九年级上册三门峡数学期末试卷易错题(Word版 含答案)

九年级上册三门峡数学期末试卷易错题（Word 版 含答案）
一、选择题
1．已知一元二次方程2330p p --=，2330q q --=，则p q +的值为（ ） A ．3-
B ．3
C ．3-
D ．3 2．若将半径为24cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（ ）
A ．3cm
B ．6cm
C ．12cm
D ．24cm 3．方程 x 2＝4的解是（ ）
A ．x 1＝x 2＝2
B ．x 1＝x 2＝－2
C ．x 1＝2，x 2＝－2
D ．x 1＝4，x 2＝－4 4．已知圆锥的底面半径为3cm ，母线为5cm ，则圆锥的侧面积是 ( )
A ．30πcm 2
B ．15πcm 2
C ．152π cm 2
D ．10πcm 2
5．在九年级体育中考中，某班参加仰卧起坐测试的一组女生（每组8人）测试成绩如下（单位：次/分）：46,44,45,42,48,46,47,46.则这组数据的中位数为（ ）
A ．42
B ．45
C ．46
D ．48 6．已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为13cm ，则这个圆锥的全面积是（ ） A ．265cm π B ．290cm π
C ．2130cm π
D ．2155cm π 7．如图示，二次函数2y x mx =-+的图像与x 轴交于坐标原点和()4,0，若关于x 的方程
20x mx t -+=（t 为实数）在15x <<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）
A ．53t -<<
B ．5t >-
C ．34t <≤
D ．54t -<≤ 8．已知⊙O 的直径为4，点O 到直线l 的距离为2，则直线l 与⊙O 的位置关系是 A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．无法判断 9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，若CD ＝8 cm ，MB ＝2 cm ，则直径AB 的
长为（ ）
A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm
10．方程x2=4的解是（）
A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=1，x2=4 D．x1=2，x2=﹣2
11．如图，在矩形中，，，若以为圆心，4为半径作⊙.下列四个点中，在⊙外的是( )
A．点B．点C．点D．点
12．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且∠D＝40°，则
∠PCA等于（）
A．50°B．60°C．65°D．75°
二、填空题
13．将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是_____．
14．正方形ABCD的边长为4,圆C半径为1，E为圆C上一点，连接DE，将DE绕D顺时针旋转90°到DE’，F在CD上，且CF=3，连接FE’，当点E在圆C上运动，FE’长的最大值为____.
15．设x1、x2是关于x的方程x2＋3x－5＝0的两个根，则x1＋x2－x1•x2＝________．
，CD是AB边上的高，已知AB＝25，BC＝15，则16．如图，在Rt△ABC中，BC AC
BD＝__________．
17．一元二次方程x 2﹣4=0的解是．_________
18．一组数据：2,5,3,1,6，则这组数据的中位数是________.
19．一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是______.
20．如图，抛物线2143115y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，⊙B 的圆心为B ，半径是1，点P 是直线AC 上的动点，过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，则切线长PQ 的最小值是__．
21．如图，点G 为△ABC 的重心，GE ∥AC ，若DE ＝2，则DC ＝_____．
22．甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是0.12，乙的方差是0.05，这5次短跑训练成绩较稳定的是_____．（填“甲”或“乙”）
23．顶点在原点的二次函数图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得的抛物线经过点（0，﹣3），则平移后抛物线相应的函数表达式为_____．
24．已知234x y z x z y
+===，则_______ 三、解答题
25．某市2017年对市区绿化工程投入的资金是5000万元，为争创全国文明卫生城，加大对绿化工程的投入，2019年投入的资金是7200万元，且从2017年到2019年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同. （1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；
（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2020年预计需投入多少万元？
26．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，E 是射线．．DC 上的点，连接AE ，将△ADE 沿直线AE 翻折得△AFE ．
（1）如图①，点F 恰好在BC 上，求证：△ABF ∽△FCE ；
（2）如图②，点F 在矩形ABCD 内，连接CF ，若DE ＝1，求△EFC 的面积；
（3）若以点E 、F 、C 为顶点的三角形是直角三角形，则DE 的长为 ．
27．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，连接AE ，将矩形沿AE 翻折，使点B 落在CD 边F 处，连接AF ，在AF 上取一点O,以点O 为圆心，OF 为半径作⊙O 与AD 相切于点P .AB=6，BC=33
（1）求证：F 是DC 的中点.
（2）求证：AE=4CE.
（3）求图中阴影部分的面积.
28．如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为A(1，1)，且与直线-2y x 交于B ，C 两点． （1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；
（2）求△ABC 的面积；
（3）若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN ⊥x 轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
29．已知关于x 的方程x 2-（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：不论m 为何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程一根为4，以此时方程两根为等腰三角形两边长，求此三角形的周长．
30．某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y （个）与销售单价x （元）符合一次函数关系，如图所示：
（1）根据图象，直接写出y 与x 的函数关系式；
（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
31．某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元.试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件.设每件商品降价x 元时，日盈利为w 元.据此规律，解决下列问题：
（1）降价后每件商品盈利 元，超市日销售量增加 件（用含x 的代数式表示）； （2）在上述条件不变的情况下，求每件商品降价多少元时，超市的日盈利最大？最大为多少元？
32．解方程：2670x x --=
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据题干可以明确得到p,q 是方程2330x x -=的两根,再利用韦达定理即可求解.
【详解】
解：由题可知p,q 是方程2330x x -=的两根,
∴3,
故选B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念,韦达定理的应用,熟悉韦达定理的内容是解题关键. 2．C
解析：C
【分析】
易得圆锥的母线长为24cm ，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以2π即为圆锥的底面半径.
【详解】
解：圆锥的侧面展开图的弧长为：2π24224π⨯÷=，
∴圆锥的底面半径为：()24π2π12cm ÷=.
故答案为：C.
【点睛】
本题考查的知识点是圆锥的有关计算，熟记各计算公式是解题的关键.
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
两边开方得到x=±2．
【详解】
解：∵x 2=4，
∴x=±2，
∴x 1=2，x 2=-2．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如ax 2+c=0（a≠0）的方程可变形为
2=c x a
-，当a 、c 异号时，可利用直接开平方法求解． 4．B
解析：B
【解析】
试题解析：∵底面半径为3cm ，
∴底面周长6πcm ∴圆锥的侧面积是
12
×6π×5=15π（cm 2）， 故选B ． 5．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据中位数的定义，把8个数据从小到大的顺序依次排列后，求第4，第5位两数的平均数即为本组数据的中位数.
解：把数据由小到大排列为：42,44,45,46,46,46,47,48 ∴中位数为
4646462
+=. 故答案为：46.
【点睛】 找中位数的时候一定要先排好大小顺序，再根据奇数个数和偶数个数来确定中位数.如果是奇数个，则正中间的数字即为中位数；如果是偶数个，则找中间两个数的平均数为中位数.先将数据按从小到大顺序排列是求中位数的关键.
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
先根据圆锥侧面积公式：S rl π=求出圆锥的侧面积，再加上底面积即得答案.
【详解】
解：圆锥的侧面积=251365cm ππ⨯⨯=，所以这个圆锥的全面积
=2265590cm πππ+⨯=.
故选：B.
【点睛】
本题考查了圆锥的有关计算，属于基础题型，熟练掌握圆锥侧面积的计算公式是解答的关键.
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
首先将()4,0代入二次函数，求出m ，然后利用根的判别式和求根公式即可判定t 的取值范围.
【详解】
将()4,0代入二次函数，得
2440m -+=
∴4m =
∴方程为240x x t -+=
∴x = ∵15x <<
∴54t -<≤
故答案为D .
此题主要考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握，即可解题.
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据圆心距和两圆半径的之间关系可得出两圆之间的位置关系．
【详解】
∵⊙O的直径为4，
∴⊙O的半径为2，
∵圆心O到直线l的距离是2，
∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知直线l与⊙O的位置关系是相切．
故选：B．
【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系的应用，理解直线和圆的位置关系的内容是解此题的关键，注意：已知圆的半径是r，圆心到直线的距离是d，当d＝r时，直线和圆相切，当d＞r时，直线和圆相离，当d＜r时，直线和圆相交．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
由CD⊥AB，可得DM=4．设半径OD=Rcm，则可求得OM的长，连接OD，在直角三角形DMO中，由勾股定理可求得OD的长，继而求得答案．
【详解】
解：连接OD，设⊙O半径OD为R,
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，
∴DM=1
2
CD=4cm，OM=R-2,
在RT△OMD中，
OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,解得：R=5,
∴直径AB的长为:2×5=10cm．故选B．
【点睛】
本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．10．D
解析：D
【解析】
x2=4，
x=±2.
故选D.
点睛：本题利用方程左右两边直接开平方求解.
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
连接AC,利用勾股定理求出AC的长度,即可解题.
【详解】
解：如下图,连接AC,
∵圆A的半径是4,AB=4,AD=3,
∴由勾股定理可知对角线AC=5,
∴D在圆A内,B在圆上,C在圆外,
故选C.
【点睛】
本题考查了圆的简单性质,属于简单题,利用勾股定理求出AC的长是解题关键.
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据切线的性质，由PD切⊙O于点C得到∠OCD＝90°，再利互余计算出∠DOC＝50°，由
∠A＝∠ACO，∠COD＝∠A+∠ACO，所以
1
25
2
A COD
∠=∠=︒，然后根据三角形外角性
质计算∠PCA的度数．【详解】
解：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝40°，
∴∠DOC＝90°﹣40°＝50°，∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠COD＝∠A+∠ACO，
∴
1
25
2
A COD
∠=∠=︒，
∴∠PCA＝∠A+∠D＝25°+40°＝65°．
故选C．
【点睛】
本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角性质等知识；熟练掌握切线的性质与三角形外角性质是解题的关键．
二、填空题
13．y=x2+2
【解析】
分析：先确定二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
详
解析：y=x2+2
【解析】
分析：先确定二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
详解：二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2．
故答案为y=x2+2．
点睛：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．14．【解析】
【分析】
先作出FE’最大时的图形,再利用勾股定理即可求解.
【详解】
解：如下图,过点F作FP⊥AB于P,延长DP到点E’，使PE’=1,此时FE’长最
大,
由题可知,PF=4,DF=
解析：171
+
【解析】
【分析】
先作出FE’最大时的图形,再利用勾股定理即可求解.
【详解】
解：如下图,过点F作FP⊥AB于P,延长DP到点E’，使PE’=1,此时FE’长最大,
由题可知,PF=4,DF=1,
∴DP=22
+=17,
41
∴FE’=171+,
+
故答案是：171
【点睛】
本题考查了图形的旋转,圆的基本性质,勾股定理的应用,中等难度,准确找到点P的位置是解题关键.
15．2
【解析】
【分析】
先根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积，代入即可得出结论．
【详解】
解：∵x1，x2是关于 x 的方程x2＋3x－5＝0的两个根，
根据根与系数的关系，得，x1+x2=
解析：2
【解析】
【分析】
先根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积，代入即可得出结论．
【详解】
解：∵x1，x2是关于 x 的方程x2＋3x－5＝0的两个根，
根据根与系数的关系，得，x1+x2=-3，x1x2=-5，
则 x1+x2-x1x2=-3-（-5）=2，
故答案为2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，求出x 1+x 2=-3，x 1x 2=-5是解题的关键． 16．9
【解析】
【分析】
利用两角对应相等两三角形相似证△BCD∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例得比例式，代入数值求解即可.
【详解】
解：∵，,
∴∠ACB=∠CDB=90°,
∵∠B=∠B,
解析：9
【解析】
【分析】
利用两角对应相等两三角形相似证△BCD ∽△BAC ，根据相似三角形对应边成比例得比例式，代入数值求解即可.
【详解】
解：∵BC AC ⊥，CD AB ⊥,
∴∠ACB=∠CDB=90°,
∵∠B=∠B,
∴△BCD ∽△BAC, ∴
BC BD AB BC = , ∴152515
BD =, ∴BD=9.
故答案为：9.
【点睛】
本题考查利用相似三角形的性质求线段长，证明两三角形相似注意题中隐含条件，如公共角，对顶角等，利用相似的性质得出比例式求解是解答此题的关键.
17．x=±2
【解析】
移项得x2=4，
∴x=±2．
故答案是：x=±2．
解析：x=±2
【解析】
移项得x2=4，
∴x=±2．
故答案是：x=±2．
18．3
【解析】【分析】根据中位数的定义进行求解即可得出答案.
【详解】将数据从小到大排列：1，2，3，5，6，
处于最中间的数是3，
∴中位数为3，
故答案为：3.
【点睛】本题考查了中位数的定义，中
解析：3
【解析】【分析】根据中位数的定义进行求解即可得出答案.
【详解】将数据从小到大排列：1，2，3，5，6，
处于最中间的数是3，
∴中位数为3，
故答案为：3.
【点睛】本题考查了中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小排列，处于最中间（中间两数的平均数）的数即为这组数据的中位数.
19．【解析】
【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】
根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红
解析：5 8
【解析】
【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】
根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球，共5
个，从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是
55 538
= +
故答案为: 5
8
．
【点睛】
本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件
A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝m n
． 20．【解析】
【分析】
先根据解析式求出点A 、B 、C 的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P 的坐标，根据过点P 作⊙B 的切线，切点是Q 得到PQ 的函数关系式，求出最小值即可.
【详解】
令中y=0，得x1=
【解析】
【分析】
先根据解析式求出点A 、B 、C 的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P 的坐标，根据过点P 作⊙B 的切线，切点是Q 得到PQ 的函数关系式，求出最小值即可.
【详解】
令21115y x =-中y=0，得x 1
x 2
∴直线AC
的解析式为1y =-， 设P （x ，31x ）， ∵过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，BQ=1
∴PQ 2=PB 2-BQ 2，
2+（31x ）2-1， =24283753x x ， ∵43
a =0<， ∴PQ 2有最小值24283475()332644
3，
∴PQ
【点睛】
此题考查二次函数最小值的实际应用，求动线段的最小值，需构建关于此线段的函数解析
式，利用二次函数顶点坐标公式求最值，此题找到线段PQ、BQ、PB之间的关系式是解题的关键.
21．【解析】
【分析】
根据重心的性质可得AG：DG＝2：1，然后根据平行线分线段成比例定理可得＝＝2，从而求出CE，即可求出结论．
【详解】
∵点G为△ABC的重心，
∴AG：DG＝2：1，
∵GE
解析：【解析】
【分析】
根据重心的性质可得AG：DG＝2：1，然后根据平行线分线段成比例定理可得CE
DE
＝
AG
DG
＝2，从而求出CE，即可求出结论．【详解】
∵点G为△ABC的重心，
∴AG：DG＝2：1，
∵GE∥AC，
∴CE
DE
＝
AG
DG
＝2，
∴CE＝2DE＝2×2＝4，
∴CD＝DE+CE＝2+4＝6．
故答案为：6．
【点睛】
此题考查的是重心的性质和平行线分线段成比例定理，掌握重心的性质和平行线分线段成比例定理是解决此题的关键．
22．乙
【解析】
【分析】
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】
解：∵甲的方差为0
解析：乙
【解析】
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】
解：∵甲的方差为0.14，乙的方差为0.06，
∴S 甲2＞S 乙2，
∴成绩较为稳定的是乙；
故答案为：乙．
【点睛】
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
23．y ＝﹣（x+1）2﹣2
【解析】
【分析】
根据坐标平移规律可知平移后的顶点坐标为（﹣1，﹣2），进而可设二次函数为，再把点（0，﹣3）代入即可求解a 的值，进而得平移后抛物线的函数表达式．
【详解】
解析：y ＝﹣（x +1）2﹣2
【解析】
【分析】
根据坐标平移规律可知平移后的顶点坐标为（﹣1，﹣2），进而可设二次函数为
()212y a x +-=，再把点（0，﹣3）代入即可求解a 的值，进而得平移后抛物线的函数表达式．
【详解】
由题意可知，平移后的函数的顶点为（﹣1，﹣2），
设平移后函数的解析式为()212y a x +-=，
∵所得的抛物线经过点（0，﹣3），
∴﹣3＝a ﹣2，解得a ＝﹣1，
∴平移后函数的解析式为()212y x +=--，
故答案为()212y x +=--．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握坐标平移规律：“左右平移时，横坐标左移减右移加，纵坐标不变；上下平移时，横坐标不变，纵坐标上移加下移减”。

24．2
【分析】
设，分别用k 表示x 、y 、z ，然后代入计算，即可得到答案.
【详解】
解：根据题意，设，
∴，，，
∴；
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的
解析：2
【解析】
【分析】 设234
x y z k ===，分别用k 表示x 、y 、z ，然后代入计算，即可得到答案. 【详解】 解：根据题意，设234
x y z k ===， ∴2x k =，3y k =，4z k =， ∴2423x z k k y k
++==； 故答案为：2.
【点睛】
本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质，正确用k 来表示x 、y 、z.
三、解答题
25．（1）20%；（2）8640万元.
【解析】
【分析】
（1）设平均增长率为x,根据题意可得2018年投入的资金是5000(1+x)万元，2019年投入的资金是5000(1+x) (1+x)万元，由2019年投入的资金是7200万元即可列出方程.，求解即可.
（2）相当于数字7200增长了20%，列式计算.
【详解】
解：（1）设两年间每年投入资金的平均增长率为x ，根据题意得，
5000(1+x)2=7200
解得，x 1=0.2=20%，x 2= -2.2（不符合题意，舍去）
答：该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为20%；
（2）根据题意得，7200（1+20%）=8640万元.
答：在2020年预计需投入8640万元.
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用，增长率问题，根据a(1+x)2=b （a 、b 、x 、n 分别表示增长前量、增长后量、增长率和增长次数）列方程是解答增长率问题的关键.
26．（1）证明见解析；（2）
513；（3）53、5、15 【解析】
【分析】
（1）利用同角的余角相等，证明∠CEF ＝∠AFB ，即可解决问题;（2）过点F 作FG ⊥DC 交DC 与点G ，交AB 于点H,由△FGE ∽△AHF 得出AH=5GF ，再利用勾股定理求解即可;（3）分①当∠EFC=90°时; ②当∠ECF=90°时;③当∠CEF=90°时三种情况讨论解答即可.
【详解】
（1）解：在矩形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°
由折叠可得：∠D ＝∠EFA ＝90°
∵∠EFA ＝∠C ＝90°
∴∠CEF ＋∠CFE ＝∠CFE ＋∠AFB ＝90°
∴∠CEF ＝∠AFB
在△ABF 和△FCE 中
∵∠AFB ＝∠CEF ，∠B ＝∠C ＝90°
△ABF ∽△FCE
（2）解：过点F 作FG ⊥DC 交DC 与点G ，交AB 于点H ，则∠EGF ＝∠AHF ＝90°
在矩形ABCD 中，∠D ＝90°
由折叠可得：∠D ＝∠EFA ＝90°，DE ＝EF ＝1，AD ＝AF ＝5
∵∠EGF ＝∠EFA ＝90°
∴∠GEF ＋∠GFE ＝∠AFH ＋∠GFE ＝90°
∴∠GEF ＝∠AFH
在△FGE 和△AHF 中
∵∠GEF ＝∠AFH ，∠EGF ＝∠FHA ＝90°
∴△FGE ∽△AHF ∴
EF AF ＝GF AH ∴15＝GF AH
∴AH =5GF
在Rt △AHF 中，∠AHF ＝90°
∵AH 2＋FH 2=AF 2
∴（5 GF ）2＋（5 －GF ）2=52
∴GF＝
5
13
∴△EFC的面积为
1
2
×
5
13
×2＝
5
13
;
（3）解：①当∠EFC=90°时，A、F、C共线，如图所示:
设DE=EF=x,则CE=3-x,
∵AC=2222
3534
AD CD
+=+=,∴CF=34-x, ∵∠CFE=∠D=90°, ∠DCA=∠DCA, ∴△CEF∽△CAD, ∴
CE EF
CA AD
=,即
5
34
x
=，解得:ED=x=5(345)
-
;
②当∠ECF=90°时,如图所示:
∵AD=
1
AF=5,AB=3, ∴
1
BF22
1
AF AB
-设1
DE=x,则
1
E C=3-x,∵∠DCB=∠ABC=90°,
111
CF E F AB
∠=∠
∴11
CE F∽
1
BF A,∴111
11
E C E F
F B F A
=,即3
45
x x
-
=，解得:x=
1
E D=
5
3
;
由折叠可得 :222E F E D = ,设2E C x =，则2223E F DE x ==+，2549CF =+=, 在RT △22E F C 中，
∵2222222CF CE E F +=,即9²+x²=(x+3)²,解得x=2E C =12, ∴231215DE =+=;
③当∠CEF=90°时，AD=AF,此时四边形AFED 是正方形，∴AF=AD=DE=5,
综上所述，DE 的长为:
53、5、155(345)-. 【点睛】 本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键．
27．（1）见解析；（2）见解析；（3）
32 【解析】
【分析】
（1）易求DF 长度即可判断；
（2）通过30°角所对的直角边等于斜边一半证得AE=2EF ，EF=2CE 即可得；
（3）先证明△OFG 为等边三角形，△OPG 为等边三角形，即可确定扇形圆心角∠POG 和∠GOF 的大小均为60°,所以两扇形面积相等， 通过割补法得出最后阴影面积只与矩形OPDH 和△OGF 有关，根据面积公式求出两图形面积即可.
【详解】
（1）∵AF=AB=6,AD=BC=3
3
∴DF=3,
∴CF=DF=3,
∴F 是CD 的中点
（2）∵AF=6, DF=3,
∴∠DAF=30°，
∴∠EAF=30◦ ,
∴AE=2EF;
∴∠EFC=30◦ ,EF=2CE,
∴AE=4CE
（3）如图，连接OP ,OG,作OH ⊥FG,
∵∠AFD=60°,OF=OG,
∴△OFG为等边三角形，同理△OPG为等边三角形，
∴∠POG=∠FOG=60°,OH=
3
3 2
OG ,
∴S扇形OPG=S扇形OGF,
∴S阴影=（S矩形OPDH-S扇形OPG-S△OGH）+(S扇形OGF-S△OFG)=S矩形OPDH-3
2
S△OFG
=
313 2323
222
,
即图中阴影部分的面积
3 2
.
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质及解直角三角形，涉及知识点较多，综合性较强，根据条件，结合图形找准对应知识点是解答此题的关键.
28．（1）y=﹣（x﹣1）2+1，C(﹣1，﹣3)；（2）3；（3）存在满足条件的N点，其坐标
为(5
3
，0)或(
7
3
，0)或(﹣1，0)或(5，0)
【解析】
【分析】
（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx＋b，与x轴交于D，得到y＝2x−1，求得BD于是得到结论；
（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和
△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得MN ON
AB BC
=或
MN ON
BC AB
=，可求得N点的坐
标．
【详解】
（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1，又抛物线过原点，
∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1，
即y=﹣x 2+2x ，联立抛物线和直线解析式可得22-2
y x x y x ⎧=+⎨=⎩﹣， 解得20x y =⎧⎨=⎩或13
x y =-⎧⎨=-⎩，∴B （2，0），C （﹣1，﹣3）； （2）设直线AC 的解析式为y=kx+b ，与x 轴交于D ，
把A （1，1），C （﹣1，﹣3）的坐标代入得13k b k b =+⎧⎨-=-+⎩
， 解得：21
k b =⎧⎨=-⎩， ∴y=2x ﹣1，当y=0，即2x ﹣1=0，解得：x=
12，∴D （12，0）， ∴BD=2﹣12=32
， ∴△ABC 的面积=S △ABD +S △BCD =
12×32×1+12×32×3=3； （3）假设存在满足条件的点N ，设N （x ，0），则M （x ，﹣x 2+2x ），
∴ON=|x|，MN=|﹣x 2+2x|，由（2）知，
，
，
∵MN ⊥x 轴于点N ，∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴当△ABC 和△MNO 相似时，有MN ON AB BC =或MN ON BC AB
=， ①当MN ON AB BC =时，
∴=|x||﹣x+2|=13|x|， ∵当x=0时M 、O 、N 不能构成三角形，∴x≠0，∴|﹣x+2|=
13，∴﹣x+2=±13，解得x=53或x=73，此时N 点坐标为（53，0）或（73
，0）； ②当或MN ON BC AB =时，
∴=，即|x||﹣x+2|=3|x|， ∴|﹣x+2|=3，∴﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，
此时N 点坐标为（﹣1，0）或（5，0），
综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为（
53，0）或（73，0）或（﹣1，0）或（5，0）．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N 、M 的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关
键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
29．（1）见解析；（2）
263 【解析】
【分析】
（1）根据判别式即可求出答案．
（2）将x ＝4代入原方程可求出m 的值，求出m 的值后代入原方程即可求出x 的值．
【详解】
解：（1）由题意可知：△＝（m+3）2﹣4（m+1）
＝m 2+2m+5
＝m 2+2m+1+4
＝（m+1）2+4，
∵（m+1）2+4>0，
∴△＞0，
∴不论m 为何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）当x ＝4代入x 2﹣（m+3）x+m+1＝0得164(3)10m m -+++=
解得m ＝
53， 将m ＝53代入x 2﹣（m+3）x+m+1＝0得2148033
x x -+= ∴原方程化为：3x 2﹣14x+8＝0，
解得x ＝4或x ＝23
腰长为23时，2244333
+=<，构不成三角形； 腰长为4时， 该等腰三角形的周长为4+4+
23＝263 所以此三角形的周长为
263
. 【点睛】 本题考查了一元二次方程，熟练的掌握一元二次方程的解法是解题的关键.
30．（1）y ＝﹣2x +260；（2）销售单价为80元；（3）销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．
【解析】
【分析】
（1）由待定系数法可得函数的解析式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解；
（3）设每天获得的利润为w 元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案．
【详解】
（1）设y ＝kx +b （k ≠0，b 为常数）
将点（50，160），（80，100）代入得
1605010080k b k b =+⎧⎨=+⎩
解得2260k b =-⎧⎨=⎩
∴y 与x 的函数关系式为：y ＝﹣2x +260
（2）由题意得：（x ﹣50）（﹣2x +260）＝3000
化简得：x 2﹣180x +8000＝0
解得：x 1＝80，x 2＝100
∵x ≤50×（1+90%）＝95
∴x 2＝100＞95（不符合题意，舍去）
答：销售单价为80元．
（3）设每天获得的利润为w 元，由题意得
w ＝（x ﹣50）（﹣2x +260）
＝﹣2x 2+360x ﹣13000
＝﹣2（x ﹣90）2+3200
∵a ＝﹣2＜0，抛物线开口向下
∴w 有最大值，当x ＝90时， w 最大值＝3200
答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．
【点睛】
本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，难度中等略大．
31．（1）(30-x );10x ；（2）每件商品降价10元时，商场日盈利最大，最大值是4000元.
【解析】
【分析】
（1）降价后的盈利等于原来每件的盈利减去降低的钱数；件降价1元，超市平均每天可多售出10件，则降价x 元，超市平均每天可多售出10x 件；
（2）等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=利润w ，化为一般式后，再配方可得出结论．
【详解】
解：（1）降价后每件商品盈利(30-x)元；，超市日销售量增加10x 件；
（2）设每件商品降价x 元时，利润为w 元
根据题意得：w =(30-x )(100+10x )= -10x 2+200x +3000=-10(x -10)2+4000
∵-10<0，∴w 有最大值，
当x =10时，商场日盈利最大，最大值是4000元；
答：每件商品降价10元时，商场日盈利最大，最大值是4000元．
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的实际应用，根据题意找出等量关系式列出利润w 关于x 的
二次函数解析式是解题的关键．
32．x1=7，x2=1-
【解析】
【分析】
观察原方程，可运用二次三项式的因式分解法进行求解．
【详解】
解：原方程可化为：（x-7）（x+1）=0，
x-7=0或x+1=0；
解得：x1=7，x2=1-．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程.。