广西壮族自治区南宁市武鸣县罗波中学2020年高二数学文联考试题含解析

广西壮族自治区南宁市武鸣县罗波中学2020年高二数
学文联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设函数g（x）=x（x2﹣1），则g（x）在区间[0，1]上的最大值为（）
A．﹣1 B．0 C．﹣D．
参考答案：
B
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】求出函数g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出g（x）在[0，1]的最大值即可．
【解答】解：g（x）=x3﹣x，x∈[0，1]，
g′（x）=3x2﹣1，
令g′（x）＞0，解得：x＞，
令g′（x）＜0，解得：x＜，
故g（x）在[0，）递减，在（，1]递增，
故g（x）的最大值是g（0）或g（1），
而g（0）=0，g（1）=0，
故函数g（x）在[0，1]的最大值是0，
故选：B．
2. 已知下列等式：，，，
，…，，则推测（）
A．109 B．1033 C．199 D．29
参考答案：
A
根据题意，分析所给的等式，
可归纳出等式，（且是正整数），
将代入，可得，
从而可以求得，
于是，故选A.
3. 若在上有极值点，则实数的取值范围是
( )
A．B．C． D.
参考答案：
C
4. 用秦九韶算法计算多项式当时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（）
A．6，
6 B． 5, 6 C． 5, 5
D． 6, 5
参考答案：
A
5. 函数f（x）=a x﹣x3（a＞0，且a≠1）恰好有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）
A．1＜a＜e B．1＜a＜e
C．0＜a＜e D．e＜a＜e
参考答案：
A
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】原题意等价于方程a x=x3恰有两个不同的解．分类讨论结合函数思想求解
当0＜a＜1时，y=a x与y=x3的图象只有一个交点，不符合题意．
当a＞1时，y=a x与y=x3的图象在x∈（﹣∞，0）上没有交点，所以只考虑x＞0，
于是可两边同取自然对数，得xlna=3lnx，即lna=，构造函数g（x）=，求解
，
利用导数求解即可．
【解答】解：∵f（x）=a x﹣x3（a＞0，且a≠1）恰好有两个不同的零点
∴等价于方程a x=x3恰有两个不同的解．
当0＜a＜1时，y=a x与y=x3的图象只有一个交点，
不符合题意．
当a＞1时，y=a x与y=x3的图象在x∈（﹣∞，0）上没有交点，所以只考虑x＞0，
于是可两边同取自然对数，得xlna=3lnx，即lna=，
令g（x）=，则，
当x∈（0，e）时，g（x）单调递增，
当x＜1时，当g（x）＜0，
x∈（e，+∞）时，g（x）单减且g（x）＞0．
∴要有两个交点，0＜lna＜g（e）=，即1＜a＜．
故选：A
6. 已知椭圆T： +=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（）
A．1 B．C．D．2
参考答案：
B
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得y1和y2关系根据离心率设，b=t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k．
【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），
∵，∴y1=﹣3y2，
∵，设，b=t，
∴x2+4y2﹣4t2=0①，
设直线AB方程为，代入①中消去x，可得，
∴，，
解得，
故选B
7. 某奶茶店的日销售收入y （单位：百元）与当天平均气温x （单位：℃）之间的关系如下：
通过上面的五组数据得到了x 与y 之间的线性回归方程：
=﹣x+2.8；但现在丢失了一
个数据，该数据应为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．2
参考答案：
B
【考点】线性回归方程．
【分析】求出的值，代入方程，求出的值，从而求出丢失了的数据． 【解答】解：设该数据是a ， =0，故
=﹣x+2.8=2.8，
∴（5+a+2+2+1）=2.8， 解得：a=4， 故选：B ．
8. 如图，
下列几何体各
自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )．
①正方体②圆锥③三棱
台④正四棱锥
A．②④ B．①③ C．①④ D．②③
参考答案：
A
9. 椭圆的中心到准线的距离是（）
A．2 B．3 C． D．参考答案：
B
略
10. 已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是( )
参考答案：
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. tg20+tg40+=__________
参考答案：
12. 设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点、，为坐标原点，点为的中点，当绕点旋转时，求动点的轨迹方程。

参考答案：
略
13. 若x∈（1，+∞），则y=2x+的最小值是．
参考答案：
2+2
【考点】基本不等式．
【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵x∈（1，+∞），则y=2（x﹣1）++2≥2+2=2+2，当且仅当x=1+时取等号．
∴y=2x+的最小值是2+2．
故答案为：2+2．
14. 执行下面的程序框图，如果输入的k=50，那么输出的S=________________。

参考答案：
2548 15. 函数的值域为
．
参考答案：
略
16. 十六个图钉组成如图所示的四行四列的方阵，从中任取三个图钉，则至少
有两个位于同行或同列的概率为
_____________.
参考答案：
略
17. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70，80）内的人数是 ．
参考答案：
30
【考点】频率分布直方图．
【分析】由频率分布直方图得分数在[70，80）内的频率等于1减去得分在[40，70]与[80，100]内的频率，再根据频数=频率×样本容量得出结果．
【解答】解：由题意，分数在[70，80）内的频率为：1﹣
（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3．
则分数在[70，80）内的人数是0.3×100=30人；
故答案为：30．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图,在底面为直角梯形的四棱锥
，,BC=6.
(1)求证:
(2)求二面角的大小.
参考答案：
（1）如图，建立空间直角坐标系，则，，，，.
所以，，，
所以，．
所以，，
又，面．
（2）设平面的法向量为，
平面的法向量为，
则，，
所以解得
于是．
又，,
所以二面角的大小为．
19. 已知直线l过点（2，1）和点（4，3）．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）若圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，求圆C的方程．
参考答案：
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）由两点式，可得直线l的方程；
（Ⅱ）利用圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，确定圆心坐标与半径，即可求圆C的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由两点式，可得，即x﹣y﹣1=0；
（Ⅱ）∵圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，
∴圆心的纵坐标为3，
∴横坐标为﹣2，半径为2
∴圆C的方程为（x+2）2+（y﹣3）2=4．
20. 在极坐标系中，曲线：，曲线：.以极点为坐标原点，
极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）. （Ⅰ）求，的直角坐标方程；
（Ⅱ）与，交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，求
的值．
参考答案：
（Ⅰ）因为，1分
由得，2分
所以曲线的直角坐标方程为．3分
由得，4分
所以曲线的直角坐标方程为: ．5分
（Ⅱ）不妨设四个交点自下而上依次为，它们对应的参数分别为．
把代入，
得，即, 6分
则，．7分
把代入，
得，即, 8分
则，．9分
所以．10分
21. (本小题满分8分) 设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，求点M的轨迹方程。

参考答案：
略
22. 将扑克牌4种花色的A，K，Q共12张洗匀．
（1）甲从中任意抽取2张，求抽出的2张都为A的概率；
（2）若甲已抽到了2张K后未放回，求乙抽到2张A的概率．
参考答案：
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）甲从中任意抽取2张，基本事件总数n==66，抽出的2张都为A包含的
基本事件个数m=，由此能求出抽出的2张都为A的概率．
（2）甲已抽到了2张K后未放回，余下10张中抽出2张的方法有=45，抽出的两张都是A的方法有，由此能求出乙抽到2张A的概率．
【解答】解：（1）将扑克牌4种花色的A，K，Q共12张洗匀．
甲从中任意抽取2张，基本事件总数n==66，
抽出的2张都为A包含的基本事件个数m=，
∴抽出的2张都为A的概率p==．
（2）甲已抽到了2张K后未放回，余下10张中抽出2张的方法有=45，
抽出的两长都是A的方法有，
∴乙抽到2张A的概率p==．。