一注基础高等数学知识总结

高等数学知识总结
一、 空间解析几何 (3)
1． 向量代数 ....................................................................................................................................................3 2． 曲面及其方程 ............................................................................................................................................5 3． 空间曲线及其方程 ....................................................................................................................................6 4． 平面及其方程 ............................................................................................................................................6 5． 空间直线及其方程 ....................................................................................................................................6 二、 极限和连续 (8)
1． 数列极限 ....................................................................................................................................................8 2． 函数极限 ....................................................................................................................................................8 3． 几个重要极限 ............................................................................................................................................8 4． 无穷小量 ....................................................................................................................................................8 5． 连续函数 ....................................................................................................................................................8 三、 一元函数的微分学 . (10)
1． 导数的定义 ..............................................................................................................................................10 2． 导数运算 ..................................................................................................................................................10 3． 常数和基本初等函数的导数： ..............................................................................................................10 4． 微分概念及其运算法则 ..........................................................................................................................10 5． Lagrange 中值定理 ..................................................................................................................................11 6． 函数的单调性与曲线的凹凸性 ..............................................................................................................11 7． 函数的极值与最大值最小值 ..................................................................................................................11 8． Cauchy 中值定理 . (11)
9． L Hospital '法则：
00型未定式或∞
∞
型未定式 (不是未定式不能用洛必达法则 ) ..........................12 10． 泰勒 ( Taylor )公式——用多项式近似表示函数 . (12)
四、 多元微分学 (13)
1． 极限与连续性 ..........................................................................................................................................13 2． 微分和偏导数 ..........................................................................................................................................13 3． 复合函数的微分法 ..................................................................................................................................14 4． 方向导数和梯度 ......................................................................................................................................14 5． 空间曲线的切线与法平面 ......................................................................................................................15 6． 曲面的切平面与法线方程 ......................................................................................................................15 7． Taylor 公式 ...............................................................................................................................................16 8． 多变量函数的极值 ..................................................................................................................................16 五、 一元函数的不定积分 (18)
1． 不定积分 ..................................................................................................................................................18 2． 基本积分表——（求导的逆运算） ......................................................................................................18 3． 不定积分的性质 ......................................................................................................................................18 4． 换元法 ......................................................................................................................................................18 5． 分部积分法 ..............................................................................................................................................19 六、 定积分 (20)
1． 定积分定义 （分割，近似，求和，取极限 ） ...............................................................................20 2． 牛顿－莱布尼兹公式 ..............................................................................................................................20 3． 定积分的性质（设所列定积分都存在）...............................................................................................20 4． 广义积分 .. (20)
七、多变量函数的重积分 (21)
1．二重积分——“分割，近似，求和，取极限” (21)
2．二重积分的累次积分 (21)
3．二重积分换元法 (22)
4．三重积分 (22)
八、曲线积分与曲面积分 (24)
1．第一类曲线积分——对弧长的曲线积分 (24)
2．第一类曲面积分 (24)
3．第二类曲线积分 (25)
4．格林公式 (26)
5．第二类曲面积分 (27)
6．Gauss定理及散度 (28)
7．Stokes定理即旋度——Green定理的推广 (28)
8．保守场 (29)
九、无穷级数 (30)
1．无穷级数基本性质 (30)
2．正项级数及其审敛法 (30)
3．级数收敛的一般判别法 (31)
4．绝对收敛与条件收敛 (31)
5．幂级数及其收敛性 (32)
6．傅里叶级数 (32)
十、常微分方程 (34)
1．一阶微分方程 (34)
2．二阶线性齐次方程解的结构 (35)
3．二阶线性非齐次方程解的结构 (35)
4．用常数变易法求非齐次的特解——常用来由齐次推非齐次、由线性推非线性 (35)
5．二阶常系数线性齐次方程 (36)
一、空间解析几何
1．向量代数
● 向量的线性运算
向量加法：三角形法则或平行四边形法则：
1)交换律a +b =b +a ; 2)结合律(a +b )+c =a +(b +c ).
实数与向量的运算法则：设λ、μ为实数，则有：b a c +=
1)结合律 λ(μa )=μ(λa )=(λμ)a ； 2)分配律 (λ+μ)a =λa +μa ； λ(a +b )=λa +λb .
● 空间直角坐标系 →
) , ,(z y x z y x OM M ↔++==↔k j i r
设a =(a x , a y , a z ), b =(b x , b y , b z )，则有
1）a +b =(a x +b x , a y +b y , a z +b z ). 2）a -b =(a x -b x , a y -b y , a z -b z ). 3）λa =(λa x , λa y , λa z ). 4）b //a ⇔ b =λa ⇔ (b x , b y , b z )=λ(a x , a y , a z ) ⇔
z
z
y y x x a b a b a b ==. 5）向量模：2
2
2
||z y x ++=r 6）两点间的距离：→
212212212)()()(||||z z y y x x AB AB -+-+-==
7）方向角：非零向量r 与三条坐标轴的夹角α、β、γ称为向量r 的方向角
方向余弦： ||cos r x =α, ||cos r y
=β, ||cos r z =γ.
● 向量的数量积：a ·b =|a | |b | cos θ
几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影θcos ||b 的乘积。

1）a·a = |a | 2
. 2）a ⊥b ⇔ a·b =012120x x y y ⇔+=
3）交换律: a·b = b·a ; 4）分配律: (a +b )⋅c =a ⋅c +b ⋅c .
5） (λa )·b = a·(λb ) = λ(a·b ), (λa )·(μb ) = λμ(a·b ), λ、μ为数. 6）a·b =a x b x +a y b y +a z b z . 2
222
22|
|||cos z
y x z
y x z
z y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++=
⋅=b a b a θ
● 向量的向量积：c = a ⨯b
c 的模 |c |=|a ||b |sin θ , 其中θ 为a 与b 间的夹角;
c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面, c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定.
几何意义：以a 与b 为两邻边的有向面积。

1）a ⨯a = 0 ; 2）a //b ⇔ a ⨯b = 0
3）交换律a ⨯b = -b ⨯a ; 4）分配律: (a +b )⨯c = a ⨯c + b ⨯c . 5）(λa )⨯b = a ⨯(λb ) = λ(a ⨯b )
6）z
y x z y x b b b a a a k
j i b a =⨯
混合积
[
](
)
z
y x
z y x
z y x
c c c b b b a a a c b a c b a =⋅⨯=
,, (
)
⇔=0,,c b a
a ，
b ，
c 共面
2．曲面及其方程
旋转面方程
母线()⎩
⎨⎧==00,x z y f
(
)()
⎪⎩⎪⎨
⎧=+±=+±0,:0,:2
222z x y f y z y x f z 轴旋转所得旋转面方程
绕轴旋转所得旋转面方程
绕
柱面方程
()0,=z y F ，母线平行于x 轴的柱面方程 ()0,=z x F ，母线平行于y 轴的柱面方程
椭球面方程
122
2222=++c
z b y a x ， 当b a =或c b =或a c =时为旋转椭球面， 当c b a ==时，为球面方程。

双曲面方程
12
2
2222=-±c z b y a x ⎩⎨
⎧-+双叶双曲面
单叶双曲面
锥面方程
0,02
22≠=++abc c
z b y a x
抛物面
方程
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=双曲抛物面椭圆抛物面,,22
22
2q y p
x q y p
x z 其中0>pq
3．空间曲线及其方程 空间曲线的一般方程： ⎩⎨
⎧==0
),,(0
),,(z y x G z y x F （两个曲面方程的交线）
空间曲线的参数方程： ⎪⎩
⎪
⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x
空间曲线⎩⎨
⎧==0
),,(0
),,(z y x G z y x F 关于xoy 坐标面的投影柱面方程为消去z 得到的方程0),(=y x H ，在xoy 坐
标面上的投影曲线方程为 ⎩
⎨⎧==00
),(z y x H
4．平面及其方程 ● 平面方程
一般方程： Ax +By +Cz +D =0 【平面的一个法线向量n 为 n =(A , B , C )】
点法式：A (x -x 0)+B (y -y 0)+C (z -z 0)=0 【通过点M 0(x 0, y 0, z 0)】
截距式方程：1=++c
z
b y a x 【a 、b 、
c 依次为平面在x 、y 、z 轴上的截距】
● 两平面的夹角：两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角
22
22
22
21
21
21
2121212^
1|||) ,cos(|cos C
B A
C B A C C B B A A ++⋅++++=
=n n θ
平面∏1和∏2垂直⇔A 1 A 2 +B 1B 2 +C 1C 2=0; 平面∏ 1和∏ 2平行或重合⇔
2
1
2121C C B B A A ==. ● 点P 0(x 0, y 0, z 0)到平面的距离 2
2
2
000|
|C
B A D Cz By Ax d +++++=
5．空间直线及其方程 ● 直线方程
一般方程： ⎩⎨⎧=+++=+++00
22221111D z C y B x A D z C y B x A （两平面的交线）
点向式方程.：
p
z z n y y m x x 0
00-=-=- 【过点M 0(x 0, y 0, x 0)】 参数方程：⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=+=pt
z z nt y y m t x x 000 【且方向向量为s = (m , n , p )】
两点式：
10
010010z z z z y y y y x x x x --=
--=-- 【过点M 1(x 1, y 1, x 1)】 ● 两直线的夹角：两直线的方向向量的夹角( 通常指锐角)
|) ,cos(|cos 2^
1s s =ϕ22
2222212121212121|
|p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=
1）L 1⊥L 2⇔m 1m 2+n 1n 2+p 1p 2=0; 2） L 1 // L 2⇔
2
1
2121p p n n m m ==. ● 直线与平面的夹角：直线和它在平面上的投影直线的夹角ϕ称为直线与平面的夹角
222222||sin p n m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=
ϕ
1）L ⊥∏ ⇔p C n B m A ==; 2） L // ∏ ⇔ Am +Bn +Cp =0.
● 平面束：通过定直线的所有平面的全体称为平面束
过直线⎩⎨⎧=+++=+++0
22221111D z C y B x A D z C y B x A 的平面束方程为 A 1x +B 1y +C 1z +D 1+λ(A 2x +B 2y +C 2z +D 2)=0
二、极限和连续
1．数列极限
数列极限：若数列{}n x 及常数a ，0,ε∀>,N ∃正数当n N >时，有n x a ε-<，则称该数列{}n x 的极限为a ，记作lim n n x a →∞
=或()n x a n →→∞。

此时也称数列收敛 ，否则称数列发散。

（学会用定义
证明数列极限，关键在于如何求得N ）
数列极限的四则运算：若lim ,lim ,n n n n x A y B →∞
→∞
==则有
a.lim()n n n x y A B →∞
±=±； b.lim n n n x y AB →∞
=； c. 00,lim
n n n n
x A
y B y B →∞≠≠=当且时
夹逼准则：设lim lim n n n n y z a →∞
→∞
==，当n N >时，有n n n y x z ≤≤，则lim n n x a →∞
=
2．函数极限
lim ()x f x A →+∞
= ⇔ 0ε∀>，0,X ∃>当x X >时，有()f x A ε-< lim ()x f x A →-∞
= ⇔ 0ε∀>，0,X ∃>当x X <-时，有()f x A ε-<
左极限 0
000()lim ()0,0,(,)().x x f x f x A x x x f x A εδδε--
→==⇔∀>∃>∈--<当时，有 右极限 0
000()lim ()0,0,(,)().x x f x f x A x x x f x A εδδε+
+
→==⇔∀>∃>∈+-<当时，有
lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +
-
→→→=⇔
== 3．几个重要极限
1） 0sin lim 1x x
x
→= 2）()1
0lim 1x x x e →+= 3）lim ()1n n a a o →∞>= 4）lim 1n n n →∞=
5）lim 0x x e →-∞
= 6）lim x x e →+∞
=∞ 7）0
lim 1x x x +
→= 4．无穷小量
无穷小量：若()0
lim 0x x f x →=，则称函数()f x 是当0x x →时的无穷小量。

等价无穷小定理：设~,~,ααββ''且lim
βα''存在，则lim lim ββαα
'=' 熟记的等价无穷小：0x →时，(1)1~
x x α
α+-，1~x
e x -，1~log x
a x a -，log(1)~x x +，log (1)~/log a x x a +，sin ~x x ，tan ~x x ，21
1cos ~2
x x -，arcsin ~x x ，arctan ~x x
5．连续函数
函数()y f x =在0x 处连续 ⇔ 0
0lim ()()x x f x f x →=⇔0()f x -=0()f x +
=()0x f
间断点：a. 第一类间断点：0()f x -
及0()f x +
均存在，若000()()(),f x f x f x -+
=≠称0x 为可去间断点；若00()(),f x f x -+
≠称0x 为跳跃间断点；b. 第二类间断点：0()f x -
及0()f x +
中至少一个不存在，若其
中一个为∞，称0x 为无穷间断点；若其中一个为振荡，称0x 为振荡间断点。

闭区间上连续函数的性质：
1）零点定理：设()[,]f x C a b ∈，且()()0,f a f b < 则必有(,),a b ξ∈使得()0.f ξ= 2）介质定理：设()[,]f x C a b ∈，则()[,]f x a b 在上能取到()()f a f b 和之间的任意值； 3）最大值最小值定理：设()[,]f x C a b ∈，则()[,]f x a b 在上能取到最大值和最小值；
三、一元函数的微分学
1．导数的定义
设函数()y f x =，在0x 的某邻域内有定义，若0
000()()lim
lim
x x x f x f x y
x x x
→∆→-∆=-∆存在，则称函数()f x 在点0x 处可导。

并称此极限为()y f x =在0x 处的导数，记做0
x x y ='；0()f x '。

几何意义：曲线()y f x =在()00,x y 处的斜率，0tan ()f x α'=。

可导性与连续性的关系： ()f x x 在点处可导 ⇒ ()f x x 在点处连续 （连续未必可导） 2．导数运算
四则运算：1）()u v u v '''±=± 2）()uv u v uv '''=+ 3） 2
u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭
复合函数求导法则：
()()()dy dy du d f u g x dx du d dx
ν
ϕνν'''=⋅⋅= 参数方程求导法：对参数方程()()
x t y t φψ=⎧⎨
=⎩， ()0t φ'≠，有 d d d d 1()
d d d d d ()d y y t y t x x t x t t t
ψφ'=⋅=⋅='
3．常数和基本初等函数的导数：
⑴ ()0c '= ⑵1
x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=-
⑸()2
tan sec x x '= ⑹()2
cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅
⑻()csc csc cot x x x '=-⋅ ⑼()x
x
e
e
'= ⑽()ln x
x
a
a
a '= ⑾()1
ln x x
'=
⑿(
)1
log ln x
a x a
'= ⒀()2
1arcsin 1x x
'=- ⒁()2
1arccos 1x x
'=-
-
⒂()21arctan 1x x '=
+ ⒃()2
1arccot 1x x '=-+ ⒄()1x '= ⒅
()12
x x
'=
4．微分概念及其运算法则
微分定义：若函数()y f x =在点0x 的增量可表示为00()()()y f x x f x A x o x ∆=+∆-=∆+∆，A 为不依赖于x ∆的常数，则称函数()y f x =在点0x 处可微，记d =y A x ∆。

定理：()y f x =在点0x 处可微⇔00()(),y f x x A f x '==在点处可导，且即0d =()y f x x '∆ 微分运算法则：1）()d u v du dv ±=±； 2）()d cu cdu =；
3）()d uv vdu udv =+； 4）2
u vdu udv
d v v -⎛⎫=
⎪⎝⎭
微分形式不变性：设()y f u =，()u g x =分别可微，则复合函数[()]y f x φ=的微分
d d ()()d ()d x y y x f u x x f u u φ''''===
5．Lagrange 中值定理
费马(Fermat)引理：设0x 是()f x 的极值点，()f x 在0x 可微，则0()0f x '=。

罗尔(Rolle)定理：()f x 满足：1）在区间[a , b ]上连续；2) 在区间 (a , b ) 内可导3) ()()f a f b = ⇒ 在(a , b )内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=。

拉格朗日中值定理：()y f x =满足：1）在区间[a , b ]上连续；2) 在区间 (a , b ) 内可导⇒ 在(a , b )内至少存在一点ξ，使得()()
().f b f a f b a
ξ-'=
-
推论：若函数()f x 在区间I 上满足()0f x '≡，则()f x 在I 上必为常数. 6．函数的单调性与曲线的凹凸性
单调性的判定法：设函数()f x 在开区间I 上可导，若()()()
00f x f x ''><，则()f x 在I 内递增（递减）。

7．函数的极值与最大值最小值 极值可疑点：使导数为0 或不存在的点
极值第一判别法：设函数()f x 在0x 的某领域内连续，且在空心领域内有导数，当x 由小到大通过0x 时， 1）()f x '“左正右负”，则()f x 在0x 取极大值； 2）()f x '“左负右正”，则()f x 在0x 取极小值。

极值第二判别法：设函数()f x 在0x 处具有二阶导数，且()0f x '=，()0f x ''≠，1）若()0f x ''<，则()f x 在0x 取极大值；2）若()0f x ''>，则()f x 在0x 取极小值。

最值判定：设函数()f x 在闭区间[a , b ]上连续，则其最值只能在极值点或端点处达到。

8．Cauchy 中值定理
Cauchy 中值定理：()f x 及()F x 满足：1）在区间[a , b ]上连续；2) 在区间 (a , b ) 内可导3) 在区间 (a , b ) 内()0F x '≠ ⇒ 在(a , b )内至少存在一点ξ，使得
()()()()()
()
f b f a f F b F a F ξξ-'='-。

9．L Hospital '法则：
00型未定式或∞
∞
型未定式 (不是未定式不能用洛必达法则 ) 洛必达法则：1)lim ()lim ()0x a
x a
f x F x →→==；（或lim ()lim ()x a x a
f x F x →→==∞）2）()f x 与()F x 在()
a 可导，且()0F x '≠；()3)lim
()
x a
f x F x →''存在（或为∞） ⇒()()
lim lim ()()x a x a f x f x F x F x →→'='
10．泰勒 ( Taylor )公式——用多项式近似表示函数
设函数()f x 在包含0x 的某开区间(a ,b )处具有直到1n +阶的导数，则当x ∈(a ,b )时，有
()()()()()()20000000()
()()()2!!
n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-+
+-+ ①
其中()()
(1)100()
()[()]1!n n n n f R x x x o x x n ξ++=-=-+ （ξ在0x 与x 之间） ②
特例：1）当0n =时，泰勒公式变为拉格朗日中值定理00()()()()f x f x f x x ξ'=++-； 2）在泰勒公式中若取00,(01),x x ξθθ==<<则有麦克劳林（Maclaurin ）公式：
()()()()
()(1)2
1(0)(0)()002!
!1!n n n n f f f x f x f f x x x x n n θ++'''=+++
+++
四、多元微分学
1．极限与连续性
平面上的点列的极限：设{}n M 为平面点列，20M R ∈，若()
0l im ,0n
M M ρ=，则称{}n M 是收敛点列，0M 是点列的极限，记做0lim n n M M →∞
=（00lim ,lim n n x x y y ⇔==）。

极限：设n 元函数()f P ，n
P D R ∈⊂，0P 是D 的聚点，若存在常数A ，对0ε∀>，0,δ∃>对一切
0(,δ)o
P D U P ∈，有(
)f P A ε-<，则称常数A 为函数()f x 当0P P →时的极限，记做()0
lim P P f P A
→=（也叫n 重极限）。

PS ：多元函数极限要求自变量沿任何方向、任何路径趋于0P ，若找到其两个不同路径上极限不同，则判断多元函数极限不存在。

二元函数的极限可写作：()()
000
,lim (,)lim (,)lim (,)x x x y x y y y f x y f x y f x y A ρ→→→→→==
=。

连续性：0M 为D 的聚点时，0
0lim ()()M M f M f M →=；或0M 为D 的孤立点时，也是连续点。

2．微分和偏导数
微分：0000(,)(,)()f x x y y f x y A x B y o ρ+∆+∆-=∆+∆+ ⇒ 00(,)dz df x y A x B y ==∆+∆。

偏导数：设(),z f x y =在点()000,M x y 的某邻域中有极限00000
(,)(,)
lim
x f x x y f x y x
∆→+∆-∆（将y 当做常
数）存在，则称此极限为函数(),z f x y =在点()000,M x y 对x 的偏导数，即
00000000
(,)(,)d
(,)lim
(,)
d x x x x f x x y f x y f x y f x y x x =∆→+∆-'==∆
00000000
(,)(,)d
(,)lim
(,)
d y y y y f x y y f x y f x y f x y y y
=∆→+∆-'==∆
设(),z f x y =在(),x y 处可微，(,)f f
dz df x y x y x x
∂∂==∆+∆∂∂。

二元函数偏导数的几何意义：
00
00d
(,)d x x y y f
f x y x x x
x ==∂=
=∂是曲线0(,)z f x y y y =⎧⎨=⎩在点0M 处的切线0x M T 对x 轴的斜率
00
00d
(,)d x x y y f
f x y y y y
y ==∂=
=∂是曲线0(,)z f x y x x =⎧⎨=⎩
在点0M 处的切线0y M T 对y 轴的斜率
高阶偏导数：设(),z f x y =在域D 内存在连续的偏导数
z x ∂∂和z y
∂∂，若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是(),z f x y =的二阶偏导数。

按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数：22xx
z z
f x x x ⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂⎝⎭，2xy z z f y x x y ⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭，2yx z z f x y y x ⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭，22
yy z z
f y y y ⎛⎫∂∂∂''=
= ⎪∂∂∂⎝⎭ 定理：若xy f ''和yx f ''都连续，则xy f ''=yx f ''。

（否则不一定成立）
3．复合函数的微分法
复合函数求导的链式法则：若函数(),z f u v =可微，(),u x y φ=，(),v x y ψ=有一阶偏导数，则z 对x 和y 有偏导数，并有： (口诀：分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导)
1121z z u z v
f f x u x v x
φψ∂∂∂∂∂''''=+=+∂∂∂∂∂
1222
z z u z v
f f y u y v y
φψ∂∂∂∂∂''''=+=+∂∂∂∂∂ 微分中值定理：若函数(),z f x y =在区域D 可微，连接()00,x y 和()00,x h y k ++的线段全在D 内，则必有01θ<<，使得
00000000(,)(,)(,)(,)x y f x h y k f x y hf x h y k kf x h y k θθθθ''++-=+++++
定理：若在区域D 中(,)(,)0x y f x y f x y ''==，则(,)f x y c =。

全微分的不变性：设函数(),z f u v =，(),u x y φ=，(),v x y ψ=都可微，则复合函数
()()(),,,z f x y x y φψ=的全微分为 d d d d d z z z z z x y u v x y u v
∂∂∂∂=
+=+∂∂∂∂ 即无论,u v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达形式都一样, 叫做全微分形式不变性。

4．方向导数和梯度
方向导数：若函数(),,z f x y z =在点(),,P x y z 处沿方向l （方向角为,,αβγ）存在极限：
(,,)(,,)
lim
lim
f
f x x y y z z f x y z f
l
ρρρ
ρ
→→∆+∆+∆+∆-∂==
∂ （222()()(),cos ,cos ,cos x y z x y z ρραρβργ=∆+∆+∆∆=∆=∆=）
则称
f
l
∂∂为函数在点P 处沿方向l 的方向导数。

定理：(,,)(,,),f x y z P x y z 若函数在点处可微则函数在该点沿任意方向l 的方向导数存在，且有：
cos cos cos f f f f
l x y z
αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂ 由
()()
,,cos ,cos ,cos cos ,f f f f G l G G l l x y z αβγ⎛⎫
∂∂∂∂=== ⎪∂∂∂∂⎝⎭
，故当l G 与方向一致时，方向导数取最大值，(
)max f G l
∂=
∂。

梯度：定义向量G 为函数()f P 在点P 处的梯度，记做grad f ，即
grad =f ,,f f f x y z ⎛⎫∂∂∂ ⎪
∂∂∂⎝⎭
f f f
i j k x y z ∂∂∂=++∂∂∂ PS ：函数的方向导数为梯度在该方向上的投影。

梯度的几何意义：沿梯度正向，方向导数最大，即函数值增长最快，其增长率为grad f ；而沿梯度负向，方向导数最小，即函数值减小最快，其减小率为grad f -。

5．空间曲线的切线与法平面
参数形式()
()()x x t y y t z z t =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
⇒切线向量'''000{(),(),()}x t y t z t
000000'''000'''000()()()()()()0()
()
()
x x y y z z x t x x y t y y z t z z x t y t z t ---⇒
=
=
⇒-+-+-=
两柱面交线()()()()
x x
y y x y y x z z x z z x =⎧=⎧⎪⇒=⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩
切线向量 ''
00{1,(),()}y x z x
两曲面交线(,,)0()()(,,)0()()
x x F x y z y y x y y x G x y z z z x z z x =⎧==⎧⎧⎪⇒⇒=⎨⎨⎨==⎩⎩⎪=⎩
切线向量''
00{1,(),()}y x z x 6．曲面的切平面与法线方程
(,,)0F x y z = ⇒ 法线向量000000000{(,,),(,,),(,,)}x y z F x y z F x y z F x y z （梯度方向）
000000000
000000()()()0
(,,)(,,)(,,)
x y z x y z F x x F y y F z z x x y y z z F x y z F x y z F x y z -+-+-=⎧⎪⇒---⎨
==⎪⎩
000000
00
00()()()0(,)(,)(,)1x y x y f x x f y y z z z f x y x x y y z z f x y f x y -+---=⎧⎪=⇒---⎨==⎪-⎩ 7．Taylor 公式
Taylor 定理：00(,)(,)z f x y x y =设在点，的某一邻域内有直到1n +阶连续偏导数，00(,)x h y k ++为此邻域内任一点，则有
21
000000002!1
00!(,)(,)()(,)()(,)()(,)x y x y n n
n x y
f x h y k f x y h k f x y h k f x y h
k f x y R ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂++=+++++
++
+（泰勒公式）
其中，1100(1)!
()(,)n n n x y R h k f x h y k θθ+∂∂+∂∂=+++(01)θ<<（拉格朗日余项）。

8．多变量函数的极值
定理：（必要条件）00(,)(,)z f x y x y =在点存在且在该点取得极值，则有
0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==
PS ：使偏导数都为0的点称为驻点，但驻点不一定是极值点。

定理：（充分条件）若00(,)(,)z f x y x y =在点的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==
令000000(,),(,),(,)xx
xy yy A f x y B f x y C f x y ''''''===，则有： 1）当2
0AC B ->时，具有极值。

且0A <时取极大值；0A >时取极小值； 2）当20AC B -<时，没有极值。

3）当20AC B -=时，不能确定，需另行讨论。

最值可疑点：驻点，不可偏导点，边界上的最值点。

PS ：当区域内部最值存在, 且只有一个极值点时，则该极值点即为最值点。

条件极值：对自变量除定义域限制外，还有其它条件限制的极值问题。

（约束极值问题） 条件极值的求法:：1）代入法：
()
(,)0
(,)..
(,)0y x x y z f x y s t x y ψφφ===⎧−−−−−−−→⎨=⎩解出从条件求极值求(,())z f x x ψ=的无条件极值问题 2）拉格朗日乘数法：求函数(,,)u f x y z =在条件(,,)0x y z φ=和(,,)0x y z ψ=下的极值。

构造辅助函数F （Lagrange 函数），引入拉格朗日乘数i λ，令 12
(,,)(,,)(,,)F f x y z x y z x y z λφλψ=++ （可推广）
解方程组
12
12
12
x x x x
y y y y
z z z z
F f
F f
F f
λφλψ
λφλψ
λφλψ
φ
ψ
'''
=++=
⎧
⎪'''
=++=
⎪
⎪'''
=++=
⎨
⎪=
⎪
=
⎪⎩
，可得到条件极值的可疑点
五、一元函数的不定积分
1．不定积分
原函数：若在区间I 上满足()()F x f x '=，则称F (x )为f (x )在区间I 上的一个原函数。

定理1：(),f x I 若函数在区间上连续()f x I 则在上存在原函数。

定理2：()(),()F x f x f x 若是的一个原函数则的所有原函数都在函数族()F x C +内。

不定积分：f (x )在区间I 上的全体原函数称为不定积分，记做()d f x x ⎰=()F x C +
2．基本积分表——（求导的逆运算）
kdx kx c =+⎰ 1
1x x dx c μμ
μ+=++⎰
ln dx
x c x =+⎰
ln x x
a a dx c a
=+⎰ x x
e dx e c =+⎰ cos sin xdx x c =+⎰ sin cos xdx x c =-+⎰ tan ln cos xdx x c =-+⎰ c o t l n s i n x d x x c
=
+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰
2
21sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ 2
21csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰
21
arctan 1dx x c x =++⎰ 2
1arcsin 1dx x c x
=+-⎰
22
11arctan x
dx c a x a a
=++⎰ 22
11ln 2x a
dx c x a a x a
-=+-+⎰ 22
1
arcsin x
dx c a a x =+-⎰
2222
1ln dx x x a c x a =+±+±⎰
3．不定积分的性质
1) ()d ()d k f x x k f x x =⎰⎰ (0)k ≠ 2）[()()]d ()d ()d f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰
4．换元法
[()]()d ()d f x x x f u u φφ−−−−−→'←−−−−−⎰
⎰
第一类换元法
第二类换元法
第一类换元法（也称配元法凑微分法）：()()f u u x φ=设有原函数，可导，则有换元公式
[()]()d (())d ()f x x x f x x φφφφ'=⎰⎰
目的：凑已知的积分公式； 关键：凑微分()d ()x x d x φφ'=。

第二类换元法：设()x t ψ=是单调可导函数，且()0t ψ'≠，[()]()f t t ψψ'具有原函数，则
1()
()d [()]()d t x f x x f t t t
ψψψ-='=⎰⎰
1()()t x x t ψψ-==其中是的反函数。

目的：去根号等。

5．分部积分法
由导数公式 ()uv u v uv '''=+ 积分得：d d uv u v x uv x ''=+⎰⎰
⇒
d d uv x uv u v x ''=-⎰⎰ 或 d d u v uv v u =-⎰⎰
(d )u v v '选取及或的原则：1) v 容易求得；2)d d u v x uv x ''⎰⎰比容易计算。

六、定积分
1．定积分定义 （分割，近似，求和，取极限 ）
()[,]f x a b 设函数定义在上，[,]a b 若对的任一种分法，012n a x x x x b =<<<
<=，
令1i i i x x x -∆=-，任取1[,]i i i x x ξ-∈，1max{}0i i n
T x ≤≤=∆→时，1
()n
i i i f x ξ=∆∑总趋于确定的极限I ，
则称此极限I 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作
()d b
a
f x x ⎰
，即
1
()d lim ()n
b
i i a
T i f x x f x ξ→==∆∑⎰
定积分的几何意义：曲边梯形的有向面积。

2．牛顿－莱布尼兹公式
设()f x 在[],a b 上可积, 并有原函数()x Φ，则 ()d ()()b a
f x x b a =Φ-Φ⎰
3．定积分的性质（设所列定积分都存在） 1）d b a x b a =-⎰ 2）()d ()d b a a
b
f x x f x x =-⎰⎰()d 0a
a
f x x ⇒=⎰
3）()d ()d b b a
a
k f x x k f x x =⎰
⎰ 4）[()()]d ()d ()d b b b
a a a
f x
g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰
5）
()d ()d ()d b c b
a
a
c
f x x f x x f x x =+⎰
⎰⎰
4．广义积分
无穷限的广义积分（第一类反常积分）：设()[,)f x C a ∈+∞，取b a >，若lim ()d b a
b f x x →+∞
⎰
存在，记广
义积分
()d l i m ()d b
a
a
b f x x f x x +∞→+∞
=
⎰
⎰。

无界函数的广义积分（瑕积分或第二类广义积分）：设()(,]f x C a b ∈，而在点a 的右邻域内无界，取0ε>，若0
lim ()d b
a f x x ε
ε+
+→⎰
存在，则记广义积分
()d l i m ()d
b b
a
a f x x f x x ε
ε++→=⎰
⎰。

七、多变量函数的重积分
多元函数积分学：重积分、曲线积分、曲面积分 1．二重积分——“分割，近似，求和，取极限”
1
lim
(,)(,)d n
k
k
k
D
T k I f f x y ξησ
σ→==∆=
∑⎰⎰
记做
二重积分存在定理：若有界函数(),f x y 在有界闭区域D 上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续，则
(),f x y 在D 上可积。

定理：若两个二元有界函数在有界闭区域D 上除去有限个点或有限个光滑曲线外都相等，则二者可积性相同，若可积，其积分相等。

二重积分的性质：设(),f x y 和(),g x y 在B 上可积， 1）
1212()B
B
B
c f c g c f c g +=+⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
2）若在B 上(),f x y ≥(),g x y ，则 (,)d g (,)d B
B f x y x y σσ≥⎰⎰
⎰⎰
3）设(),f x y 在B 上可积，则 (,)d (,)d B
B
f x y f x y σσ≤⎰⎰
⎰⎰
4）(),f x y (),g x y 在B 上也可积 5）1
212,B B B B B ==∅，则
1
2
(,)d (,)d (,)d B
B B f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
6）（微分中值定理）设函数(),f x y 在闭域B 上连续，σ为B 的面积 ,则至少存在一点(,)B ξη∈，使得
(,)(,)B
f x y d f σξησ=⎰⎰
2．二重积分的累次积分
a. X 型积分：积分区域 {}
12(,)()(), B x y y x y y x a x b =≤≤≤≤
()
()
21()(,)y x y x x f x y dy ϕ=⎰
()()21()(,).b
b y
x
a
a
y
x
D
x d x d x
f x y d y f ϕ==⎰
⎰
⎰⎰⎰
b. Y 型积分：积分区域 {}
12(,)()(), B x y x y x x y c x d =≤≤≤≤ ()
()
21()(,)x y x y
y f x y dx ψ=
⎰
()()21()(,).d d x
y
c
c
x
y
D
y d x d y
f x y d x f
ψ==⎰⎰
⎰⎰⎰
PS ：若积分区域既是X 型区域又是Y 型区域，
2211()
()
()
()
(,)d d d (,)d d (,)d b
x d
y D
a
x c
y f x y x y x f x y y y f x y x φψφψ==⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
PS ：若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域，则
1
2
D
D D =++
⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
3．二重积分换元法
面积元素变换：d d d (,)d d x y J u v u v σ== 雅克比行列式：(,)(,)(,)x
x x y u
v J u v y
y u v u v
∂∂∂∂∂=
=∂∂∂∂∂ 3）对变换(,)
:(,)x x u v T y y u v =⎧⎨=⎩
有
(,)d d ((,),(,))(,)d d D
D f x y x y f x u v y u v J u v u v '
=⎰⎰
⎰⎰
特别地，直角坐标转化为极坐标时cos ,sin x r y r θθ==，cos sin (,)sin cos (,)r x y J r r θ
θ
θθ
θ-∂=
=
=∂，故
21()
()
(,)d d (cos ,sin )d d d (cos ,sin )d D
D f x y x y f r r r r f r r r r β
φθα
φθθθθθθθ'
==⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
4．三重积分
1
lim
(,,)(,,)d (,,)d d d n
k
k
k
k T k I f V f x y z V f x y z x y z ξηζ
Ω
Ω
→==∆=
=∑⎰⎰⎰
⎰⎰⎰记做
累次积分：三种方法（12种形式）各有特点，应根据被积函数及积分域的特点灵活选择 1）投影法“先一后二”21(,)(,)
(,,)d d d (,,)d z x y D
z x y f x y z V x y f x y z z Ω
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
； （细长柱体）
2）截面法“先二后一”(,,)d d (,,)d d Z
b
a D f x y z V z f x y z x y Ω
=⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
；
3）“三次积分法”
(,,)d f x y z V Ω
⎰⎰⎰
2211
()
(,
)
()
(,)
d d (,,)d b
y x z x y a
y x z x y x y f x y z z =⎰⎰⎰
变量代换：体积元素变换：d d d d (,,)d d d V x y z J u v w u v w ==
(,,)d f x y z V Ω
⎰⎰⎰
((,,),(,,),(,,)(,,)d d d f x u v w y u v w z u v w J u v w u v w 'Ω
=⎰⎰⎰
特别地：
1）柱坐标计算： cos sin x y z z
ρθ
ρθ=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
(,,)(,,)(,,)x y z J z z ρθρρθ∂=
=∂ (,,)d f x y z V Ω
⎰⎰⎰
((,,),(,,),(,,)d d d f x z y z z z z ρθρθρθρρθ'Ω
=⎰⎰⎰
2）球坐标计算： sin cos sin sin cos x r y r z r φθ
φθφ
=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
2(,,)(,,)sin (,,)x y z J r r r θϕϕθϕ∂==∂
(,,)d f x y z V Ω
⎰⎰⎰
2((,,),(,,),(,,)sin d d d f x r y r z r r r θϕθϕθϕϕθϕ'Ω
=⎰⎰⎰
积分学 定积分 二重积分 三重积分 曲线积分 曲面积分 积分域
区间域
平面域
空间域
曲线域
曲面域
八、曲线积分与曲面积分
1．第一类曲线积分——对弧长的曲线积分
定义：设Γ是空间中一条有限长的光滑曲线，(,,)f x y z 是定义在Γ上的一个有界函数，若通过对Γ的任意分割和对局部的任意取点，下列“乘积和式极限”存在，
1
lim
(,,)(,,)d n
k
k
k
k T k I f s f x y z s ξηζ
Γ
→==∆=
∑⎰
记做
则称此极限为函数(,,)f x y z 在曲线上第一类曲线积分，或对弧长的曲线积分。

PS ：对弧长的曲线积分要求d 0s ≥，但定积分中d x 可能为负。

曲线积分的性质：（与其他积分性质类似 ） 1）d s l Γ
=⎰
（l 为曲线弧的长度）
2）线性性质：[]1
212(,,)(,,)d (,,d (,,)d k f x y z k g x y z s k f x y z s k g x y z s Γ
Γ
Γ
±=±⎰⎰
⎰
3）可加性：
1
2
(,,)d (,,)d (,,)d f x y z s f x y z s f x y z s Γ
ΓΓ=+⎰
⎰⎰
曲线积分的计算：（转化为求定积分）设(,,)f x y z 是定义在光滑曲线Γ的连续函数，若Γ的参数方程可表示为：:(),(),()()x t y t z t t ϕψωαβΓ===≤≤，则
222(,,)d ((),(),())()()()d f x y z s f t t t t t t t β
α
φψωφψωΓ
'''=++⎰
⎰
PS ：1）上述公式可看做“换元法”，因为
222222d (d )(d )(d )()()()d s x y z t t t t φψω'''=++=++
2）如果曲线L 的方程为()()y x a x b ψ=≤≤，则
2(,)d (,())1()d b
L
a
f x y s f x x x x ψψ'=+⎰
⎰
3）在极坐标()():cos ,sin L x r y r θθθθ==下
(){
}(){
}
2
2
22cos sin ()(), ds r r d r r d θθθθθθθθαθβ'''=
+=+≤≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦
⎣⎦
22(,)d [()cos ,()sin ]()()d L
f x y s f r r r r β
α
θθθθθθθ'=+⎰
⎰
2．第一类曲面积分
定义：设∑是空间中一光滑曲面，(,,)f x y z 是定义在∑上的一个有界函数，若通过对∑的任意分割和对局部的任意取点，下列“乘积和式极限”存在，
1
lim
(,,)(,,)d n
k
k
k
k T k I f S f x y z S ξηζ
→=∑
=∆=
∑⎰⎰记做
则称此极限为函数(,,)f x y z 在曲面∑上第一类曲面积分，或对面积的曲面积分。

第一类曲面积分的性质：与第一类曲线积分类似，线性性质和可加性。

第一类曲面积分的计算方法：设有光滑曲面∑：(),r r u v =(),u v D ∈，（或(),x x u v =，(),y y u v =，
(),z z u v =，
）(,,)f xyz 在∑上连续，则曲面积分
(,,)d f x y z S ∑
⎰⎰存在，且有
(,,)d f x y z S ∑
⎰⎰
=()()()2(,,,,,)d d D
f x u v y u v z u v EG F u v -⎰⎰ （转化二重积分）
推导：用i u u =和j v v =两簇曲线分割曲面∑，则面积微元
()()2,,d d =d d ij u i j v i j S r u v r u v u v EG F u v ''∆≈⨯-
特别地：若:(,),(,)x y z z x y x y D ∑=∈，则2
2
21(,)(,)x y EG F z x y z x y ''-=
++，故
(,,)d f x y z S ∑
⎰⎰
2
2(,,(,))1(,)(,)d d x y
x x y D f x y z x y z x y z x y x y ''=++⎰⎰
3．第二类曲线积分
定义：设L 为xoy 平面内从A 到B 的一条有向光滑弧，在L 上定义了一个向量函数(,)((,),(,F x y P x y Q x y =，若通过对L 的任意分割和对局部的任意取点，
“乘积和式极限” []0
1
lim
(,)(,)(,)d (,)d d n
k
k k k k k L
L
T k I P x Q y P x y x Q x y y F s ξ
ηξη→==∆+∆=
+=⋅∑⎰
⎰记做
存在，则称此极限为函数(,)F x y 在有向曲线弧L 上对坐标的曲线积分，或第二类曲线积分。

PS ：若为空间曲线：
d (,,)d (,,)d (,,)d F s P x y z x Q x y z y R x y z z Γ
Γ
⋅=++⎰
⎰
性质：1）
1
(,)d (,)d (,)d (,)d i
k
L
L i P x y x Q x y y P x y x Q x y y =+=+∑⎰
⎰
2）
(,)d (,)d (,)d (,)d L L
P x y x Q x y y P x y x Q x y y -
+=-+⎰
⎰ （必须注意积分弧段的方向!）
PS ：定积分是第二类曲线积分的特例。

第二类曲线积分的计算：(,),(,)P x y Q x y 设在有向光滑弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为：
(),()x t y t φψ==，:,t αβ→则曲线积分存在，且有
{}(,)d (,)d [(),()] ()[(),()]()d L
P x y x Q x y y P t t t Q t t t t β
α
φψφϕψψ''+=+⎰
⎰
特别地，L ：(),:,y x x a b ψ=→则。