椭圆的简单几何性质 课件

因为 PF 1＋PF 2＝2a，所以 PF 2＝23a， 2
tan∠PF 1F 2＝FP1FF22＝32ac＝ 33，
所以ac＝
3，所以
e＝ac＝
3 3.
2.(苏州实验中学)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，
右顶点为 A，上顶点为 B，若椭圆 C 的中心到直线 AB 的距离为
椭圆的几何性质
知识梳理
1.椭圆的标准方程及简单的几何性质
条件 标准方程
范围
2a>2c，a2＝b2＋c2，a>0，b>0，c>0
ax22＋by22＝1(a>b>0)
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
_|_x_|≤_a_，___|y_|_≤_b_
_|_y_|_≤_a_，__|x__|≤_b_
对称性
曲线关于_____原__点__、__x_轴__、__y_轴____对称
根据椭圆方程研究其性质
设椭圆x2＋y2＝1 4
的左、右焦点分别为
F
1，F
2，点
P
为椭圆上一动点，若
∠F 1PF 2 为钝角，则点 P 的横坐标的取值范围是__－__2_3_6_，__2_3_6___．
【解析】设椭圆上一点 P 的坐标为(x，y)， 则F→1P＝(x＋ 3，y)，F→2P＝(x－ 3，y)． 因为∠F 1PF 2 为钝角，所以F→1P·F→2P<0，
6F 6
1F
2，则椭圆
C
2
的离心率 e＝_____2___.
【解析】设椭圆 C 的焦距为 2c(c<a)，由于直线 AB 的方程为 bx＋ay－ab＝0，所
以 aa2＋b b2＝ 36c.因为 b2＝a2－c2，所以 3a4－7a2c2＋2c4＝0，解得 a2＝2c2 或 3a2＝c2(舍
去)，所以
题．
(1)设 F 1，F 2是椭圆x42＋y2＝1 的左、右焦点，点 P 在椭圆上运动，则P→F 1·P→F 2 的最大值是____1____．
【解析】设 P(x，y)，依题意得点 F 1(－ 3，0)，F 2( 3，0)，P→F 1·P→F 2＝(－ 3－
x)(
3－
x)
＋
y2
＝
x2
＋
y2
－
3
＝34
模板三：利用数形结合求解，利用椭圆的性质特征与图形的直观性，发现图形中 的相关几何关系，建立关于基本量 a，b，c 的等量关系或不等量关系，求解离心率的 值或范围．例如，若点 P 在椭圆上，F 为椭圆的一个焦点，则 PF ∈[a－c，a＋c]．
● 题组强化
1.(常州一中)已知椭圆
E 2
的方程为taxn2α＋tan2yα2＋1＝1，其中α∈
x2
－
2
，
因为
－
2≤x≤2
，
所以
－
2≤
3 4
x2
－2≤1
，因此
P→F 1·P→F 2的最大值是 1.
(2)(常熟寒假调查)在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ABC 的顶点 A(－4,0)和
C(4,0)，顶点 B 在椭圆 x2 ＋y2＝1 上，则sinA＋si9
● 典型示例 若椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点为 F ，其右准线与 x 轴的交点为 A，在椭圆上 存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 F ，则椭圆离心率的取值范围是 ___12_，__1_ ___．
【思维导图】
【规范解答】由题意知，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 F ，
可得ba＝23，所以
e＝
5 3.
建立不等关系求椭圆离心率的取值范围
问题提出：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，与椭圆几何性质有关的问题 要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．椭圆离心率的 范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆 的离心率的取值范围时，要注意应用这些不等关系．那么，求椭圆离心率的取值范围 有哪些方法呢？
● 总结归纳 求与离心率有关的问题的三大模板： 模板一：利用公式直接求解，对于椭圆三个基本量 a，b，c，它们之间具有关系 a2＝b2＋c2，知二求一，可求得离心率．此种方法适用于已知椭圆方程或相关性质的 离心率的求解． 模板二：通过构造整体求解，将提供的椭圆的几何关系转化为关于基本量 a，b， c 的方程或不等式，利用 a，b，c 的关系和 e＝ac构造为关于 e 的方程或不等式，通过 解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
【精要点评】椭圆离心率的求解主要是将所给几何条件进行转化，建立关于 a， b，c 的齐次方程．本题对于所给条件∠BAO＋∠BF O＝90°采取了三种转化，分别是 正弦定理、相似三角形、直角三角形(勾股定理)，但目标都是一致的．
【高频考点·题组强化】
1.设 F 1，F 2 分别是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上， 3
sinB
【解析】由椭圆方程得 a＝5，b＝3，则 c＝4，所以 A，C 两点是椭圆的焦点，
所以 AC＝2c＝8，BC＋BA＝2a＝10.在△ABC 中，由正弦定理得sinAs＋inBsinC＝BCA＋CBA
＝54.
求椭圆离心率的值 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左顶点为 A，左 焦点为 F ，上顶点为 B，若∠BAO＋∠BF O＝90°，求椭圆的离心率． 【思维引导】根据所给的几何条件，建立关于 a，b，c 的方程． 【解答】方法一：因为∠BAO＋∠BF O＝90°，所以 sin∠BF O＝cos ∠BAO＝cos
【解析】设椭圆 C 的左焦点为 F 1，连接 PF 1，OQ，
因为 Q 为线段 F P 的中点，O 为线段 F 1F 的中点， 所以 PF 1＝b，PF ＝2a－b，
又 OQ⊥PF ，所以 PF 1⊥PF ， 因此 PF 21＋PF 2＝F 1F 2，
所以 b2＋(2a－b)2＝(2c)2，
即 b2＋(2a－b)2＝4(a2－b2)，
C
【解析】设 P 到两个焦点的距离分别是 2k，k，根据椭圆定义可知 3k＝2a，又结 合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为 2c，即 k≤2c，所以
2a≤6c，即 e≥13.又因为 0＜e＜1，所以13≤e＜1.故椭圆的离心率的取值范围为13，1.
3.(南师大考前模拟一)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，若椭圆上恰好有 6 个不同的点 P，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆 C 的 离心率的取值范围是__13_，__12_∪___12_，__1__．
长轴端点_(_±__a_,_0_)_
长轴端点(_0_，__±__a_ )
顶点
短轴端点(_0_，__±__b_ )
短轴端点_(_±__b_,0__)
焦点
__(_±__c_,_0_)__
__(_0_，__±__c_)_
长、短轴的长度 焦距
准线方程
离心率
长轴长 2a，短轴长 2b
x＝±ac2
F 1F 2＝2c(c2＝a2－b2)
A→B1，所以B→2F ·A→B1＝0，即－ac＋b2＝0，所以 e＝
5－1 2.
4.(南京考前综合题)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b
＞0)上一点，F 为椭圆 C 的右焦点，直线 F P 与圆 O：x2＋y2＝b2相切于点 Q，若 Q
5
4
恰为线段 F P 的中点，则椭圆 C 的离心率为______3__．
【解析】①当点 P 与短轴的顶点重合时，△F 1F 2P 构成以 F 1F 2 为底边的等腰 三角形，此种情况有 2 个满足条件的等腰三角形 F 1F 2P；
②当△F 1F 2P 构成以 F 1F 2 为一腰的等腰三角形时，以 F 2P 作为等腰三角形的 底边为例，因为 F 1F 2＝F 1P，所以点 P 在以 F 1 为圆心，半径为焦距 2c 的圆上，因 此当以 F 1 为圆心，半径为 2c 的圆与椭圆 C 有 2 个交点时，存在 2 个满足条件的等 腰三角形 F 1F 2P，此时 a－c<2c，解得 a<3c，所以离心率 e>13.当 e＝12时，△F 1F 2P 是等边三角形，与①中三角形重复，故 e≠12.同理，当 F 1P 为等腰三角形的底边时， 在 e>13且 e≠12时也存在 2 个满足条件的等腰三角形 F 1F 2P，综上，共有 6 个不同的 点使△F 1F 2P 为等腰三角形．
线段 PF 1 的中点在 y 轴上，若∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为____3____．
【解析】因为线段 PF 1 的中点在 y 轴上， 设点 P 的横坐标为 x，F 1(－c,0)， 所以－c＋x＝0，所以 x＝c， 所以点 P 与 F 2 的横坐标相等，所以 PF 2⊥x 轴， 因为∠PF 1F 2＝30°，所以 PF 2＝12PF 1.
y＝±ac2
e＝ac∈_(_0_,_1_)_，e 越大，椭圆越扁，e 越小，椭圆越圆
2. 椭圆的焦半径 (1)对于焦点在 x 轴上的椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，设 P(x，y)是椭圆上任一点，则 PF 1＝__a_＋__e_x__，PF 2＝_a_－__e_x_.(其中 F 1 为左焦点，F 2 为右焦点) (2)对于焦点在 y 轴上的椭圆ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，设 P(x，y)是椭圆上任一点，则 PF 1＝__a_＋__e_y__，PF 2＝__a_－__e_y__.(其中 F 1 为下焦点，F 2 为上焦点)
方法二：易知∠BAF ＝∠F BO，所以 Rt△BF O∽Rt△ABO，则FBOO＝BAOO，即bc＝ ba，所以 ac＝b2＝a2－c2，所以 c2＋ac－a2＝0，即 e2＋e－1＝0，解得 e＝ 52－1(负值 舍去)．
方法三：设椭圆右顶点为 C，连接 BC，则∠BCO＝∠BAF ，所以∠BCO＋∠BF C＝90°，则 BF 2＋BC2＝CF 2，即 a2＋a2＋b2＝(a＋c)2，所以 2a2－c2＝2ac＋c2，即 c2 ＋ac－a2＝0，所以 e2＋e－1＝0，解得 e＝ 52－1(负值舍去)．
即 x2－3＋y2<0，①
因为 y2＝1－x42，代入①得 x2－3＋1－x42<0，
34x2<2，所以 x2<83，
解得－2
3
62 <x<
3
6，所以
x∈－2
3
6，2
3
6.
【精要点评】(1)根据椭圆方程可以确定 a，b，c 的值，从而确定椭圆的几何性质；
(2)根据椭圆方程可以得出点坐标的范围，从而可以解决与参数的取值范围有关的问
∠BAF .在△ABF 中，由正弦定理得sin∠BFBAF ＝sin∠ABAF B＝sin∠ABBF O＝cos∠ABBAF ，
即BAFB ＝csoins∠∠BBAAFF ，所以 a2a＋b2＝ba，所以 a2＝b a2＋b2，即 a4＝(a2－c2)(2a2－c2)，
化简得 e4－3e2＋1＝0，解得 e2＝3－2 5e2＝3＋2 5>1，舍去，故 e＝ 52－1(负值舍去)．
e＝ac＝
2 2.
3.(苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B1，B2 分别为椭圆
C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的5－右1、下、上顶点，F 是椭圆 C 的右焦点．若 B2F ⊥AB1，则 椭圆 C 的离心率是______2__．
(第3题)
【解析】由题意得 F (c,0)，所以B→2F ＝(c，－b)，A→B1＝(－a，－b)，因为B→2F ⊥
即点 F 到点 P 与点 A 的距离相等．
因为 F A＝ac2－c＝bc2，F P∈[a－c，a＋c]，所以bc2∈[a－c，a＋c]，即 ac－c2≤b2≤ac
＋c2， 所以aac2－－cc22≤≤aac2－ ＋cc22， ， 解得aacc≤ ≥112， 或ac≤－1舍去.
又因为 e＝ac，e∈(0,1)，所
以 e∈12，1.
【精要点评】(1)一般地，求解离心率的值或取值范围的问题，关键是将几何条 件转化为关于 a，b，c 的方程或不等式，然后再解方程或不等式，要注意的是建立的 方程或不等式应该是齐次式．(2)对于椭圆或直线上的点，应该利用该点建立方程， 转化为与该点相关的变量的方程有解问题，这里要注意椭圆等图形本身的限制范围．
0，π2
，则该椭圆
离心率的最小值为________2．
【解析】根据已知条件有 tanα>0，且 tan2α＋1>tanα，故椭圆 E 的长轴在 y 轴上．e
＝ 1－tanta2αn＋α 1＝ 1－12sin2α≥ 1－12＝ 22，当且仅当 α＝π4时取等号．
2. 上，若
设 P 到F两1，焦F点2的分距别离是之椭比圆为C：2∶ax221＋，by则22＝椭1圆(a＞的b离＞心0)率的的左取、值右范焦围点为，_点_13_，P__在1__椭_．圆