高考数学压轴专题最新备战高考《平面向量》专项训练及答案

【高中数学】数学高考《平面向量》复习资料
一、选择题
1．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =u u u r
A ．12A
B AD -+u u u
r u u u r
B ．12AB AD -u u u
r u u u r
C ．12
AB AD +u u u r u u u r
D ．12
AB AD -u u u r u u u r
【答案】A 【解析】 【分析】
由平面向量的加法法则运算即可. 【详解】
如图，过E 作//,EF BC 由向量加法的平行四边形法
则可知1.2
BE BF BC AB AD =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u
v u u u v
故选A. 【点睛】
本题考查平面向量的加法法则，属基础题.
2．如图，在ABC ∆中，12
AN NC =u u u r u u u r
，P 是线段BN 上的一点，若15AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，
则实数m 的值为（ ）
A ．
35
B ．
25
C ．
1415
D ．
910
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，以AB u u u r ，AC u u u r 为基底表示出AP u u u r
即可得到结论.
【详解】
由题意，设()
NP NB AB AN λλ==-u u u r u u u r u u u r u u u r
，
所以，()
()113
AP AN NP AN AB AN AB AN AB AC λλλλλ-=+=+-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
， 又15
AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，
所以，
1135λ-=，且m λ=，解得2
5
m λ==. 故选：B. 【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算的应用以及平面向量基本定理的应用，属于基础题．
3．延长线段AB 到点C ，使得2AB BC =u u u r u u u r ，O AB ∉，2OD OA =u u u v u u u v
，则（ ）
A ．1263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v
B ．5263BD OA O
C =-u u u v u u u v u u u v
C ．5163
BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v
D ．1163
BD OA OC =+u u u v u u u v u u u v
【答案】A 【解析】 【分析】
利用向量的加法、减法的几何意义，即可得答案；
【详解】
Q BD OD OB =-u u u v u u u v u u u v ，()
22123333
OB OA AC OA OC OA OA OC =+=+-=+u u u
v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，
12OD OA =u u u v u u u v ，
∴1263
BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v ，
故选：A. 【点睛】
本题考查向量的线性运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.
4．已知a =r 2b =r ，且()(2)b a a b -⊥+r r
r r ，则向量a r 在向量b r 方向上的投影为
（ ） A ．-4 B ．-2
C ．2
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量垂直，数量积为0，求出a b r r g ，即求向量a r 在向量b r
方向上的投影a b b ⋅r r r .
【详解】
()(2),()(2)0b a a b b a a b -⊥+∴-+=r r r r r r r r Q g ， 即2220b a a b -+=r r r r g .
2,8a b a b ==∴=r r r r Q g ，
所以a r 在b r
方向上的投影为4a b b
⋅=r r r .
故选：D . 【点睛】
本题考查向量的投影，属于基础题.
5．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r
方向上的投影为( )
A ．165
-
B ．
165
C ．1613
-
D ．
1613
【答案】C 【解析】 【分析】
先计算出16a b r r
⋅=-，再求出b r ，代入向量a r 在b r 方向上的投影a b b
⋅r r
r 可得
【详解】
()4,3a =r Q ，()5,12b =-r
，
4531216a b ⋅=⨯-⨯=-r r
，
则向量a r 在b r
方向上的投影为1613a b b
⋅-=r r
r ，
故选：C. 【点睛】
本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若,a b r r
的夹角为θ，向量a r 在b r
方向上的投影为
cos a θ⋅r 或a b b
⋅r r
r
6．如图所示，ABC ∆中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC =u u u v
（ ）
A ．43
AD BE +u u u
v u u u v
B ．53
AD BE +u u u
v u u u v
C ．4132A
D B
E +u u u
v u u u v
D ．5132
AD BE +u u u
v u u u v
【答案】B 【解析】 【分析】
利用向量的加减运算求解即可 【详解】 据题意，
2533
AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE =-=+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
．
故选B ． 【点睛】
本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题
7．已知ABC V 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=u u u r u u u r
（ ）
A ．1
B ．2-
C ．
1
2
D ．12
-
【答案】C 【解析】 【分析】
以,BA BC u u u r u u u r 为基底，将,AD BE u u u r u u u r
用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解. 【详解】
222,,33
BD DC BD BC AD BD BA BC BA ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
,
11,22
AE EC BE BC BA =∴=+u u u r u u u r u u u r
,
211()()322AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+u u u r u u u r u u u
r u u u r u u u r u u u r
22
111362
BC BC BA BA =-⋅-u u u
r u u u r u u u r u u u r 111123622=-⨯⨯⨯=.
故选:C. 【点睛】
本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.
8．已知向量,a b r r
满足||a =r ||4=r b ，且()4a b b +⋅=r r r
，则a r 与b r
的夹角为（ ） A ．
6
π B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 【答案】D 【解析】 【分析】
由()4a b b +⋅=r r r ，求得12a b ⋅=-r r
，再结合向量的夹角公式，求得cos ,2
a b 〈〉=-r r ，即
可求得向量a r 与b r
的夹角．
【详解】
由题意，向量,a b r r
满足||a =r
||4=r b ，
因为()4a b b +⋅=r r r ，可得2164a b b a b ⋅+=⋅+=r r r r r
，解得12a b ⋅=-r r ，
所以cos ,2||||a b a b a b ⋅〈〉===-r r
r r r r
又因a r 与b r 的夹角[0,]π∈，所以a r 与b r
的夹角为56
π
. 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式，以及向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力．
9．已知向量(1,2)a =v ，(3,4)b =-v ，则a v 在b v
方向上的投影为
A
B
．
2
C ．1 D
【答案】C 【解析】 【分析】
根据a v
在b v
方向上的投影定义求解.
【详解】
a v 在
b v 方向上的投影为(1,2)(3,4)381(3,4)5a b b
⋅⋅--+=
==-r
r r ， 选C. 【点睛】
本题考查a v
在b v
方向上的投影定义，考查基本求解能力.
10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=a n +a (n ∈N *，a 为常数)，若平面内的三个不共线的非零向量OAOB OC u u u r u u u r u u u r
，，满足10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r
，A ，B ，C 三点共线且该直线不过O 点，则S 2010等于（ ） A ．1005 B ．1006
C ．2010
D ．2012
【答案】A 【解析】 【分析】
根据a n +1=a n +a ，可判断数列{a n }为等差数列，而根据10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r
，及三点A ，
B ，
C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值. 【详解】
由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ； ∴{a n }为等差数列；
由10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，
所以A ，B ，C 三点共线； ∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1， ∴S 2010()
12010201020101
10052
2
a a +⨯=
=
=. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
11．在边长为1的等边三角形ABC 中，点P 是边AB 上一点，且．2BP PA =，则
CP CB ⋅=u u u v u u u v
（ ） A ．13
B ．
12
C ．
23
D ．1
【答案】C 【解析】 【分析】
利用向量的加减法及数乘运算用,CA CB u u u r u u u r 表示CP u u u v
，再利用数量积的定义得解．
依据已知作出图形如下：
()
11213333
CP CA AP CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v .
所以2
21213333CP CB CA CB CB CA CB CB ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v
2212
11cos 13333π=
⨯⨯⨯+⨯= 故选C 【点睛】 本题主要考查了向量的加减法及数乘运算，还考查了数量积的定义，考查转化能力，属于中档题．
12．如图，两个全等的直角边长分别为1,3的直角三角形拼在一起，若
AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r
，则λμ+等于（ ）
A 323
-+ B 323
+ C 31 D 31+
【答案】B 【解析】
建立坐标系，求出D 点坐标，从而得出λ，μ的值． 【详解】
解：1AC =Q ，3AB =
，30ABC ∴∠=︒，60ACB ∠
=︒，
以AB ，AC 为坐标轴建立坐标系，则13,12D ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
． ()
3,0AB =u u u r
，()0,1AC =uu u r ，
∴13,12AD ⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r ． Q AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，
∴1323
1λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴3631λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，
231λμ∴+=+
． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．
13．已知向量()()
75751515a b ︒︒︒︒
==r r cos ,sin ,cos ,sin ，则a b -r r 的值为
A ．
12
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
因为1
1,1,cos75cos15sin 75sin15cos602
a b a b ==⋅=︒︒+︒︒=︒=r r r r ，所以
2221
||()12112
a b a b -=-=-⨯+=r r r r ，故选B.
点睛：在向量问题中，注意利用22
||a a =r ，涉及向量模的计算基本考虑使用此公式，结合
数量积的运算法则即可求出.
14．已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则
PA PB ⋅u u u v u u u v
的最小值是（ ）
A ．21-
B ．2
C ．0
D ．1
【答案】D 【解析】
试题分析：由题意得，设
，,,又因为
,所以
，所以PA PB ⋅u u u r u u u r
的最小值为1，故答
案选D.
考点：1.圆的性质；2.平面向量的数量积的运算.
15．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =u u u v
（ ）
A ．
3155
AB AC +u u u
v u u u v B ．
2155
AB AC +u u u
v u u u v C ．481515AB AC +u u u
v u u u v D ．841515
AB AC +u u u
v u u u v 【答案】D 【解析】 【分析】
设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得
cos DAE ∠，由此得到45
AF AD =u u u r u u u r
，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将
45AF AD =u u u r u u u r 表示为以,AB AC u u u r u u u r
为基底来表示的形式.
【详解】
设6BC =，则32,2AB AC BD DE EC =====，
22π
2cos
4
AD AE BD BA BD BA ==+-⋅
⋅10=，101044cos 2105DAE +-∠=
=⨯， 所以
4
5AF AF AD AE ==，所以45AF AD =u u u r u u u r . 因为()
1133AD AB BC AB AC AB =+=+
-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133
AB AC =+u u u
r u u u r ， 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=
+ ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.
16．在ABC V 中，E 是AC 的中点，3BC BF =u u u r u u u r ，若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则EF =u u u r
（ ）
A ．2136a b -r r
B ．1133a b +r r
C ．1124a b +r r
D ．1133
a b -r r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量的运算法则计算得到答案.
【详解】
1223EF EC CF AC CB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()
12212336AC AB AC AB AC =+-=-u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r 2136
a b =-r r .
故选：A . 【点睛】
本题考查了向量的基本定理，意在考查学生的计算能力和转化能力.
17．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在
24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v
（ ）
A ．-16
B ．0
C ．16
D ．32
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r
，再利用平面向量的数量积求解.
【详解】
∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是2
4y x =与y x =-的交点. 由24y x y x
⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r ，
∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r .
故选B
【点睛】
本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅u u u u r u u u r 的最大值为（ ）
A ．714-
B ．24-
C ．514-
D ．30-
【答案】A
【解析】
【分析】
依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE BE =求
出E 的坐标，求出边CD 所在直线的方程，设(,M x +，利用坐标表示,AM ME u u u u r u u u r ，根据二次函数的性质求出最大值.
【详解】
解：依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，
()
0,0A ∴，(B ，(C ，()5,0D
因为点E 在线段CB 的延长线上，设(0E x ，01x < AE BE =Q
()22
2001x x +=-解得01x =-
(
E ∴-
(
C Q ，()5,0D
CD ∴所在直线的方程为y =+
因为点M 在边CD 所在直线上，故设(),353M x x -+ (),353AM x x ∴=-+u u u u r ()1,343E x M x -=--u u u r
()()()
3433531AM ME x x x x --∴⋅=--++u u u u r u u u r 242660x x =-+-
242660x x =-+-
23714144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝
当134
x =时()max 714
AM ME ⋅=-u u u u r u u u r 故选：A
【点睛】
本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.
19．已知向量a v ，b v 满足2a v ||1b =v ，且2b a +=v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值为（ ）
A 2
B ．23
C 2
D 2 【答案】D
【解析】
【分析】
根据平方运算可求得12a b ⋅=r r ，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=r r r r r r 求得结果. 【详解】
由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=r r r r r r r r ，解得：12
a b ⋅=r r 2cos ,422
a b a b a b ⋅∴<>===r r r r r r 本题正确选项：D
【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.
20．三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 的重心和外心，且5GO BC ⋅=u u u r u u u r ，则三角形ABC 的形状是（ ）
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．上述均不是
【答案】B
【解析】
【分析】 取BC 中点D ，利用GO GD DO =+u u u r u u u r u u u r
代入计算，再利用向量的线性运算求解．
【详解】
如图，取BC 中点D ，连接,OD AD ，
则G 在AD 上，13GD AD =，OD BC ^， ()GO BC GD DO BC GD BC DO BC ⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
221111()()()53326
GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB =⋅=⋅=⨯+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴2223025AC AB BC -=>=，∴2220AB BC AC +-<，
由余弦定理得cos 0B <，即B 为钝角，三角形为钝角三角形．
故选：B ．
【点睛】
本题考查平面向量的数量积，考查向量的线性表示，考查余弦定理．解题关键是取BC 中点D ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出,GD BC u u u r u u u r ．。