！未找到引用源。

都在函数错误！未找到引用源。

的图象上， 所以错误！未找到引用源。

，解得错误！未找到引用源。

，
所以错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，因为错误！未找到引用源。

，所以当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

取最大值，
故此时的t=错误！未找到引用源。

分钟为最佳加工时间，故选B.
【考点定位】本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.
【思路点拨】本题解决问题的思路是根据题的要求，先求出二次函数的解析式，然后再根据二次函数的性质完成命题的要求.
【典例4】如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在AB 的延长线上，N 在AD 的延长线上，且对角线MN 过C 点。

已知3AB =米，2AD =米。

（1）设x AN =（单位：米），要使花坛AMPN 的面积大于32平方米，求x 的取值范围；
（2）若)4,3[∈x （单位：米），则当,AM AN 的长度分别是多少时，花坛AMPN 的面积最大？并求出最大面积。

【答案】（1）()82,8,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪
⎝⎭ （2）当3,9AN AM ==时，四边形AMPN 的面积最
大，为227m
【跟踪训练】
1. 【2014福建,文9】要制作一个容积为错误！未找到引用源。

，高为1m的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）
错误！未找到引用源。

【答案】错误！未找到引用源。

【解析】设长方体底面边长分别为错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

，所以容器总造价为错误！未找到引用源。

，由基本不等式得，错误！未找到引用源。

，当且仅当底面为边长为错误！未找到引用源。

的正方形时，总造价最低，选错误！未找到引用源。

.
【考点定位】函数的应用，基本不等式的应用.
【思路点拨】本题主要考查函数的应用及基本不等式，解决此题的关键是先求出函数解析式，再利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件,注意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理,使之可用基本不等式来解决,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致性.
2. 时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格:x （单位：元/套）满足的关系式()2462
m y x x =+--，其中26,x m <<为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．
（1）求m 的值；
（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）
【答案】（1）10 （2）在103x =取得最大值，即 3.3x。