2019-2020学年天津市武清区高考数学联考试题

2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A ，医生乙只能分配到医院A 或医院B ，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( ) A ．18种
B ．20种
C ．22种
D ．24种
2．如图是计算
11111
++++246810
值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )
A ．5k ≥
B ．5k <
C ．5k >
D ．6k ≤
3．函数2sin cos ()20
x x x
f x x =+
在[2,0)(0,2]ππ-⋃上的图象大致为( ) A ． B ．
C ．
D ．
4．已知()32z i i =-，则z z ⋅=（ ）
A ．5
B ．5
C ．13
D ．13
5．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD ，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则直线AC 与BD 所成角余弦值为（ ）
A ．
22
3
B ．
63
C ．
3 D ．
13
6．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A ⋃B ，则集合中的元素共有 （ ）
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
7．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）
A ．(
)85424π
B ．()
85824π
C ．()8
54
216π D ．()
8
58216π
8． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 A 32 B 322 C ．1252
D ．1272
9．在ABC ∆中，“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、
B 两点，
O 为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ）
A ．2
B ．5
C ．6
D ．7
11．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（ ）种 A ．96
B ．120
C ．48
D ．72
12． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若复数z 满足
2i i
z
=+，其中i 是虚数单位，则z 的模是______. 14．在6()x a +的展开式中的3x 系数为160，则a =_______．
15．已知12,F F 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过点1F 作直线l 与圆222x y a +=相切
于点A ，且与双曲线的右支相交于点B ，若A 是1BF 上的一个靠近点1F 的三等分点，且210BF =，则四边形2AOF B 的面积为_______．
16．平面区域3210
47020y x y x y x +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪--≤⎩
的外接圆的方程是____________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为60千米/小时、120千米/小时、600千米/小时，每千米．．．的运费分别为20元、10元、50元.这批海鲜在运输过程中每小时．．．的损耗为m 元（0m >），运输的路程为S （千米）.设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用（包括运费和损耗费）分别为1y （元）、2y （元）、3y （元）.
（1）请分别写出1
y 、2y 、3y 的表达式； （2）试确定使用哪种运输工具总费用最省.
18．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次NCP 普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k 个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验．．．．．．．．．．．1
k 次．）；否则，若呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k 个人的血总共需要化验1k +次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ，且这些人之间的试验反应相互独立.
（1）设方案②中，某组k 个人的每个人的血化验次数为X ，求X 的分布列；
（2）设0.1p =，试比较方案②中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数） 19．（6分）已知函数2()2sin 23sin cos 1,.f x x x x x R =+-∈ （1）求f(x)的单调递增区间；
（2）△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()12
A f =且A 为锐角，a=3，sinC=2sin
B ，求△AB
C 的面积.
20．（6分）已知数列的前n 项和为n S ，且满足*1
1()2
n n a S n N =+∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2log n n b a =，1
1
n n n c b b +=
，且数列{}n c 前n 项和为n T ，求n T 的取值范围． 21．（6分）如图，已知在三棱台111ABC A B C -中，22AC AB ==，3BC =，111A B BB ⊥.
（1）求证：1AB CC ⊥；
（2）过AB 的平面ABDE 分别交11B C ，11A C 于点D ，E ，且分割三棱台111ABC A B C -所得两部分几
何体的体积比为1114:3AA E BB ABC BDC D V V --==，几何体1ABC EDC -为棱柱，求11A B 的长. 提示：台体的体积公式()
1
3
V S S S S h ''=
++（S '，S 分别为棱台的上、下底面面积，h 为棱台的高）. 22．（8分）已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，若对任意的*n N ∈，均有n n k S a k +=-（k 是常数，且*k N ∈）成立，则称数列{}n a 为“()H k 数列”.
（1）若数列{}n a 为“()1H 数列”，求数列{}n a 的前n 项和n S ；
（2）若数列{}n a 为“()2H 数列”，且2a 为整数，试问：是否存在数列{}n a ，使得2
1140n n n a a a -+-≤对
任意2n ≥，*n N ∈成立？如果存在，求出这样数列{}n a 的2a 的所有可能值，如果不存在，请说明理由. 23．（8分）如图，在直角ACB △中，2
ACB π
∠=
，3
CAB π
∠=
，2AC =，点M 在线段AB 上.
（1）若3
sin 3
CMA ∠=
，求CM 的长； （2）点N 是线段CB 上一点，7MN =
1
2
BMN ACB S S =
△△，求BM BN +的值. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】 【分析】
分两类：一类是医院A 只分配1人，另一类是医院A 分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到答案. 【详解】
根据医院A 的情况分两类：
第一类：若医院A 只分配1人，则乙必在医院B ，当医院B 只有1人，则共有2
2
32C A 种不同
分配方案，当医院B 有2人，则共有12
22C A 种不同分配方案，所以当医院A 只分配1人时， 共有2232C A +12
2210C A =种不同分配方案；
第二类：若医院A 分配2人，当乙在医院A 时，共有3
3A 种不同分配方案，当乙不在A 医院， 在B 医院时，共有12
22C A 种不同分配方案，所以当医院A 分配2人时， 共有3
3A +1
2
2210C A =种不同分配方案； 共有20种不同分配方案. 故选：B 【点睛】
本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题. 2．B 【解析】 【分析】
根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6，进而可得判断框内的不等式． 【详解】
因为该程序图是计算11111
246810
++++值的一个程序框圈 所以共循环了5次
所以输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6， 即判断框内的不等式应为6k ≥或5k > 所以选C 【点睛】
本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题． 3．A 【解析】 【分析】
首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得； 【详解】
解：依题意，22sin()()cos()sin cos ()()2020
x x x x x x
f x f x x x ----=+=+=-，故函数()f x 为偶函数，图
象关于y 轴对称，排除C ；
而2
()020
f ππ=-<，排除B ；2
(2)05
f ππ=
>，排除D.
故选：A . 【点睛】
本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】
先化简复数()32z i i =-，再求z ，最后求z z ⋅即可. 【详解】
解：()3223z i i i =-=+，23z i =-
222313z z ⋅=+=，
故选：C 【点睛】
考查复数的运算，是基础题. 5．C 【解析】 【分析】
利用建系，假设AB 长度，表示向量AC 与BD ，利用向量的夹角公式，可得结果. 【详解】
由平面ABD ⊥平面BCD ，AB BD ⊥ 平面ABD ⋂平面BCD BD =，AB
平面ABD
所以AB ⊥平面BCD ，又DC ⊂平面BCD 所以AB DC ⊥，又DB DC ⊥
所以作z 轴//AB ,建立空间直角坐标系B xyz - 如图
设1AB =，所以1,1,2BD DC BC ===则()()()()0,1,1,0,1,0,1,0,0,0,0,0A B C D 所以()()1,1,1,0,1,0AC BD =--- 所以3
cos ,33
AC BD AC BD AC BD
⋅==
= 故选：C 【点睛】
本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题. 6．A 【解析】
试题分析：{}3,4,5,7,8,9U A B =⋃=,{}4,7,9A B ⋂=,所以{}()3,5,8U C A B ⋂=，即集合()
U C A B ⋂中共有3个元素，故选A ． 考点：集合的运算． 7．C 【解析】 【分析】
根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积. 【详解】
最上面圆锥的母线长为2，底面周长为2π24π⨯=，侧面积为1
224π42π2
⨯=，下面圆锥的母线长为252π48π⨯=，侧面积为
1
258π85π2
⨯=，没被挡住的部分面积为22π4π212π⨯-⨯=，中间圆柱的侧面积为2π214π⨯⨯=.故表面积为()
854216π，故选C.
本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题. 8．D 【解析】
分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为
所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈， 又1a f =
，则7781a a q f === 故选D.
点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：
（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1
n
n a q a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈）， 数列{}n a 是等比数列；
（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*
3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数
列. 9．D 【解析】 【分析】
通过列举法可求解，如两角分别为2,63
ππ
时
【详解】
当2,36A B ππ
=
=时，sin sin A B >，但tan tan A B <，故充分条件推不出； 当2,63
A B ππ==时，tan tan A B >，但sin sin A B <，故必要条件推不出；
所以“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【点睛】
本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题 10．D 【解析】 【分析】
作出图象，取AB 中点E ，连接EF 2，设F 1A ＝x ，根据双曲线定义可得x ＝2a ，再由勾股定理可得到c 2＝7a 2，进而得到e 的值
解：取AB 中点E ，连接EF 2，则由已知可得BF 1⊥EF 2，F 1A ＝AE ＝EB ， 设F 1A ＝x ，则由双曲线定义可得AF 2＝2a+x ，BF 1﹣BF 2＝3x ﹣2a ﹣x ＝2a ， 所以x ＝2a ，则EF 2＝23a ，
由勾股定理可得（4a ）2+（23a ）2＝（2c ）2， 所以c 2＝7a 2， 则e 7c
a
=
= 故选：D ．
【点睛】
本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．对于圆锥曲线中求离心率的问题，关键是列出含有,,a b c 中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率. 11．B 【解析】 【分析】
间接法求解，两盆锦紫苏不相邻，被另3盆隔开有3
3
34A A ，扣除郁金香在两边有2
3
232A A ，即可求出结论. 【详解】
使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有3
3A 种， 然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有3
4A 种， 根据分步乘法计数原理有3
3
34A A ，扣除郁金香在两边， 排2盆虞美人、1盆郁金香有2
22A 种，
再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有3
3A ， 根据分步计数原理有2
3
232A A ，
所以共有3323
34232120A A A A -=种.
故选:B. 【点睛】
本题考查排列应用问题、分步乘法计数原理，不相邻问题插空法是解题的关键，属于中档题. 12．B 【解析】 【分析】
模拟程序运行，观察变量值可得结论． 【详解】
循环前1,10i n ==，循环时：5,2n i ==，不满足条件1n =；16,3n i ==，不满足条件1n =；
8,4n i ==，不满足条件1n =；4,5n i ==，不满足条件1n =；2,6n i ==，不满足条件1n =；1,7n i ==，满足条件1n =，退出循环，输出7i =． 故选：B ． 【点睛】
本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13【解析】 【分析】
先求得复数z ，再由复数模的计算公式即得. 【详解】
2i i
z
=+，
22i i 12i z ∴=+=-+，则z =
【点睛】
本题考查复数的四则运算和求复数的模，是基础题. 14．2 【解析】 【分析】
首先求出6()x a +的展开项中3x 的系数，然后根据3x 系数为160即可求出a 的取值. 【详解】
由题知616r r r
r T C x a -+=，
当3r =时有333333
466160160T C x a x C a ==⇒=，
解得2a =. 故答案为：2. 【点睛】
本题主要考查了二项式展开项的系数，属于简单题. 15．60 【解析】 【分析】
根据题中给的信息与双曲线的定义可求得1123,2BF b F F c ==与232BF b a =-,再在12BF F △中,由余弦定理求解得3
2
b a =,继而得到各边的长度,再根据22AOB
F OB
AOF B S S S
=+四边形计算求解即可.
【详解】
如图所示：设双曲线C 的半焦距为c .
因为|OA a =,1AF OA ⊥,1OF c =,所以由勾股定理,得1AF b =
=.
所以1
cos b
AFO c
∠=. 因为A 是1BF 上一个靠近点1F 的三等分点,O 是12,F F 的中点,所以1123,2BF b F F c ==. 由双曲线的定义可知：122BF BF a -=,所以232BF b a =-. 在12BF F △中,由余弦定理可得2
222
1
94232cos BF b c b c AFO =+-⨯⨯⨯∠ 22229423243b b c b c c b c
=+-⨯⨯⨯=-,所以222(32)43b a c b -=-,整理可得3
2b a =.
所以23532321022BF b a a a a =-=⨯
-==,解得4a =.所以3
62
b a ==.
则c ==则
1
cos b AFO c ∠===,得1sin AFO ∠=. 则
2F OB 的底边2OF 上的高为11
sin 18h BF AFO =∠==所以22AOB 211
||||22
F OB
AOF B S S
S
AB AO OF h =+=
+四边形
1136
12421360
2213
=⨯⨯+⨯⨯=.
故答案为：60
【点睛】
本题主要考查了双曲线中利用定义与余弦定理求解线段长度与面积的方法,需要根据双曲线的定义表示各边的长度,再在合适的三角形里面利用余弦定理求得基本量,,
a b c的关系.属于难题.
16．22
11912
555
x y x y
+---=
【解析】
【分析】
作出平面区域，可知平面区域为三角形，求出三角形的三个顶点坐标，设三角形的外接圆方程为
220
x y Dx Ey F
++++=，将三角形三个顶点坐标代入圆的一般方程，求出D、E、F的值，即可得出所求圆的方程.
【详解】
作出不等式组
3210
470
20
y x
y x
y x
+-≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪--≤
⎩
所表示的平面区域如下图所示：
由图可知，平面区域为ABC，联立
20
470
y x
y x
--=
⎧
⎨
+-=
⎩
，解得
1
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，则点()
1,3
A，
同理可得点()
2,1
B-、()
1,1
C-，
设ABC 的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，
由题意可得310025020
D E F D E F D E F +++=⎧⎪-++=⎨⎪-+++=⎩
，解得113D =-，95E =-，12
5F =-，
因此，所求圆的方程为2
2
11912
0555
x y x y +-
--=. 故答案为：22
119120555
x y x y +---
=. 【点睛】
本题考查三角形外接圆方程的求解，同时也考查了一元二次不等式组所表示的平面区域的求作，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中等题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）12060ms y S =+
，210120mS y S =+，350600
mS
y S =+
. （2）当6000m <时，此时选择火车运输费最省； 当6000m >时，此时选择飞机运输费用最省； 当6000m =时，此时选择火车或飞机运输费用最省. 【解析】 【分析】
（1）将运费和损耗费相加得出总费用的表达式. （2）作差比较2y 、3y 的大小关系得出结论. 【详解】 （1）12060
ms y S =+
， 210120mS y S =+
，350600
mS
y S =+
. （2）
0,0m S >>，
故2010,
60120
mS mS
S S >>， 12y y ∴>恒成立，故只需比较2y 与3y 的大小关系即可，
令()324040150150mS m f S y y S S ⎛⎫
=-=-=- ⎪⎝⎭
， 故当400150
m
-
>，即6000m <时， ()0f S >，即23y y <，此时选择火车运输费最省，
当400150
m
-
<，即6000m >时，
()0f S <，即23y y >，此时选择飞机运输费用最省.
当400150
m
-
=，即6000m =时， ()0f S =，23y y =，
此时选择火车或飞机运输费用最省. 【点睛】
本题考查了常见函数的模型，考查了分类讨论的思想，属于基础题. 18．（1）分布列见解析；（2）406. 【解析】 【分析】
（1）计算k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为k q ，呈阳性反应的概率为1k
q -，得到分布列. （2）计算1
()1k E X q k
=-+，代入数据计算比较大小得到答案. 【详解】
（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，则1q p =-.
所以k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为k
q ，呈阳性反应的概率为1k q -.
依题意可知1X =
，1
1+，所以X 的分布列为：
（2）方案②中.
结合（1）知每个人的平均化验次数为：()111
()111k k k E X q q q k k k ⎛⎫=
⋅++⋅-=-+ ⎪⎝⎭
2k =时，21
()0.910.692E X =
-+=，此时1000人需要化验的总次数为690次， 3k =时，31
()0.910.60433E X =-+≈，此时1000人需要化验的总次数为604次，
4k =时，41
()0.910.59394
E X =-+=，此时1000人需要化验的次数总为594次，
即2k =时化验次数最多，3k =时次数居中，4k =时化验次数最少，而采用方案①则需化验1000次， 故在这三种分组情况下，相比方案①，
当4k =时化验次数最多可以平均减少1000594406-=次. 【点睛】
本题考查了分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
19．（1）,
()6
3
[]k k k Z π
π
ππ-++∈（2
）
2
【解析】 【分析】
（1）利用降次公式、辅助角公式化简()f x 解析式，根据三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调递增区间. （2）先由12A f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
求得A ，利用正弦定理得到2c b =，结合余弦定理列方程，求得,b c ，由此求得三角形ABC 的面积. 【详解】
（1
）函数2()2sin cos 1,f x x x x x R =+-∈，
()2cos 22sin(2)6
f x x x x π
=-=-，
由222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-+≤-≤
+∈，
得,6
3
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈.
所以()f x 的单调递增区间为,
()6
3
[]k k k Z π
π
ππ-++∈ .
（2）因为()2sin()12
6
A f A π
=-
=且A 为锐角，所以3A π
=
.
由sin 2sin C B =及正弦定理可得2c b =，又3,
3
a A π==，
由余弦定理可得2222222cos 3a b c bc A b c bc b =+-=+-=，
解得b c ==
11sin 2222
ABC
S bc A ∴=
==
. 【点睛】
本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.
20．（1）2n
n a =（2）112n T ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，
【解析】 【分析】 （1）由111
12
a S =
+，可求1a ，然后由2n 时，1n n n a s s -=-可得12n n a a -=，根据等比数列的通项可求 （2）由22log log 2n
n n b a n ===，而11111
(1)1
n n n c b b n n n n +=
==-++，利用裂项相消法可求n T .
【详解】
（1）当1n =时，111
12
a S =+，解得12a =， 当2n 时，111
12
n n a S --=
+⋯① 1
12
n n a S =
+⋯② ②-①得11
2
n n n a a a --=
，即12n n a a -=， ∴数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴2n n a =；
（2）22log log 2n
n n b a n ===
∴11111
(1)1
n n n c b b n n n n +=
==-++， ∴11111111112233411
n T n n n =-
+-+-+⋯+-=-++， *n N
∈，∴11(0,]12n ∈+ ∴1
[,1)2
n T ∈.
【点睛】
本题考查递推公式1n n n a s s -=-(2)n 在数列的通项求解中的应用，等比数列的通项公式、裂项求和方法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 21．（1）证明见解析；（2）2 【解析】 【分析】
（1）在ABC ∆中，利用勾股定理，证得AB BC ⊥，又由题设条件，得到1AB BB ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得AB ⊥平面11BCC B ，进而得到1AB CC ⊥；
（2）设三棱台和三棱柱的高都为上、下底面之间的距离为h
，根据棱台的体积公式，列出方程求得
12=
，得到11
12AB A B =，即可求解. 【详解】
（1）由题意，在ABC ∆中，22AC AB ==
，BC =， 所以222AB BC AC +=，可得AB BC ⊥， 因为111A B BB ⊥，可得1AB BB ⊥.
又由1BC
BB B =，BC ，1BB ⊂平面11BCC B ，所以AB ⊥平面11BCC B ，
因为1CC ⊂平面11BCC B ，所以1AB CC ⊥.
（2）因为111:4:3AA E BB D ABC EDC V V --=，可得1111:7:3ABC A B C ABC EDC V V --=， 令ABC S S ∆'=，111A B C S S ∆=，
设三棱台和三棱柱的高都为上、下底面之间的距离为h ，
则
()
1111
1
7
33
ABC A B C ABC EDC S S h
V V S h --'++⋅=='⋅
，整理得60S S '=，
即6
10S S '=
12=，即
11
12AB A B =， 又由1AB =，所以112A B =. 【点睛】
本题主要考查了直线与平面垂直的判定与应用，以及几何体的体积公式的应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及熟练应用几何体的体积公式进行求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
22．（1）21n
n S =-（2）存在，20,1,2,3,4,5,6a =±±±±±-
【解析】 【分析】
()1由数列{}n a 为“(1)H 数列”可得,11n n S a +=-，11(n 2)n n S a -=-≥，两式相减得12,(n 2)n n a a +=≥，
又22a =12a =，利用等比数列通项公式即可求出n a ,进而求出n S ;
()2由题意得，22n n S a +=-，112(n 2)n n S a -+=-≥，两式相减得，21,(n 2)n n n a a a ++=+≥，
据此可得,当3n ≥时,222
121111()n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++--=--=-,进而可得
221211,(n 3)n n n n n n a a a a a a +++--=-≥,即数列{}
211n n n a a a +--为常数列,进而可得2211324,(n 3)n n n a a a a a a +--=-≥,结合432a a a =+，得到关于2a 的不等式,再由2n =时222132340a a a a -=-≤，且2a 为整数即可求出符合题意的2a 的所有值.
【详解】
()1因为数列{}n a 为“(1)H 数列”，
所以11n n S a +=-，故11(n 2)n n S a -=-≥，
两式相减得12,(n 2)n n a a +=≥， 在11n n S a +=-中令1n =，则可得22a =，故212a a =
所以*1
2,(,1)n n
a n N n a +=∈≥， 所以数列{}n a 是以1为首项,以2为公比的等比数列， 所以12n n
a ，因为11n n S a +=-，
所以21n
n S =-.
（2）由题意得22n n S a +=-，故112(n 2)n n S a -+=-≥，
两式相减得21,(n 2)n n n a a a ++=+≥
所以，当2n ≥时，222
121111()()n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ++++++-=-+=--
又因为11,(n 3)n n n a a a +--=≥
所以当3n ≥时,222
121111()n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++--=--=-
所以22
1211,(n 3)n n n n n n a a a a a a +++--=-≥成立,
所以当3n ≥时，数列{}
2
11n n n a a a +--是常数列，
所以22
11324,(n 3)n n n a a a a a a +--=-≥
因为当2n =时,21n n n a a a ++=+成立, 所以432a a a =+，
所以222
113232,(n 3)n n n a a a a a a a +--=--≥
在22n n S a +=-中令1n =， 因为11a =，所以可得33a =，
所以2
229340a a --≤，
由2n =时22
2132340a a a a -=-≤，且2a 为整数，
可得20,1,2,3,4,5,6a =±±±±±±,
把20,1,2,3,4,5,6a =±±±±±±分别代入不等式2
229340a a --≤
可得,20,1,2,3,4,5,6a =±±±±±-，
所以存在数列{}n a 符合题意,2a 的所有值为20,1,2,3,4,5,6a =±±±±±-. 【点睛】
本题考查数列的新定义、等比数列的通项公式和数列递推公式的运用;考查运算求解能力、逻辑推理能力
和对新定义的理解能力;通过反复利用递推公式,得到数列{}
2
11n n n a a a +--为常数列是求解本题的关键;属
于综合型强、难度大型试题. 23．（1）3；（2
）4. 【解析】 【分析】
（1）在CAM 中，利用正弦定理即可得到答案； （2）由1
2
BMN ACB S S =
△△
可得BM BN ⋅=BMN ∆
中，利用MN =2222cos
6
MN BM BN BM BN π
=+-⋅，解方程组即可.
【详解】
（1）在CAM 中，已知3
CAM π
∠=
，sin 3
CMA ∠=
，2AC =，由正弦定理， 得
sin sin CM AC CAM CMA
=∠∠
，解得sin
233sin AC CM CMA π
⋅=
==∠. （2）因为12BMN ACB S S =
△△
，所以111
sin 22622
BM BN π⋅⋅⋅=⨯⨯⨯
BM BN ⋅=在BMN ∆中，由余弦定理得，
(
)2
2222cos
2162MN BM BN BM BN BM BN BM BN π
⎛=+-⋅=+-⋅⋅+ ⎝
⎭，
即(
)
2
2
21BM BN ⎛=+-⨯+ ⎝⎭
，
(
)
(2
2
194BM BN +=+=+，
故4BM BN +=【点睛】
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的计算能力，是一道中档题.
2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点12,,3M N PF PF =若，且
260MF N ∠=，则双曲线的离心率为( )
A B ．3 C ．2 D 2．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T 取最大值时n 的值为( ) A ．2020
B ．20l9
C ．2018
D ．2017
3．设直线l 过点()0,1A -，且与圆C ：2220x y y +-=相切于点B ，那么AB AC ⋅=（ ）
A ．3±
B ．3
C D ．1
4．已知(1)2i ai bi -=+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），则ab 等于（ ） A ．2
B ．-2
C ．
1
2
D ．12
-
5．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ） A ．0.18
B ．0.3
C ．0.24
D ．0.36
6．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
7．设集合A ＝{y|y ＝2x ﹣1，x ∈R}，B ＝{x|﹣2≤x≤3，x ∈Z}，则A∩B ＝（ ） A ．（﹣1，3]
B ．[﹣1，3]
C ．{0，1，2，3}
D ．{﹣1，0，1，2，3}
8．下列判断错误的是( )
A ．若随机变量ξ服从正态分布(
)()2
1,,40.78N P σ
ξ≤=，则()20.22P ξ≤-=
B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件
C ．若随机变量ξ服从二项分布： 14,4B ξ
⎛⎫
⎪⎝⎭
， 则()1E ξ=
D ．am bm >是a b >的充分不必要条件
9．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是（ ） A ．2
B ．1
C ．3
D ．2
10．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的2
3
，且球的表面积也是圆柱表面积的2
3
”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( ) A ．
43
π B ．16π
C ．163
π D ．
323
π 11．函数3
222
x x
x y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．
C ．
D ．
12．设M 是ABC ∆边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，若AN AB AC λμ=+，则λμ+的值为( ) A ．1
B ．
12
C ．
13
D ．
14
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二 2000人、高三n 人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为_______．
14．已知,x y 满足140x x y ax by c ≥⎧⎪
+≤⎨⎪++≤⎩
且目标函数2z x y =+的最大值为7，最小值为1，则
a b c
a
++=___________． 15．直线2y ex b =+是曲线()0y lnx x =>的一条切线 2.7182(8e =⋅⋅⋅为自然对数的底数)，则实数
b =__________.
16．若变量x ，y 满足约束条件21,24,20,y x x y y ≤+⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
则2z x y =-的最大值为________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．函数()ln(1),()sin f x ax x g x x =-+=，且()0f x 恒成立. （1）求实数a 的集合M ；
（2）当a M ∈时，判断()f x 图象与()g x 图象的交点个数，并证明. （参考数据：12
ln 20.69, 1.77x e
-≈≈）
18．已知函数2()ln f x ax a x =--，[0,)a ∃∈+∞,使得对任意两个不等的正实数12,x x ，都有
()()
1212
0f x f x x x -<-恒成立.
（1）求()f x 的解析式； （2）若方程
1
()2f x m x
=+有两个实根12,x x ，且12x x <，求证：121x x +>. 19．（6分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1+cos 1cos 2sin 1cos x y αααα⎧=⎪⎪-⎨
⎪=⎪-⎩
(α
为参数).以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为0θθ=(0(0,π)θ∈)，将曲线1C 向左平移2个单位长度得到曲线C .
（1）求曲线C 的普通方程和极坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求
11
OA OB
+的取值范围. 20．（6分）已知圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半
轴，建立平面直角坐标系，直线l
的参数方程是2(2
x m t y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
是参数），若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值.
21．（6分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下：
等级 不合格 合格
得分 [20,40]
[40,60]
[60,80]
[80,100]
频数
6
a
24
b
（1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数；
（2）其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率；
（3）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈．现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的数学期望()E ξ．
22．（8分）己知点E ，F 分别是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的上顶点和左焦点，若EF 与圆
224
3
x y +=
相切于点T ，且点T 是线段EF 靠近点E 的三等分点.
()1求椭圆C 的标准方程；
()2直线:l y kx m =+与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第二象限，过坐标原点O 且与l 垂直的直线
l '与圆228x y +=相交于A ，B 两点，求PAB △面积的取值范围.
23．（8分）2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID —19），简称“新冠肺炎”.下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图.
为了预测在未釆取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y 与时间变量t 的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量t 的值依次1，2，…，10）建立模型y c dt =+和
1.5t y a b =+⋅.
（1）根据散点图判断，y c dt =+与 1.5t y a b =+⋅哪一个适宜作为累计确诊人数y 与时间变量t 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2根据（1）的判断结果及附表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（3）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题： 时间
1月25日 1月26日 1月27日 1月28日 1月29日 累计确诊人数的真实数据
1975
2744
4515
5974
7111
（ⅰ）当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于0.1则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？
（ⅱ）2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？ 附：对于一组数据（()11,u v ，()22,u v ，……，(),n n u v ，其回归直线v a u β=+的斜率和截距的最小二乘
估计分别为()()
()
1
2
1
n
i
i
i n
i
i u u v v u u β==--=
-∑∑，v u αβ=-.
参考数据：其中 1.5i
t i ω=，10
1
110i i ωω==∑. t
y
ω
10
2
1
i
i t
=∑
10
21
i
i ω
=∑
10
1
i i
i t y
=∑
10
1
i i
i y
ω=∑ 111.5 121.5 131.5 141.5 151.5
5.5
390 19
385 7640 31525 154700 100 150 225 338 507
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】 【分析】
本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a 与c 的等式，计算离心率，即可． 【详解】
结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO ，而12F O F O =，结合四边形对角线平分，可得四边
形12PF MF 为平行四边形，结合0
260MF N ∠=，故01260F MF ∠=
对三角形12F MF 运用余弦定理，得到，222
121212122cos F M F M F F MF MF F MF +-=⋅⋅⋅∠
而结合213PF PF =，可得12,3MF a MF a ==，122F F c =，代入上式子中，得到 2222943a a c a +-=，结合离心率满足c e a =
，即可得出7c e a ==，故选D ． 【点睛】
本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难． 2．B。