课时作业2：4.2.1 指数函数的概念

4．2 指数函数
4．2.1 指数函数的概念
1．下列函数中，指数函数的个数为( )
①y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1；
②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；
③y ＝1x ；
④y ＝⎝⎛⎭⎫122x －1.
A ．0
B ．1
C ．3
D ．4
答案 B
解析 由指数函数的定义可判定，只有②正确．
2．若函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12a －3·a x 是指数函数，则f ⎝⎛⎭
⎫12的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．－2 2 D ．2 2
答案 D
解析 因为函数f (x )是指数函数，
所以12
a －3＝1，所以a ＝8， 所以f (x )＝8x ，f ⎝⎛⎭⎫12＝1
28＝2 2.
3．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y ＝ka x (k ∈R ，a >0且a ≠1)的模型的是( )
A ．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
B ．我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系
C ．如果某人t s 内骑车行进了1 km ，那么此人骑车的平均速度v 与时间t 的函数关系
D ．信件的邮资与其重量间的函数关系
答案 B
解析 A 中的函数模型是二次函数；
B 中的函数模型是指数型函数；
C 中的函数模型是反比例函数；
D 中的函数模型是一次函数．故选B.
4．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若每年以相同的衰减率呈指数衰减，按此规律，设2019年的湖水量为m ，从2019年起，经过x 年后湖水量y 与x 的函数关系为( )
A ．y ＝500.9x
B ．y ＝(1－500.1x )m
C ．y ＝500.9x m
D ．y ＝(1－0.150x )m
答案 C
解析 方法一 设每年的衰减率为q %，
则(q %)50＝0.9，
所以q %＝1500.9，
所以x 年后的湖水量y ＝500.9x m .
方法二 设每年的衰减率为q %，
则(1－q %)50＝0.9，所以q %＝1－1500.9，
所以y ＝m ·[1－(1－1500.9)]x ＝500.9x m . 5．下列函数图象中，有可能表示指数函数的是( )
答案 C
解析 A 为一次函数；B 为反比例函数；D 为二次函数；选项C 的图象呈指数衰减，是指数衰减型函数模型，故选C.
6．已知函数f (x )＝2a x －1
＋3(a >0且a ≠1)，若f (1)＝4，则f (－1)＝________. 答案 0
解析 由f (1)＝4得a ＝3，把x ＝－1代入f (x )＝23x －1
＋3得到f (－1)＝0. 7．若函数f (x )＝(a 2－2a ＋2)(a ＋1)x 是指数函数，则a ＝________.
答案 1
解析 由指数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－2a ＋2＝1，a ＋1>0，
a ＋1≠1，解得a ＝1.
8．已知某种放射性物质经过100年剩余质量是原来质量的95.76%，设质量为1的这种物质，经过x 年后剩余质量为y ，则x ，y 之间的关系式是________．
答案 y ＝1000.957 6x 解析 设质量为1的物质1年后剩余质量为a ，
则a 100＝0.957 6.
所以a ＝1
1000.957 6，
所以y ＝a x ＝1000.957 6x
.
9．已知函数f (x )＝2x ＋2ax ＋b ，且f (1)＝52，f (2)＝174
.求a ，b 的值． 解 由题意得⎩⎨⎧ 52＝2＋2a ＋b ，174＝22
＋22a ＋b ， 即⎩⎪⎨⎪⎧
2－1＝2a ＋b ，2－2＝22a ＋b ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－1，2a ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝0. 10．有一种树栽植5年后可成材．在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为20%，如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为10%，现有两种砍伐方案： 甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐．
乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次．
请计算后回答：10年内哪一个方案可以得到较多的木材？
解 设该种树的最初栽植量为a ，甲方案在10年后的木材产量为y 1＝a (1＋20%)5(1＋10%)5＝a (1.2×1.1)5≈4.01a .
乙方案在10年后的木材产量为
y 2＝2a (1＋20%)5＝2a ·1.25≈4.98a .
y 1－y 2＝4.01a －4.98a <0，
因此，乙方案能获得更多的木材．
11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1－x 12-，x >0，2x ，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19等于( ) A ．4 B.14 C ．－4 D ．－14
答案 B
解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫19＝1－⎝⎛⎭⎫191
2-＝1－3＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝f (－2)＝2－2＝14
. 12．某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5%，后5个交易日内，平均每天下跌4.9%，则股民的股票盈亏情况(不计其他成本，精确到元)为( )
A ．赚723元
B ．赚145元
C ．亏145元
D ．亏723元 答案 D
解析 由题意得10×(1＋5%)5×(1－4.9%)5
≈10×0.992 77＝9.927 7；
100 000－99 277＝723，
故股民亏723元，故选D.
13．若函数y ＝(m 2－5m ＋5)⎝⎛⎭
⎫2－m 3x 是指数函数，且为指数增长型函数模型，则实数m ＝________.
答案 1
解析 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－5m ＋5＝1，2－m 3
>1，解得m ＝1(舍m ＝4)． 14．已知函数f (x )为指数函数且f ⎝⎛⎭⎫－32＝39
，则f (－2)＝________，f (f (－1))＝________. 答案 19 33
解析 设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，
∴3
2a -＝39＝3
23-，∴a ＝3， ∵f (x )＝3x ，∴f (－2)＝19
， f (f (－1))＝f ⎝⎛⎭⎫13＝1
33＝33.
15．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份()
A．甲食堂的营业额较高
B．乙食堂的营业额较高
C．甲、乙两食堂的营业额相等
D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
答案 A
解析设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋8a＝m(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m(1＋x)4＝m(m＋8a)，因为y21－y22＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．
16．某公司拟投资100万元，有两种获利的情况可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少元？
解①本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本利和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．②本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本利和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．由①②可见，按年利率9%每年复利一次计算的，要比按年利率10%单利计算的更有利，5年后可多得利息3.86万元．。