2019高中数学 模块综合测评 新人教A版选修2-1

模块综合测评
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a ∈R ，则“a ＜2”是“a 2
＜2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
B [∵a 2
＜2a ⇔a (a －2)＜0⇔0＜a ＜2. ∴“a ＜2”是“a 2
＜2a ”的必要不充分条件．]
2．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则﹁
p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x 0≤1 D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x 0≤1
B [命题p 为全称命题，所以﹁
p 为∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1.故选B ．]
3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的离心率为( )
A ．54
B ．52
C ．32
D ．5
4
B [由题意，1－b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322
＝34，∴b 2a 2＝14，而双曲线的离心率e 2
＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54
，∴e
＝5
2
.] 4．已知空间向量a ＝(t,1，t )，b ＝(t －2，t,1)，则|a －b |的最小值为( ) A ． 2 B ． 3 C ．2
D ．4
C [|a －b |＝2(t －1)2
＋4≥2，故选C ．]
5．椭圆x 225＋y 2
9＝1与椭圆x 2a 2＋y 2
9
＝1有( )
A ．相同短轴
B ．相同长轴
C ．相同离心率
D ．以上都不对
D [对于x 2a 2＋y 29
＝1，有a 2>9或a 2
<9，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，
离心率是不确定的，因此A ，B ，C 均不正确，故选D ．]
6．长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1­AB ­C 为( )
【导学号：46342198】
A ．π3
B ．2π3
C ．3π4
D ．π4
D [以A 为原点，直线AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0,0,1)，平面ABC 1的一个法向量为A 1D →
＝(0,1，－1)，∴cos 〈AA 1→，A 1D →〉＝－12＝－22，∴〈AA 1→，A 1D →〉＝3π4，又二面角C 1­AB ­C 为锐角，即π－3
4π＝
π
4
，故选D ．] 7．命题“∀x ∈[1,2]，x 2
－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5
D ．a ≤5
C [∵∀x ∈[1,2]，1≤x 2
≤4，∴要使x 2
－a ≤0为真，则a ≥x 2
，即a ≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C 符合，故选C ．]
8．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2
＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )
A ．y 2
＝±4x B ．y 2
＝±8x C ．y 2＝4x
D ．y 2
＝8x
B [由已知可得，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
4，0.又直线l 的斜率为2，故直线l 的方程
为y ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －a 4，则|OA |＝|a |2，故S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4，解得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x .]
9．已知A (1,2,3)，B (2,1,2)，C (1,1,2)，O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动，则当DA →·DB →
取最小值时，点D 的坐标为( )
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，43
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫83，43，83
C ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，43，83 D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫83，83，43 C [点D 在直线OC 上运动，因而可设OD →＝(a ，a,2a )，则DA →＝(1－a,2－a,3－2a )，DB →
＝(2－a,1－a,2－2a )，DA →·DB →＝(1－a )(2－a )＋(2－a )(1－a )＋(3－2a )(2－2a )＝6a 2
－16a
＋10，所以a ＝43时DA →·DB →
取最小值，此时OD →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，43，83.]
10．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，
且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为2
3
，则k 的值为( )
A ．－13
B ．13
C ．±13
D ．±12
C [由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2
a c ＋a ＝±
b 2a
c ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±
1－e 2
e ＋1＝±(1－e )＝±13
，故选C ．] 11．若F 1，F 2为双曲线C ：x 2
4－y 2
＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，
则点P 到x 轴的距离为( )
A ．
55 B ．155 C ．2155 D ．1520
B [设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，点P 到x 轴的距离为|y P |，则S △F 1PF 2＝1
2r 1r 2sin 60°＝
34
r 1r 2，又4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－r 1r 2＝4a 2＋r 1r 2，得r 1r 2＝4c 2－4a 2＝4b 2
＝4，所以S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝3＝12·2c ·|y P |＝5|y P |，得|y P |＝155，故选
B ．]
12．抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝2π3.设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN |
|AB |
的最大值是( )
【导学号：46342199】
A ． 3
B ．
32 C ．33 D ．3
4
C [如图．设|AF |＝r 1，|BF |＝r 2，则|MN |＝r 1＋r 2
2
.在△AFB 中，
因为|AF |＝r 1，|BF |＝r 2且∠AFB ＝
2π
3
，所以由余弦定理，得|AB |＝r 21＋r 2
2－2r 1r 2cos
2π3＝r 21＋r 2
2＋r 1r 2，所以|MN ||AB |＝r 1＋r 22r 21＋r 22＋r 1r 2
＝12×(r 1＋r 2)2
r 21＋r 2
2＋r 1r 2＝1
2
×1＋
r 1r 2r 21
＋r 2
2＋r 1r 2≤1
2
×1＋
r 1r 23r 1r 2＝3
3
，当且仅当r 1＝r 2时取等号．故选C ．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →
＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →
是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →
.其中正确的是________(填序号)．
①②③ [∵AB →·AP →＝－2－2＋4＝0，∴AB →⊥AP →，即AP ⊥AB ，①正确；∵AP →·AD →
＝－4＋4＝0，∴AP →⊥AD →，即AP ⊥AD ，②正确；由①②可得AP →
是平面ABCD 的法向量，③正确；由③可得AP →⊥BD →
，④错误．]
14．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线
的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为________．
x 2
5
－
y 2
20
＝1 [由已知得b a
＝2，所以b ＝2a .在y ＝2x ＋10中令y ＝0得x ＝－5，故c ＝5，
从而a 2
＋b 2
＝5a 2
＝c 2
＝25，所以a 2
＝5，b 2
＝20，所以双曲线的方程为x 25－y 2
20
＝1.]
15．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的离心率e ＝
23
，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3，则椭圆C 的方程为________．
x 2
3
＋y 2
＝1 [由e ＝c a ＝
23，得c 2＝23a 2，所以b 2＝a 2－c 2
＝13
a 2 设P (x ，y )是椭圆C 上任意一点，则x 2a 2＋y 2
b 2＝1，所以x 2＝a 2(1－y 2b 2)＝a 2－3y 2
.|PQ |＝
x 2＋(y －2)2＝a 2－3y 2＋(y －2)2＝－2(y ＋1)2＋a 2＋6，
当y ＝－1时，|PQ |有最大值a 2
＋6.由a 2
＋6＝3，可得a 2
＝3， 所以b 2
＝1，故椭圆C 的方程为x 2
3
＋y 2
＝1.] 16．四棱锥P ­ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________.
【导学号：46342200】
317
17
[如图，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z
轴建立空间直角坐标系，由已知P (0,0,1)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，则重心
G ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，2
3
，0，因此DP →＝(0,0,1)，GP →
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23
，－23
，1，所以sin θ＝|cos 〈DP →，GP →
〉|＝
|DP →·GP →
||DP →|·|GP →|
＝317
17.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |x 2
－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合．
[解] ∵A ＝{x |x 2
－3x ＋2＝0}＝{1,2}， 由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，∴B A ．
当B ＝∅时，得a ＝0；
当B ≠∅时，由题意得B ＝{1}或B ＝{2}． 则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝1
2
.
综上所述，实数a 组成的集合是⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
0，1，12.
18．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→
＝0.
[解] (1)由双曲线的离心率为2，可知双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为x 2
－y 2
＝λ，又双曲线过点(4，－10)，代入解得λ＝6，故双曲线的方程为x 2
－y 2
＝6.
(2)证明：由双曲线的方程为x 2
－y 2
＝6，可得a ＝b ＝6，c ＝23，所以F 1(－23，0)，
F 2(23，0)．由点M (3，m )，得MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→
＝(23－3，－m )，又点M (3，m )在双曲线上，所以9－m 2＝6，解得m 2＝3，所以MF 1→
·MF 2→
＝m 2－3＝0.
19. (本小题满分12分)如图1，在四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，
AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k ＞0)．
图1
(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；
(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为6
7
，求k 的值.
【导学号：46342201】
[解] (1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图(1)．
(1)
∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .
在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ， ∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD ． 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD ．
∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD ． 又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.
(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→
的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，
(2)
∴AC →＝(－4k,6k,0)，AB 1→＝(0,3k,1)，AA 1→
＝(0,0,1)． 设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨
⎪⎧
AC →·n ＝0，
AB 1→·n ＝0，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.
取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )． 设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则
sin θ＝|cos 〈AA 1→
，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
AA 1→·n |AA 1→||n |＝6k 36k 2
＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1.
20. (本小题满分12分)如图2，过抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4
的直线与抛物线相交于A ，B 两点．
图2
(1)用p 表示|AB |；
(2)若OA →·OB →
＝－3，求这个抛物线的方程．
[解] (1)抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －p 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由
⎩
⎪⎨⎪
⎧
y 2
＝2px ，y ＝x －p 2，得x 2
－3px ＋p 2
4
＝0，
∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 2
4，
∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p .
(2)由(1)知，x 1x 2＝p 2
4
，x 1＋x 2＝3p ，
∴y 1y 2＝⎝
⎛⎭⎪⎫x 1－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p 2
4＝－p 2
，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2
＝p 2
4－p 2
＝－3p 2
4
＝－3，解得p 2
＝4，∴p ＝2. ∴这个抛物线的方程为y 2
＝4x .
21．(本小题满分12分)如图3所示，四棱锥P ­ABCD 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥CD ，
PA ＝1，PD ＝2，E 为PD 上一点，PE ＝2ED ．
图3
(1)求证：PA ⊥平面ABCD ；
(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由．
[解] (1)证明：∵PA ＝AD ＝1，PD ＝2， ∴PA 2
＋AD 2
＝PD 2
， 即PA ⊥AD ．
又PA ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ，∴PA ⊥平面ABCD ．
(2)以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,0,1)，
E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，13，AC →
＝(1,1,0)，AE →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫0，23
，13.设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·AC →＝0，
n ·AE →＝0，
即⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＋y ＝0，2y ＋z ＝0，
令y ＝1，
则n ＝(－1,1，－2)．
假设侧棱PC 上存在一点F ，且CF →＝λCP →
(0≤λ≤1)， 使得BF ∥平面AEC ，则BF →
·n ＝0.
又∵BF →＝BC →＋CF →
＝(0,1,0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)， ∴BF →·n ＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝12
，
∴存在点F ，使得BF ∥平面AEC ，且F 为PC 的中点．
22. (本小题满分12分)如图4，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝
1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作
x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C ．
图4
(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值.
【导学号：46342202】
[解] (1)∵BF 2＝2，而BF 2
2＝OB 2
＋OF 2
2＝b 2
＋c 2
＝2＝a 2
，
∵点C 在椭圆上，C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，13， ∴
169a 2＋19b
2＝1， ∴b 2
＝1，∴椭圆的方程为x 2
2
＋y 2
＝1.
(2)直线BF 2的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆方程x 2a 2＋y 2
b 2＝1联立方程组，
解得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c
a 2＋c 2，－
b 3
a 2＋c 2，
则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a 2c
a 2＋c 2，
b 3
a 2＋c 2，
又F 1为(－c,0)，k F 1C ＝b 3
a 2＋c 22a 2c a 2＋c 2
＋c ＝b 3
3a 2c ＋c
3， 又k AB ＝－b c ，由F 1C ⊥AB ，得b 33a 2c ＋c 3·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－b c ＝－1， 即b 4＝3a 2c 2＋c 4，所以(a 2－c 2)2＝3a 2c 2＋c 4，化简得e ＝c a ＝5
5.。