高中数学 第二章 平面向量双基限时练20(含解析)北师大

双基限时练(二十) 向量平行的坐标表示
一、选择题
1．已知a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，若a ∥b ，则y 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．4
D ．－4
解析 由a ∥b ，得(－1)·y ＝2·2＝4，∴y ＝－4，故选D. 答案 D
2．已知A (k,12)，B (4,5)，C (10，k )，若A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值为( ) A. 11 B. －2 C. 11或－2
D. 2或－11
解析 ∵A ，B ，C 三点共线，AB →
＝λBC →
，∴(4－k ，－7)＝λ(6，k －5)，得k ＝11，或
k ＝－2.
答案 C
3．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝k a ＋b ，(k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向
解析 d ＝a －b ＝(1，－1)，c ＝k a ＋b ＝(k,1)，∵c ∥d ，∴1×1－(－1)×k ＝0，得k ＝－1，当k ＝－1时，c ＝(－1,1)＝－d ，∴c 与d 反向．
答案 D
4．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)
D ．(－2，－4)
解析 ∵a ∥b ，∴m ＝－4，故b ＝(－2，－4)，2a ＋3b ＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
答案 B
5．已知AB →
＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →
＝(－2，－3)，且BC →∥DA →
，则x ＋2y 的值为( )
A ．0
B ．2 C.12
D ．－2
解析 DA →＝－(AB →＋BC →＋CD →)＝－(4＋x ，－2＋y )，由DA →∥BC →
，得(－4－x )y －(2－y )x ＝0，即x ＋2y ＝0，故选A.
答案 A
6．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，且(2a －b )∥(a －λb )，λ∈R ，则λ的值为( ) A.12 B ．－12
C ．2
D ．－2
解析 2a －b ＝2(3，－1)－(1，－2)＝(6，－2)－(1，－2)＝(5,0)，a －λb ＝(3，－1)－λ(1，－2)＝(3－λ，－1＋2λ)，∵(2a －b )∥(a －λb )，∴5·(－1＋2λ)－(3－λ)·0＝0，∴λ＝12
.
答案 A
7．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A. － 2 B. 2 C. －2或 2
D. 0
解析 由a ∥b 知1×2－m 2
＝0，即m ＝2或－ 2. 答案 C 二、填空题
8．若a ＝(1＋2λ，2－3λ)与b ＝(4,1)共线，则λ＝________. 答案 12
9．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________. 解析 由3－k 1＝－6
3，解得k ＝5.
答案 5
10．在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，已知A (－2,0)，B (6,8)，
C (8,6)，则
D 点的坐标为________．
解析 设D (x ，y )，∵AB ∥DC ，AD ∥BC ，
∴四边形ABCD 为平行四边形．∴AB →＝DC →
. 又AB →
＝(8,8)，DC →
＝(8－x,6－y )，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
8＝8－x ，
8＝6－y ，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，
y ＝－2.
∴D (0，－2)． 答案 (0，－2) 三、解答题
11．若向量a ＝(2，－1)，b ＝(x,2)，c ＝(－3，y )，且a ∥b ∥c ，求x ，y 的值． 解 直接利用向量共线的条件加以解决． 解法一：∵a ∥b ∥c ，∴b ＝λ1a ，c ＝λ2a .
则有⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2λ1，2＝－λ1，－3＝2λ2，
y ＝－λ2
，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－4，y ＝3
2
.
解法二：∵a ∥b ，∴4＋x ＝0，∴x ＝－4. 又∵a ∥c ，∴2y －3＝0，∴y ＝3
2
.
12．已知直角坐标平面上四点A (1,0)，B (4,3)，C (2,4)，D (0,2)，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．
证明 由已知，AB →
＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，CD →
＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)． ∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴AB →
与CD →
共线．
又AD →
＝(0,2)－(1,0)＝(－1,2)．
∵3×(－1)－3×2≠0，∴AB →
与AD →
不共线．
∴AB ∥CD ，AB ∥|AD . 又|AB →|＝32，|CD →
|＝22，∴|AB →|≠|CD →
|，即AB ≠CD .
∵BC →
＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，AD →
＝(－1,2)，∴|BC →
|＝5＝|AD →
|.
故四边形ABCD 是等腰梯形．
13．已知OA →
＝(3，－4)，OB →
＝(6，－3)，OC →
＝(5－m ，－(3＋m ))，若A ，B ，C 不能构成三角形，求实数m 应满足的条件．
解 ∵OA →
＝(3，－4)，OB →
＝(6，－3)，OC →
＝(5－m ，－(3＋m ))，若点A ，B ，C 不能构成
三角形，则这三点共线，
∵AB →＝(3,1)，AC →
＝(2－m,1－m )， ∴3(1－m )＝2－m ，得m ＝1
2
.
∴当m ＝1
2时，A ，B ，C 不能构成三角形．。