冀教版九年级上册数学第26章 解直角三角形 全章热门考点整合应用(2)

根据题意可知：DM＝MH＝MN＋NH， ∵MN＝AC＝10 m，∴DM≈10＋8．19＝18．19(m)， ∴CD＝DM＋MC＝DM＋EF≈18．19＋1．6≈19．8(m)． 答：建筑物 CD 的高度约为 19．8 m．
7 【中考·自贡】如图，在△ABC 中，BC＝12，tan A ＝34，∠B＝30°，求 AC 和 AB 的长．
(参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73.)
解：如图，延长 FH，交 CD 于点 M，交 AB 于点 N． ∵∠BHN＝45°，BA⊥MH，则 BN＝NH， 设 BN＝NH＝x m， ∵HF＝6 m，∠BFN＝30°，
∴tan∠BFN＝BNNF＝NHB＋NHF，
即 tan 30°＝x＋x 6，解得 x≈8．19，
【2020·镇江】如图，点E与树AB的根部点A、建筑物CD 6 的底部点C在一条直线上，AC＝10m，小明站在点E处观
测树顶B的仰角为30°，他从点E出发沿EC方向前进6m 到点G时，观测树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建 筑物CD的顶部D(H、B、D三点在一条直线上)． 已知小明的眼睛离地面1.6m，求建筑物CD 的高度(结果精确到0.1m)．
AB＝4，AD＝5，P是射线BC上的一个动点，过点P作 PE⊥AP，交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F， 设BP＝a. (1)当点P在线段BC上时(点P与点B，C都不重合)，试 用含a的代数式表示CE的长；
解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴BC＝AD＝5，∠B＝∠BCD＝90°． ∴∠APB＋∠BAP＝90°， ∵BP＝a，∴PC＝5－a， ∵AP⊥PE，∴∠APE＝90°， ∴∠APB＋∠CPE＝90°． ∴∠CPE＝∠BAP．∴△ABP∽△PCE． ∴CBEP＝APCB．即 CE＝－a24＋5a．
＝ 33× 23＋ 232－ 222×1 ＝12＋34－12 ＝34．
(2)14tan245°＋sin1230°－3cos230°＋tcaons
6405°°－csions
40° 50°.
＝14×12＋1212－3×
232＋11－1 2
＝14＋4－3×34＋2－1 ＝3．
【2021·厦门市第一中学期末】如图，在矩形ABCD中， 4
东26°方向航行至D处，在B，C处分别测得∠ABD ＝45°，∠C＝37°，求轮船航行的距离AD.(参考数 据 ： sin26°≈0.44 ， cos26°≈0.90 ， tan26°≈0.49 ， sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， tan37°≈0.75)
解：如图，过点 D 作 DH⊥AC 于点 H， 在 Rt△DCH 中，∠C＝37°，∴CH＝taDnH37°， 在 Rt△DBH 中，∠DBH＝45°，∴BH＝taDnH45°， ∵BC＝CH－BH，∴taDn H37°－taDn H45°＝6， 解得 DH≈18 km， 在 Rt△DAH 中，∠ADH＝26°，∴AD＝coDsH26°≈20 km． 答：轮船航行的距离 AD 约为 20 km．
CD＝9，求 BE，CE 的长．
【点拨】方程思想是一种重要的思想 方法，运用方程思想可以建立已知量 和待求量之间的关系式，平时学习时，应该不断积累用 方程思想解题的方法．
解：∵sin B＝35，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴sin B
＝DDEB＝AACB＝35． 设 DE＝CD＝3k，则 DB＝5k， ∴CB＝8k，∴AC＝6k，AB＝10k． ∵AC＋CD＝9，∴6k＋3k＝9， ∴k＝1，∴DE＝3，DB＝5，BC＝8，
在 Rt△DCE 中，DC＝CE·tan 30°＝110 3×33＝110． ∴S 四边形 ABCD＝S△DCE－S△ABE＝12DC·CE－12AB·AE＝ 12×110×110 3－12×30 3×90＝4 700 3．
(2)当a＝3时，连接DF，试判断四边形APFD的形状， 并说明理由；
解：四边形 APFD 是菱形，理由如下： 当 a＝3 时，CE＝－32＋4 5×3＝32，易知 CD＝4， ∴DE＝52．
∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD∥BF．
∴△AED∽△FEC．∴AFDC＝DCEE．∴FC＝3． ∵BP＝a＝3，∴PC＝2， ∴PF＝PC＋CF＝5．∴PF＝AD． ∴四边形 APFD 是平行四边形． 在 Rt△APB 中，AB＝4，BP＝3，∠B＝90°，∴AP ＝5＝PF．∴四边形 APFD 是菱形．
在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AB＝ AC2＋BC2＝
10，∴sin ∠BCD＝sin A＝BACB＝180＝45，
cos ∠BCD＝cos A＝AACB＝160＝35，
tan ∠BCD＝tan A＝BACC＝86＝43．
2 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，sin B＝35，D 是 BC 上一点，DE⊥AB 于点 E，CD＝D六章解直角三角形
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答案呈现
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， 1
CD⊥AB于点D，求∠BCD的三个三角函数值．
解：在 Rt△ABC 中，∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD＋∠ACD＝90°． ∵CD⊥AB，∴∠ACD＋∠A＝90°， ∴∠BCD＝∠A．
解：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D， 在 Rt△BCD 中，∵∠B＝30°，BC＝12， ∴CD＝BC×sin 30°＝6，BD＝BC×cos 30°＝6 3．
在 Rt△ACD 中，∵tan A＝CADD＝34，CD＝6，∴AD ＝8．∴AC＝ CD2＋AD2＝ 62＋82＝10，
AB＝AD＋BD＝8＋6 3．
8 如图，已知四边形 ABCD，∠ABC＝120°，AD⊥AB， CD⊥BC，AB＝30 3，BC＝50 3，求四边形 ABCD 的面积(要求：用分割法和补形法两种方法求解)．
【点拨】求不规则图形的面积可以将其转化为直 角三角形或特殊的四边形的面积来求．可适当添 加辅助线，本题利用分割法将不规则四边形分割 为直角三角形和直角梯形，或者利用补形法把不 规则四边形转化为直角三角形求解．
∴BE＝ 52－32＝4．
如图，过点 C 作 CF⊥AB 于点 F， 则 CF∥DE，∴△BDE∽△BCF． ∴DCFE＝BBEF＝BBDC＝58， ∴CF＝254，BF＝352，∴EF＝152． 在 Rt△CEF 中，CE＝ CF2＋EF2＝152 5．
3 计算： (1)tan30°sin60°＋cos230°－sin245°tan45°；
解：方法 1 如图①，过点 B 作 BE∥AD 交 DC 于点 E，过 点 E 作 EF∥AB 交 AD 于点 F，则 BE⊥AB，EF⊥AD． ∴四边形 ABEF 是矩形．∴EF＝AB， AF＝BE．∵∠ABC＝120°， ∴∠CBE＝120°－90°＝30°，∠D＝180°－120°＝60°．
在 Rt△BCE 中，BE＝cos B∠CCBE＝c5o0s 303°＝50 3 3＝100， 2
EC＝BC·tan ∠CBE＝50 3×tan 30°＝50 3× 33＝50．
在 Rt△DEF 中， DF＝tanEF D＝tanAB60°＝30 3 3＝30． ∴AD＝AF＋DF＝BE＋DF＝100＋30＝130． ∴S 四边形 ABCD＝S 梯形 ABED＋S△BCE＝12(AD＋BE)·AB＋12 BC·EC＝12×(130＋100)×30 3＋12×50 3×50＝
(3)当 tan∠PAE＝12时，求 a 的值．
解：根据 tan ∠PAE＝12可得APEP＝2． 由(1)得△ ABP∽△PCE， ∴APCB＝APEP＝2，得5－4 a＝2 或a－4 5＝2， 解得 a＝3 或 a＝7．
【2020·南京】如图，在港口A处的正东方向有两个相 5 距6km的观测点B，C，一艘轮船从A处出发，沿北偏
4 700 3．
方法 2 如图②，延长 DA，CB 交于点 E，则∠ABE ＝180°－∠ABC＝60°，∴∠E＝90°－∠ABE＝30°． 在 Rt△ABE 中，AE＝AB·tan 60°＝30 3× 3＝90，
BE＝coAs B60°＝301 3＝60 3． 2
∴CE＝BE＋BC＝60 3＋50 3＝110 3．