2018版高中数学 第1章 解三角形 1.2 第2课时 角度问题学案 新人教B版必修5

第2课时角度问题
1.能灵活运用正弦定理及余弦定理解角度问题.(重点)
2.会将实际问题转化为解三角形问题.(难点)
3.能根据题意画出几何图形.(易错点)
[基础·初探]
教材整理方位角与方向角
阅读教材P14问题4，完成下列问题.
1.方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.如点B的方位角为α(如图1­2­17所示).
图1­2­17
方位角的取值范围：0°～360°.
2.方向角
从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.
1.下列说法中正确的个数为( )
(1)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°方向；
(2)如图1­2­18所示，该角可以说成北偏东110°；
图1­2­18
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范
围均是⎣
⎢⎡⎭⎪⎫0，π2；
(4)若点A 在点C 的北偏东30°方向，点B 在点C 的南偏东60°方向，且AC ＝BC ，则点A 在点B 北偏西15°方向.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】 (1)错误.因若P 在Q 的北偏东44°，则Q 应在P 的南偏西44°. (2)错误.因本图所标角应为方位角，可以说成点A 的方位角为110°. (3)错误.因为方向角的范围为0°～90°，而方位角的范围为0°～360°. (4)正确. 【答案】 A
2.某次测量中，A 在B 的南偏东34°27′，B 在A 的( ) A.北偏西34°27′ B.北偏东55°33′ C.北偏西55°33′ D.南偏西55°33′
【解析】 如图所示.
【答案】 A
3.已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )
A.a km
B.3a km
C.2a km
D.2a km
【解析】 如图，可知∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝a .在△ABC 中，过点C 作CD ⊥AB ，则AB ＝2AD ＝2a sin 60°＝3a .
【答案】 B
4.某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地的距离为________km.
【解析】 如图所示，由题意可知
AB ＝33，BC ＝2，∠ABC ＝150°.
由余弦定理得AC 2
＝27＋4－2×33×2×cos 150°＝49，AC ＝7.所以A ，C 两地的距离为7 km.
【答案】 7
[小组合作型]
(1)如图1­2­19，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔
A 在观察站南偏西40°，灯塔
B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )
图1­2­19
A.北偏东10°
B.北偏西10°
C.南偏东80°
D.南偏西80°
(2)有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6 m ，下底长为10 m ，高为23m ，那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是( )
A.
3
3
，60° B.3，60° C.3，30° D.
3
3
，30° 【精彩点拨】 (1)两座灯塔A 、B 与观察站C 的距离相等，说明∠A 与∠B 有何大小关系？灯塔B 在观察站南偏东60°，说明∠CBD 是多少度？
(2)本小题关键是理解坡比与坡角的意义.
【自主解答】 (1)由条件及图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.
(2)如图所示，横断面是等腰梯形ABCD ，AB ＝10 m ，CD ＝6 m ，高DE ＝2 3 m ，则AE ＝AB －CD
2
＝2 m ，
∴tan ∠DAE ＝DE AE ＝232
＝3，
∴∠DAE＝60°.
【答案】(1)D (2)B
测量角度问题画示意图的基本步骤：
[再练一题]
1.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________，大小为________km/h.
【导学号：18082009】【解析】∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos 120°＝1 200，
故OC＝203，∠COY＝30°＋30°＝60°.
【答案】60°20 3
出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.
【精彩点拨】本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，然后解三角形.
【自主解答】如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理
得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，所以212t 2＝102＋81t 2＋2×10×9t ×12，即360t
2
－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去).所以舰艇靠近渔轮所需的时间为2
3
h.
此时AB ＝14，BC ＝6. 在△ABC 中，根据正弦定理得
BC
sin∠CAB ＝
AB
sin 120°
，
所以sin∠CAB ＝6×
3214＝33
14
，
即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去). 即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°. 所以舰艇以66.8°的方位角航行，需2
3
h 才能靠近渔轮.
1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
2.在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角.因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不是一一对应，一个正弦值可以对应两个角.
但角在⎝
⎛⎦⎥⎤0，π2上时，用正、余弦定理皆可.
[再练一题]
2.某海上养殖基地A ，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(3＋1) n mile 的海面上有一台风中心，影响半径为20 n mile ，正以每小时10 2 n mile 的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且3＋1 h 后开始影响基地持续2 h.求台风移动的方向.
【解】 如图所示，设预报时台风中心为B ，开始影响基地时台风中心为C ，基地刚好不受影响时台风中心为D ，则B 、C 、D 在一直线上，且
AD ＝20，AC ＝20.
由题意AB ＝20(3＋1)，DC ＝202，
BC ＝(3＋1)·10 2.
在△ADC 中，∵DC 2
＝AD 2
＋AC 2
， ∴∠DAC ＝90°，∠ADC ＝45°. 在△ABC 中，由余弦定理得
cos∠BAC ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝3
2
.
∴∠BAC ＝30°，又∵B 位于A 南偏东60°，60°＋30°＋90°＝180°，∴D 位于A 的正北方向，又∵∠ADC ＝45°，
∴台风移动的方向为向量CD →
的方向.即北偏西45°方向. 答：台风向北偏西45°方向移动.
[探究共研型]
探究km ，从B 到
C ，方位角是80°，距离是8 km ，从C 到
D ，方位角是150°，距离是6 km ，试画出示意图.
【提示】 如图所示：
探究2 在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A 点到C ，则此人的速度至少是多少？
【提示】 如探究1图，在△ABC 中，∠ABC ＝50°＋(180°－80°)＝150°，由余弦定理得AC ＝AB 2＋BC 2
－2AB ·BC ·cos 150°＝47，则此人的最小速度为v ＝4712＝87
(km/h).
探究3 在探究1中若投递员以24 km/h 的速度匀速沿大路从A 到D 前进，10分钟后某人以167 km/h 的速度沿小路直接由A 到C 追投递员，问在C 点此人能否与投递员相遇？
【提示】 投递员到达C 点的时间为t 1＝4＋824＝12(小时)＝30(分钟)，追投递员的人所
用时间由探究2可知
t 2＝
47
16
7＝1
4
(小时)＝15分钟；由于30>15＋10，所以此人在C 点能与投递员相遇. 如图1­2­20所示，一辆汽车从O 点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速
度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O 点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M 点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？
图1­2­20
【精彩点拨】 根据已知图形构造三角形.利用余弦定理建立速度与时间的函数求解. 【自主解答】 作MI 垂直公路所在直线于点I ，则MI ＝3，∵OM ＝5，∴OI ＝4，∴cos∠MOI ＝45
. 设骑摩托车的人的速度为v 公里/小时，追上汽车的时间为t 小时， 由余弦定理得(vt )2＝52＋(50t )2
－2×5×50t ×45，
即v 2
＝25t 2－400t
＋2 500＝25⎝ ⎛⎭
⎪⎫1t －82＋900≥900，
∴当t ＝1
8时，v 取得最小值为30，
∴其行驶距离为vt ＝308＝15
4
公里.
故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了15
4
公里.
解决实际问题应注意的问题：
首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意
画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步.
将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问
题
[再练一题]
3.如图1­2­21，在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 处2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile/h 的速度追截走私船.此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向
逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？
【导学号：18082010】
图1­2­21
【解】 设缉私船用t h 在D 处追上走私船， 则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，
在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°， ∴由余弦定理，得
BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120°＝6，
∴BC ＝6，
且sin∠ABC ＝AC
BC
·sin∠BAC ＝26
·
32＝22
. ∴∠ABC ＝45°. ∴BC 与正北方向垂直.
∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理，得 sin∠BCD ＝
BD ·sin∠CBD CD ＝10t sin 120°103t
＝1
2，
∴∠BCD ＝30°.
即缉私船沿东偏北60°方向能最快追上走私船.
1.已知两座灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )
A.北偏东10°
B.北偏西10°
C.南偏东10°
D.南偏西10°
【解析】 如图，因△ABC 为等腰三角形， 所以∠CBA ＝1
2(180°－80°)＝50°，
60°－50°＝10°，故答案为B.
【答案】 B
2.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )
A.50 m
B.100 m
C.120 m
D.150 m
【解析】 设水柱高度是h m ，水柱底端为C (图略)，则在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝
h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.
【答案】 A
3.已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为________km.
【导学号：18082011】
【解析】 ∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝a ，由余弦定理， 得AB 2
＝a 2
＋a 2
－2a ×a ×cos 120°＝3a 2
，AB ＝3a .
【答案】 3a
4.一轮船从A 点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B ，又从B 沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C ，若此轮船从A 点直接沿直线行驶至海岛C ，则此船沿________方向行驶________海里至海岛C .
【解析】 在△ABC 中，∠ABC ＝110°＋10°＝120°. 又AB ＝BC ，故∠CAB ＝∠ACB ＝30°，
AC ＝102＋102－2×10×10cos 120°＝10 3.
故此船沿着北偏东70°－30°＝40°方向行驶了103海里到达海岛C .
【答案】 北偏东40° 10 3
5.如图1­2­22，某海轮以60海里/时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C 点，求P ，C 间的距离.
图1­2­22
【解】 因为AB ＝40，∠A ＝120°，∠ABP ＝30°， 所以∠APB ＝30°，所以AP ＝40， 所以BP 2
＝AB 2
＋AP 2
－2AP ·AB ·cos 120°
＝402＋402－2×40×40×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝402
×3，
所以BP ＝40 3.
又∠PBC ＝90°，BC ＝80，
所以PC 2＝BP 2＋BC 2＝(403)2＋802
＝11 200， 所以PC ＝407海里.。